数论——约数(完整版)
2、约数
一个数能够整除另一数，这个数就是另一数的约数。
如2，3，4，6都能整除12，因此2，3，4，6都是12的约数。也叫因数。
1、求一个数的所有约数——试除法
例题：
给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。
数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2×1e9
输入样例：
2
6
8
输出样例：
1 2 3 6
1 2 4 8
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> deal(int n)
{
vector<int> p;
for (int i = 1; i <= n / i; i++)
if (n % i == 0)//成为约数的条件
{
p.push_back(i);
if (i != n / i)//边界特判
{
p.push_back(n / i);
}
}
sort(p.begin(),p.end());
return p;
}
int main()
{
int n; cin >> n;
while (n--)
{
int x; cin >> x;
auto y =deal(x);
for (auto a : y)
cout << a << ' ';
}
return 0;
}
2、约数个数
int范围内约数个数最多大概1500
题目：约数个数
给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10^9+7 取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10^9+7 取模。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2×10^9
输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
12
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>//用哈希表--更快一些
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e7 + 7;
int main()
{
int n;
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;//去记录所有的底数和指数
while (n--)
{
int x; cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
{
while (x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i]++;//i的质因数的质数+1
}
}
if (x > 1) primes[x]++;
}
LL x = 1;
for (auto prime : primes) x = x * (prime.second + 1) % mod;
cout << x;
return 0;
}
3、约数之和
如何去计算
套用公式 t = p * t + 1;
t = p * t + 1;
执行第一次 t = p ^ 0 = 1
执行第二次 t = p^ 1 + 1
执行第三次 t = p^2 + p^1 + 1
…. ……
执行第n次 t = p ^ n + … + p^0
问题描述：
给定 n个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10^9+7 取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案徐才 109+7109+7 取模。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2×1091≤ai≤2×109
输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
252
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>//用哈希表--更快一些
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e7 + 7;
int main()
{
int n;
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;//去记录所有的底数和指数
while (n--)
{
int x; cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
{
while (x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i]++;//i的质因数的质数+1
}
}
if (x > 1) primes[x]++;
}
LL x = 1;
for (auto prime : primes)
{
int p = prime.first;//表示质数的底数
int a = prime.second;//表示质数的指数
LL t = 1;//用t来表示局部的总和、
while (a--) //执行质数次
t = (t * p + 1) % mod;
x = x * t % mod;
}
cout << x;
return 0;
}
4、欧几里得算法(辗转相除法)
题目——最大公约数
给定n对正整数ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个整数对ai,bi。
输出格式
输出共n行，每行输出一个整数对的最大公约数。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi≤2∗109
输入样例
2
3 6
4 6
输出样例
3
2
代码
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
int n; cin >> n;
while (n--)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a, b);
}
return 0;
}