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pytorch学习：矩阵分解：奇异值分解（SVD分解）

article 2024/11/6 22:03:12

前言

矩阵分解（Matrix Decomposition）是将一个矩阵分解成多个矩阵的乘积的过程，这种分解方法在计算、机器学习和线性代数中有广泛应用。不同的分解方式可以简化计算、揭示矩阵的内在结构或提高算法的效率。

奇异值分解

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是矩阵分解的一种重要形式，它将一个任意的矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而揭示出原矩阵的内在结构。

对于任意一个m×n 的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为：

$A = U\sum V^{^{T}}$

其中：

U 是一个 m×m 的正交矩阵，称为左奇异向量矩阵。

V 是一个 n×n 的正交矩阵，称为右奇异向量矩阵。

Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，其中对角线上的元素是矩阵 A 的奇异值，其余元素为零。奇异值是非负实数，按降序排列，即 σ 1≥σ 2 ≥⋯≥σ r≥0，其中σ r 是方阵 $AA^{^{T}}$ 的秩的根号值。

注：正交矩阵（Orthogonal Matrix）是指一种特殊的方阵，一个 n×n 的矩阵 Q 被称为正交矩阵，如果它满足Q TQ=QQ T =I其中Q T是 Q 的转置矩阵，I 是n×n 的单位矩阵。

求解步骤：

1.求矩阵 $AA^{^{T}}$ 。

2.求 $AA^{^{T}}$ 矩阵的特征值和特征向量（正交化）。

3.求奇异值（特征值开方）和正交矩阵 $V^{_{T}}$ 。

4.求正交矩阵U。

实例

1.方阵的分解

代码实现：

import torch

a = torch.Tensor([[3,1],[1,3]])
u,s,v = torch.svd(a)
print(a)
print(u)
print(s)
print(v)
print(torch.svd(a))

运行结果：

tensor([[3., 1.],
        [1., 3.]])
tensor([[-0.7071, -0.7071],
        [-0.7071,  0.7071]])
tensor([4., 2.])
tensor([[-0.7071, -0.7071],
        [-0.7071,  0.7071]])
torch.return_types.svd(
U=tensor([[-0.7071, -0.7071],
        [-0.7071,  0.7071]]),
S=tensor([4., 2.]),
V=tensor([[-0.7071, -0.7071],
        [-0.7071,  0.7071]]))

2.矩形阵的分解

代码实现：

import torch

a = torch.Tensor([[4,0],[3,0],[0,5]])
u,s,v = torch.svd(a)
print(a)
print(u)
print(s)
print(v)
print(torch.svd(a))

运行结果：

tensor([[4., 0.],
        [3., 0.],
        [0., 5.]])
tensor([[-0.8000,  0.0000],
        [-0.6000,  0.0000],
        [ 0.0000, -1.0000]])
tensor([5., 5.])
tensor([[-1., -0.],
        [-0., -1.]])
torch.return_types.svd(
U=tensor([[-0.8000,  0.0000],
        [-0.6000,  0.0000],
        [ 0.0000, -1.0000]]),
S=tensor([5., 5.]),
V=tensor([[-1., -0.],
        [-0., -1.]]))

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