高考数学之圆锥曲线知识要点

1. 前言

本文汇总介绍高考数学范围内所涉及的圆锥曲线的知识要点。

2. 椭圆

2.1 定义：

椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数（且大于两定点之间的距离）的点的轨迹。

2.2 标准方程：

中心在原点，焦点在$x$轴上的椭圆方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）。
中心在原点，焦点在y轴上的椭圆方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）。

2.3 性质：

焦距：$2c$，其中$c^2=a^2-b^2$。
长轴和短轴：长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率：$e=\frac{a}{c}$，其中，0<e<1​。

2.4 椭圆的准线

椭圆准线是椭圆的准线是与椭圆的长轴垂直并通过椭圆焦点的直线。
椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比是一个定值，这个定值等于椭圆的离心率。
当椭圆的两焦点（或者说长轴）位于x轴上时，其两条准线方程分别为$x=\frac{a^2}{c}$和$x=-\frac{a^2}{c}$；
当椭圆的两焦点（或者说长轴）位于y轴上时，其两条准线方程分别为$y=\frac{a^2}{c}$和$y=-\frac{a^2}{c}$。

3.双曲线

3.1 定义：

双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离之差为常数（且小于两定点之间的距离）的点的轨迹。

3.2 标准方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）。
中心在原点，焦点在y轴上的双曲线方程为： $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）。

3.3 性质：

焦距：2c，其中$c^2=a^2+b^2$。
实轴和虚轴：实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
离心率：$e=\frac{c}{a}$, 其中e>1。

3.4 双曲线的准线：

双曲线准线双曲线的准线是与双曲线实轴垂直并通过双曲线焦点的直线。
对于水平开口的双曲线（实轴水平），其两条准线方程分别为$x=\frac{a^2}{c}$和$x=-\frac{a^2}{c}$；
对于垂直开口的双曲线（实轴垂直），其两条准线方程分别为$y=\frac{a^2}{c}$和$y=-\frac{a^2}{c}$。
双曲线上任意一点到其对应焦点的距离与到其对应准线的距离之比是一个常数，等于双曲线的离心率e。

注意：双曲线与椭圆的准线具有相同的方程形式以及几何意义（前提：双曲线的实轴对应为椭圆的长轴，双曲线的虚轴轴对应为椭圆的短轴）。

3.5 双曲线的渐近线

曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近某间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。渐近线可分为可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

渐近线是双曲线的简单几何性质之一，它刻画了双曲线的“形状”（即张口大小），同时它又与离心率e的大小具有一一对应关系。e越小，双曲线的张口越小；e越大，双曲线的张口越大。双曲线的渐近线方程为：

当焦点在x轴上时，方程为$y=\pm \frac{b}{a}x$。其中a为实轴长度一半，b为虚轴长度一半，
当焦点在y轴上时，方程为$y=\pm fracabx$。其中a为实轴长度一半，b为虚轴长度一半，

4. 抛物线

4.1 定义：

抛物线是平面上到一定点（焦点）和一直线（准线）距离相等的点的轨迹。

4.2 标准方程：

顶点在原点，开口向上的抛物线方程为：$y^2=4px$（其中p>0，表示焦距）。
顶点在原点，开口向下的抛物线方程为：$y^2=-4px$（其中p>0，表示焦距）。
顶点在原点，开口向左的抛物线方程为：$x^2=-4py$（其中p>0，表示焦距）。
顶点在原点，开口向右的抛物线方程为：$x^2=4py$（其中p>0，表示焦距）。

4.3 性质：

焦距：p（也称为准距）。
焦点：
对于顶点在原点，开口向上的抛物线，焦点为(p,0)；
对于顶点在原点，开口向下的抛物线，焦点为(−p,0)；
对于顶点在原点，开口向左的抛物线，焦点为(0,−p)；
对于顶点在原点，开口向右的抛物线，焦点为(0,p)。

反射性：
平行于对称轴的光线（或任何形式的波）入射到抛物面上，会在焦点处汇聚；反之，从焦点发出的光线（或波）会在抛物面上反射，并平行于对称轴传播。

4.4 准线：

抛物线的准线是与抛物线的对称轴垂直并通过抛物线焦点的直线。抛物线的标准方程有几种形式，取决于其开口方向和位置：
对于顶点在原点，开口向上的抛物线，准线为x=−p（p为焦距，下同）；
对于顶点在原点，开口向下的抛物线，准线为x=p；
对于顶点在原点，开口向左的抛物线，准线为y=p；
对于顶点在原点，开口向右的抛物线，准线为y=−p。

抛物线的准线具有以下几何性质：

• 垂直于对称轴：准线总是垂直于抛物线的对称轴，这是抛物线的定义之一。
• 等距性：抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。这是抛物线的另一个基本性质，通常用于定义抛物线。作为这条性质的推论，准线与抛物线的顶点的距离等于焦点与顶点的距离，这个距离即为焦距p.

6. 极坐标方程

有些问题在极坐标下进行解决非常方便。本节介绍一下三种圆锥曲线的极坐标系中的方程表现形式。

6.1 椭圆的极坐标系方程

椭圆的极坐标系方程可以通过将椭圆的直角坐标系方程转换为极坐标形式来得到。下面是推导椭圆极坐标系方程的过程：

首先，考虑一个中心在原点长轴在x轴上的椭圆，其直角坐标方程系为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）
在极坐标系中，x 和 y 可以用 r（到原点的距离）和 θ（与正x轴的夹角）表示如下：
$$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$

将这两个表达式代入椭圆的直角坐标方程中，得到：
$$\frac{r^{2}co{s}^2\theta }{a^2}+\frac{r^{2}si{n}^2\theta }{b^2}=1$$

接下来我们利用离心率消去b。
由于，$e^2=(\frac{c}{a}{)}^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$，经过变形可得，$b^2=a^2(1-e^2)$，代入以上方程可得：
$$r=a\sqrt{\frac{1-e^2}{1-e^{2}co{s}^2\theta }}$$ 其中，$0\le \theta <2\pi$

当e=0时，椭圆退化为圆，代入上式即可得圆的极坐标方程：$r=a$

6.2 双曲线的极坐标系方程

考虑中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（其中a>b>0）。
同样，基于直角坐标在极坐标系中的表示：
$$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$
以及离心率$e^2=(\frac{c}{a}{)}^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$，经过变形可得，$b^2=a^2(e^2-1)$，代入后经过类似的数学变换可得：
$$r=a\sqrt{\frac{e^2-1}{e^{2}co{s}^2\theta -1}}$$ 其中，$0\le \theta <2\pi$

6.3 抛物线的极坐标系方程

考虑顶点在原点，开口向上的抛物线方程为：$y^2=4px$（其中p>0，表示焦距）。
同样，基于直角坐标在极坐标系中的表示：
$$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$
代入直角坐标系方程可得：
$$\begin{gathered} rsi{n}^2\theta =4pcos\theta ,for0<\theta <2\pi \\ r=0,for\theta =0 \end{gathered}$$

7. 小结及其它

对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性，可以是关于x轴、y轴或原点的对称。

顶点：每种圆锥曲线都有顶点，这些顶点是曲线与坐标轴的交点或曲线的极值点。

离心率：抛物线没有离心率这一属性。但是，如下所述，也可以把抛物线看作是离心率等于1的圆锥曲线。

曲线上任一点到到焦点的距离与该点到准线的距离的关系：
抛物线上任一点到到焦点的距离等于该点到准线的距离，或者说两者比值为1，但是对于双曲线和椭圆，两者的比值不是1，而是离心率e。进一步考虑到椭圆的离心率满足0<e<1，而双曲线的离心率满足e>1，可以考虑抛物线虽然本没有离心率这一属性，具有e=1的离心率，这样抛物线可以理解为介乎于双曲线和椭圆之间。这样的话，可以统一为以下描述：圆锥曲线上任一点到到焦点的距离与该点到准线的距离之比值为e。

渐近线：双曲线有渐近线，椭圆没有渐近线，抛物线也没有渐近线。

长短和实虚轴：椭圆有长轴和短轴，而双曲线则是实轴和虚轴，其中实轴对应于椭圆的长轴，而虚轴对应于于椭圆的短轴。而抛物线则没有长短轴的概念。