矩阵论 •「线性变换」

线性变换

关于变换：在两个集合之间可以定义一个映射。当集合为数集时，我们称这个映射为“函数”；当集合为线性空间时，就称这个映射为“变换”（之所以叫变换，隐含了一种运动的思想）。“变换”实际上就是“函数”的一种花哨的说法，只是在线性代数中，变换主要考虑作用的是线性空间中的元素，而不是函数中的数字；线性空间中的元素可以简单理解为向量.

线性变换

定义：设 $V$ 是一个线性空间，$T$ 是 $V$ 到自身的一个映射，对于 $V$ 中的任意元素 $\vec{v}$ 均存在唯一的 $\overrightarrow{v^{\prime }}\in V$ 与之对应，则称 $T$ 为线性空间 $V$ 上的一个变换，记为 $T\vec{v}=\overrightarrow{v^{\prime }}$（注意：“到自身”限定了变换矩阵为方阵？）一个变换可以非常复杂，然而幸运的是，线性变换对变换进行了限定，是一种特殊的变换；向量的线性运算有加法和数量乘法，那么线性变换顾名思义，就是针对向量的线性运算的变换，它满足：
$$\begin{array}{rl}T(\vec{x}+\vec{y})& =T(\vec{x})+T(\vec{y})\\ T(k\vec{x})& =kT(\vec{x})\end{array}$$
线性变换有一些性质和运算规律，在此做一些举例：

• 线性变换把零元素仍变为零元素（原点固定）；
• 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组，但线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的（例如降维）；
• 线性变换的和 $T_1+T_2\text{:}\forall \vec{x}\in V\text{,}(T_1+T_2)\vec{x}=T_1\vec{x}+T_2\vec{x}$；
• 线性变换的数乘 $kT:\forall \vec{x}\in V\text{,}(kT)\vec{x}=k(T\vec{x})$；
• 线性变换的乘积 $T_1{T}_2:\forall \vec{x}\in V\text{,}(T_1{T}_2)\vec{x}=T_1(T_2\vec{x})$；

通常，线性变换的乘积不满足交换律，且不是所有的变换都具有逆变换；这对应着矩阵的乘积和逆.

线性变换的矩阵表示 ⭐

线性空间是一个非常抽象的概念，线性空间中的元素可以多种多样。线性变换的矩阵表示目的在于：把一个线性空间上的线性变换（元素之间的映射），转化为了坐标之间的变换，并通过矩阵来描述这个变换。对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用线性变换的矩阵右乘以元素的坐标“向量”即可。注意，实际上在这个变换的过程中，选择的描述这个线性空间 $V$ 的基不变。这样的话我们就可以通过矩阵 + 坐标来描述一个线性变换作用于一个抽象向量的过程；每当我们看到一个矩阵时，也都可以理解为是对线性空间（中元素的坐标）的一个线性变换。线性变换的矩阵表示推导过程如下：

考虑线性空间 $V$ 中的一个元素（向量）$\vec{v}$，显然该向量可以由基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1​ ​,v2​ ​...,vn​ ​} 和坐标联合进行唯一线性表示，即：

$$\vec{v}=\sum _1^n{k}_i\overrightarrow{v_i}=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$$

要确定一个线性变换 $T$，乍看起来，似乎需要把线性空间 $V$ 中所有向量在 $T$ 下的象全部找出来才行，事实上不必如此。因为 $T$ 是线性变换（变换前后线性组合系数不变），而 $V$ 中任一向量都可由基向量唯一线性表示，所以只要能够确定出 $V$ 的基向量的象（即确定基向量的运动），则 $V$ 中任一向量的象也就完全确定了。即下面公式所描述的：

$$T\vec{v}=T(k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +k_n\overrightarrow{v_n})=\left[\begin{array}{c}T\overrightarrow{v_1},T\overrightarrow{v_2},\cdots ,T\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$$

其中考虑 $T\overrightarrow{v_i}$：线性变换限定在线性空间 $V$ 到自身，因此每一个 $T\overrightarrow{v_i}$ 都可以由基 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_n}$ 进行唯一线性表示，因此可以写为矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}T\overrightarrow{v_1},T\overrightarrow{v_2},\cdots ,T\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{{}_{11}}{a}_{{}_{12}}\cdots a_{{}_{1n}}\\ a_{{}_{21}}{a}_{{}_{22}}\cdots a_{{}_{2n}}\\ ⋮\\ a_{{}_{n1}}{a}_{{}_{n2}}\cdots a_{{}_{nn}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]A$$
矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 在基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1​ ​,v2​ ​...,vn​ ​} 下的矩阵。考虑线性变换后的向量 $T\vec{v}$：因此向量 $T\vec{v}$ 利用原坐标 $[k_1,k_2,\cdots ,k_n{]}^T$ 表示就为：
$$T\vec{v}=\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$$
于是向量 $T\vec{v}$ 在基 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_n}$ 下的新的坐标为：
$$\left[\begin{array}{c}{k}_1^{\prime }\\ k_2^{\prime }\\ ⋮\\ k_n^{\prime }\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]$$
综上我们证明了，对任何线性空间，选定线性空间的基后，我们对线性空间中的元素进行线性变换或线性运算时，只需用线性变换的矩阵右乘元素的坐标“向量”，即可得到线性变换后的元素（向量）的新坐标。因此可以把一个线性空间中针对元素的线性变换（向量之间的映射），转化为元素坐标之间的变换，并通过矩阵来描述这个变换。故在后面的内容中着重研究矩阵和坐标“向量”。可以证明：选定一个基后，一个线性变换和代表它的矩阵一一对应；注意根据上面推导，实际上在这个变换的过程中，选择的描述线性空间 $V$ 的原始的基 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}...,\overrightarrow{v_n}$ 不变。接下来要研究的是，如果我们看见了一个线性变换，那么这个线性变换的矩阵 $A$ 应该如何求？

线性变换矩阵的计算 ⭐

矩阵和坐标是绑定在一起的术语。根据上面的推导过程，一个变换后的向量的新的坐标应该等于矩阵 $A$ 乘以该向量变换前的坐标，考虑所有基向量变换后新的坐标和变换前坐标的关系，可以列一个 n 元方程组，从而应该可以计算出变换矩阵。以二维空间中的旋转这一线性变换为例，第一步选定标准单位正交基描述这个二维线性空间，如果逆时针旋转 $\theta$ 角，则两个基向量的坐标有如下变换：
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}cos\theta \\ sin\theta \end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}-sin\theta \\ cos\theta \end{array}\right]$$
方程组的矩阵形式则为：
$$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]=A\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

等式两边同时右乘 $I^{-1}$，解得线性变换矩阵 $A$ 为：
$$A=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$
因此，我们就知道了线性变换作用下，一个线性变换后的向量新的坐标 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$；而要想知道这个向量本身，只需用坐标和初始时选定且不变的描述这个二维线性空间的基（在这里是标准单位正交基）做线性组合即可.

线性变换及矩阵的值域和核

设 $T$ 是线性空间 $V^n$ 上的一个线性变换：

• C ( T ) = { T v ⃗   ∣   v ⃗ ∈ V n } C(T) = \{T\vec{v} \ |\ \vec{v} \in V^n\} C(T)={Tv  ∣ v ∈Vn} 为线性变换 $T$ 的值域；
• N ( T ) = { v ⃗   ∣   T v ⃗ = 0 ⃗ ,   v ⃗ ∈ V n } N(T)=\{\vec{v} \ |\ T\vec{v}=\vec{0},\ \vec{v} \in V^n\} N(T)={v  ∣ Tv =0 , v ∈Vn} 称为线性变换 $T$ 的核；

因为选定基后，一个线性变换可以唯一地由一个矩阵来描述（反过来也成立，即一一对应），我们不妨用矩阵 $A$ 来代替线性变换 $T$，那么我们称：

• C ( A ) = { A x   ∣   x ∈ R n } C(A) = \{A\boldsymbol{x} \ |\ \boldsymbol{x} \in R^n\} C(A)={Ax ∣ x∈Rn} 为矩阵 $A$ 的值域，也称为矩阵 $A$ 的列空间（Column Space）；$dim(C(A))$ 也称为矩阵 $A$ 的秩；
• N ( A ) = { x   ∣   A x = 0 ,   x ∈ R n } N(A)=\{\boldsymbol{x} \ |\ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\ \boldsymbol{x} \in R^n\} N(A)={x ∣ Ax=0, x∈Rn} 称为矩阵 $A$ 的核，也称为矩阵 $A$ 的零空间（Null Space）；$dim(N(A))$ 称为矩阵 $A$ 的零度；

关于列空间 $C(A)$、零空间 $N(A)$ 下节也会详细涉及。线性代数基本定理：列空间 $C(A)$ 的维数 + 零空间 $N(A)$ 的维数 = 矩阵 $A$ 的列数，即 $dim(C(A))+dim(N(A))=n$，注意到列空间的维数也就是矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$

线性变换中的相似矩阵

一个线性变换和代表它的矩阵一一对应吗？不是的，前提是首先要为这个线性空间选定一个基。因此，两个矩阵即使不同，但也有可能表示的是同一个线性变换！表示同一个线性变换的矩阵，我们称之为互为相似的矩阵。「相似矩阵」定义：设 $A,B$ 是两个 n 阶矩阵，如果存在一个 $n$ 阶非奇异（满秩）矩阵 $P$，使得 $B=P^{-1}AP$，则称 $A$ 相似于 $B$，记为 $A\sim B$.

🤣定理1：$n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 相似的充要条件是 $A$ 和 $B$ 为同一线性变换在不同基下的矩阵。这一定理就是说，互为相似的矩阵，实际上代表同一个线性变换；只是由于选择描述线性空间的基不同，导致矩阵的形式不同；🤣定理2：设同一个线性变换 $T$ 在两个基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ , ⋯   , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\} {v1​ ​,v2​ ​,⋯,vn​ ​} 和 { v 1 ′ ⃗ , v 2 ′ ⃗ , ⋯   , v n ′ ⃗ } \{\vec{v_1'},\vec{v_2'},\cdots,\vec{v_n'}\} {v1′​ ​,v2′​ ​,⋯,vn′​ ​} 的矩阵分别为 $A$ 和 $B$，且 $[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]=[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]C$ ，则：$B=C^{-1}AC$，即 $A$ 和 $B$ 互为相似矩阵。证明如下：首先根据线性变换的矩阵表示，有
$$\begin{gathered} T[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]=[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]A \\ T[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]=[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]B \end{gathered}$$
结合条件，有：
$$\begin{gathered} T[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]=[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]B=[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]CB \\ T[\overrightarrow{v_1^{\prime }},\overrightarrow{v_2^{\prime }},\cdots ,\overrightarrow{v_n^{\prime }}]=T[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]C=[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}]AC \end{gathered}$$
所以：
$$CB=AC,即B=C^{-1}AC$$