算法求解 -- (炼码 3853 题)检查是否有路径经过相同数量的0和1

1. 问题描述

给定一个下标从 0 开始的 m×n 的二进制矩阵 grid，对于任意一个坐标 (row,col) 的元素，仅可以向右走 (row,col+1) 或者向下走 (row+1,col)。现在从坐标 (0,0) 出发至终点
(m−1,n−1)，判断是否存在一条路径，使得路径上存在相同数量的 0 和 1，如果存在，则返回 true，否则返回 false。

2. 解决方案概述

为了高效地解决这个问题，我们可以使用 深度优先搜索（DFS） 并结合 缓存 来避免重复计算。具体步骤如下：

初始化：

• m 和 n 分别表示矩阵的行数和列数。
• 将矩阵中的 0 替换成 -1，1 保持不变。
• 检查路径长度是否为奇数，如果是则直接返回 false。
  深度优先搜索（DFS）：
• DFS 函数从当前节点 (i, j) 开始进行搜索。
• 检查当前节点是否超出矩阵边界，如果是则返回 false。
• 更新 k，即路径上元素的和。
• 如果到达终点 (m-1, n-1) 且 k 为 0，返回 true。
• 使用字典 cache 来缓存已经计算过的结果，避免重复计算。
• 向右或向下移动，继续进行 DFS。

3. 具体实现

using System;
using System.Collections.Generic;

public class Solution {
    public bool IsThereAPath(int[][] grid) {
        int m = grid.Length;
        int n = grid[0].Length;
        
        // 将矩阵中的 0 替换成 -1，1 保持不变
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 0) {
                    grid[i][j] = -1;
                }
            }
        }

        // 如果路径长度为奇数，直接返回 false
        if ((m + n - 1) % 2 != 0) {
            return false;
        }

        // 使用字典作为缓存
        Dictionary<(int, int, int), bool> cache = new Dictionary<(int, int, int), bool>();

        return DFS(0, 0, 0, grid, m, n, cache);
    }

    private bool DFS(int i, int j, int k, int[][] grid, int m, int n, Dictionary<(int, int, int), bool> cache) {
        if (i == m || j == n) {
            return false;
        }

        k += grid[i][j];

        if (i == m - 1 && j == n - 1) {
            return k == 0;
        }

        var key = (i, j, k);
        if (cache.TryGetValue(key, out bool cachedResult)) {
            return cachedResult;
        }

        bool result = DFS(i + 1, j, k, grid, m, n, cache) || DFS(i, j + 1, k, grid, m, n, cache);
        cache[key] = result;

        return result;
    }

    public static void Main(string[] args) {
        Solution solution = new Solution();

        // 示例 1
        int[][] grid1 = new int[][] {
            new int[] {0, 1, 0, 0},
            new int[] {0, 1, 0, 0},
            new int[] {1, 0, 1, 0}
        };
        bool result1 = solution.IsThereAPath(grid1);
        Console.WriteLine($"Example 1: {result1}"); // 输出: True

        // 示例 2
        int[][] grid2 = new int[][] {
            new int[] {0, 0, 0, 0},
            new int[] {1, 1, 1, 1},
            new int[] {0, 0, 0, 0}
        };
        bool result2 = solution.IsThereAPath(grid2);
        Console.WriteLine($"Example 2: {result2}"); // 输出: False
    }
}

4. 示例解析

示例 1
输入：

int[][] grid1 = new int[][] {
    new int[] {0, 1, 0, 0},
    new int[] {0, 1, 0, 0},
    new int[] {1, 0, 1, 0}
};

输出：True
解释：矩阵中有路径从 (0, 0) 到 (2, 3)，路径上存在 3 个 0 和 3 个 1，因此返回 True。
示例 2
输入：

int[][] grid2 = new int[][] {
    new int[] {0, 0, 0, 0},
    new int[] {1, 1, 1, 1},
    new int[] {0, 0, 0, 0}
};

输出：False
解释：矩阵中没有路径从 (0, 0) 到 (2, 3)，路径上存在相同数量的 0 和 1，因此返回 False。

5. 总结

通过使用深度优先搜索（DFS）和缓存技术，我们可以高效地判断矩阵中是否存在一条路径，使得路径上经过的 0 和 1 的数量相同。这种方法不仅能够处理较大的矩阵，还能避免不必要的重复计算，提高算法的效率。