Toeplitz矩阵循环矩阵
Toeplitz矩阵
一个
n
×
n
n \times n
n×n的矩阵
A
A
A是Toeplitz矩阵，如果它的每个对角线上的元素都相同。即，对于所有
i
,
j
i, j
i,j，有
a
i
j
=
a
i
+
1
,
j
+
1
a_{ij} = a_{i+1,j+1}
aij=ai+1,j+1。换句话说，矩阵中的元素只依赖于行索引与列索引的差值。形式上，可以表示为：
A
=
[
a
0
a
−
1
a
−
2
⋯
a
−
(
n
−
1
)
a
1
a
0
a
−
1
⋯
a
−
(
n
−
2
)
a
2
a
1
a
0
⋯
a
−
(
n
−
3
)
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
−
1
a
n
−
2
a
n
−
3
⋯
a
0
]
A = \begin{bmatrix} a_0 & a_{-1} & a_{-2} & \cdots & a_{-(n-1)} \\ a_1 & a_0 & a_{-1} & \cdots & a_{-(n-2)} \\ a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & a_{-(n-3)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_0 \end{bmatrix}
A=
a0a1a2⋮an−1a−1a0a1⋮an−2a−2a−1a0⋮an−3⋯⋯⋯⋱⋯a−(n−1)a−(n−2)a−(n−3)⋮a0
循环矩阵
循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其中每一行都是前一行向右循环移位的结果。循环矩阵的第一行（或第一列）完全确定了整个矩阵。如果用
c
0
,
c
1
,
.
.
.
,
c
n
−
1
c_0, c_1, ..., c_{n-1}
c0,c1,...,cn−1表示第一行的元素，则循环矩阵可以写作：
C
=
[
c
0
c
n
−
1
c
n
−
2
⋯
c
1
c
1
c
0
c
n
−
1
⋯
c
2
c
2
c
1
c
0
⋯
c
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
n
−
1
c
n
−
2
c
n
−
3
⋯
c
0
]
C = \begin{bmatrix} c_0 & c_{n-1} & c_{n-2} & \cdots & c_1 \\ c_1 & c_0 & c_{n-1} & \cdots & c_2 \\ c_2 & c_1 & c_0 & \cdots & c_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n-1} & c_{n-2} & c_{n-3} & \cdots & c_0 \end{bmatrix}
C=
c0c1c2⋮cn−1cn−1c0c1⋮cn−2cn−2cn−1c0⋮cn−3⋯⋯⋯⋱⋯c1c2c3⋮c0
两者关系
-
包含关系：所有循环矩阵都是Toeplitz矩阵，但不是所有的Toeplitz矩阵都是循环矩阵。这是因为循环矩阵满足更严格的条件——不仅每条对角线上的元素相同，而且每行都是前一行的循环移位。
-
傅里叶变换：循环矩阵的一个重要性质是它们可以通过离散傅里叶变换（DFT）对角化。这意味着存在一个单位复数矩阵 F F F（傅里叶矩阵），使得 F − 1 C F F^{-1}CF F−1CF是一个对角矩阵，其中 C C C是一个循环矩阵。这个性质在快速算法设计中非常有用，例如快速傅里叶变换（FFT）可以用来高效地求解循环矩阵的乘法。
-
应用领域：虽然两者都可以用于信号处理和图像处理等领域，但循环矩阵因其特殊的结构而在某些特定的应用中更为常见，如卷积运算等。