蓝桥杯备考——算法
一、排序
冒泡排序、选择排序、插入排序、 快速排序、归并排序、桶排序
二、枚举
三、二分查找与二分答案
四、搜索（DFS）
DFS（DFS基础、回溯、剪枝、记忆化）
1.DFS算法（深度优先搜索算法）
深度优先搜索（ DFS ）是一种用于遍历或搜索图或树的算法，它从起始节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点继续探索。 DFS 使用栈来记录遍历的路径，它优先访问最近添加到栈的节点。
DFS 的主要优点是简单且易于实现，它不需要额外的数据结构来记录节点的访问情况，仅使用栈来存储遍历路径。然而， DFS 可能会陷入无限循环中，因为它不考虑节点是否已经访问过。
对于一个连通图，深度优先搜索遍历的过程如下：
（1）从图中某个顶点v出发，访问v；
（2）找到刚访问过的顶点的第一个未被访问的邻接点，访问该顶点。 以该顶点为新顶点，重 复此步骤， 直至刚访问过的顶点没有未被访问的邻接点为止。
(3)返回前一个访问过的且仍有未被访问的邻接点的顶点，找出该顶点的下一个未被访问的邻接点， 访问该顶点。
(4)重复步骤 (2) 和(3), 直至图中所有顶点都被访问过，搜索结束。
顶点访问序列：v1 -> v2 -> v4 -> v8 -> v5 -> v3 -> v6 -> v7
DFS 使用栈来记录遍历的路径，它优先访问最近添加到栈的节点。
显然， 深度优先搜索遍历连通图是一个递归的过程。 为了在遍历过程中便千区分顶点是否已
被访问，需附设访问标志数组 visited[n] , 其初值为 "false", 一旦某个顶点被访问，则其相应的分
量置为 "true"。
python语言：
# 图的DFS遍历
def dfs(graph, start, visited):
# 访问当前节点
print(start, end=' ')
# 标记当前节点为已访问
visited[start] = True
# 遍历当前节点的邻居节点
for neighbor in graph[start]:
# 如果邻居节点未被访问，则继续深度优先搜索
if not visited[neighbor]:
dfs(graph, neighbor, visited)
# 图的邻接表表示
graph = {
'1': ['2', '3'],
'2': ['2', '4', '5'],
'3': ['1', '6', '7'],
'4': ['2','8'],
'5': ['2','8'],
'6': ['3','7'],
'7': ['3','6'],
'8': ['4','5']
}
# 标记节点是否已访问的列表
visited = {node: False for node in graph}
# 从节点A开始进行DFS遍历
print("DFS遍历结果：")
dfs(graph, '1', visited)C++ / C语言：
算法1.深度优先搜索遍历连通图
// 1. 深度优先搜索遍历连通图
bool visited[MVNum]; // 访问标志数组，其初值设为“false”
void DFS(Graph G, int v)
{ // 从第v个顶点出发 递归地深度优先遍历图G
cout << v; visited[v] = true;
for (w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w))
// 依次检查v的所有邻接点w，FirstAdjVex(G,v)表示v的第一个邻接点
// NextAdjVex(G,v,w)表示v相对于w的下一个邻接点，w>=0表示存在邻接点
if (!visited[w]) DFS(G,w); // 对v的尚未访问的邻接点w递归调用DFS
}算法2.深度优先搜索遍历 非连通图
若是非连通图， 上述遍历过程执行之后， 图中一定还有顶点未被访间，需要从图中另选
一个未被访问的顶点作为起始点 ， 重复上述深度优先搜索过程， 直到图中所有顶点均被访问
过为止。这样， 要实现对非连通图的遍历，需要循环调用算法 1, 具体实现如算法 2所示。
void DFSTraverse(Graph G)
{ //对非连通图G做深度优先遍历
for(v=O;v<G.vexnum;++v) visited[v]=false; // 访问标志数组初始化
for(v=O;v<G.vexnum;++v) // 循环调用算法1
if(!visited[v]) DFS(G,v); // 对尚未访问的顶点调用DFS
}算法 3 采用 邻接矩阵 表示图的深度优先搜索遍历
void DFS_AM(AMGraph G,int v)
{ // 图G为 邻接矩阵类型，从第v个顶点出发深度优先搜索遍历图G
cout<<v; visited[v]=true; // 访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分址值为true
for(w=O; w<G.vexnum; w++) // 依次检查邻接矩阵 v所在的行
if((G.arcs[v][w] !=O) && (!visited[w])) DFS(G,w); //G.arcs[v][w] ! =0表示w是v的邻接点， 如果w未访问， 则递归调用DFS
}算法 4 采用邻接表表示图的深度优先搜索遍历
void DFS_AL (ALGraph G,int v)
{ //图G为 邻接表 类型， 从第v个顶点出发深度优先搜索遍历图G
cout<<v; visited[v]=true; // 访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分量值为true
p=G.vertices[v] .firstarc; //p指向v的边链表的第一个边结点
while(p!=NULL) // 边结点非空
{
w=p->adjvex; // 表示w是v的邻接点
if(!visited[w]) DFS(G,w); // 如果w未访问， 则递归调用DFS
p=p->nextarc; //p指向下一个边结点
}
}
例题：1.最大连通
问题描述：（填空题）
小兰有一个30行60列的数字矩阵，矩阵中的每个数都是0或1。
110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110
010000000001010001101100000010010110001111100010101100011110
001011101000100011111111111010000010010101010111001000010100
101100001101011101101011011001000110111111010000000110110000
010101100100010000111000100111100110001110111101010011001011
010011011010011110111101111001001001010111110001101000100011
101001011000110100001101011000000110110110100100110111101011
101111000000101000111001100010110000100110001001000101011001
001110111010001011110000001111100001010101001110011010101110
001010101000110001011111001010111111100110000011011111101010
011111100011001110100101001011110011000101011000100111001011
011010001101011110011011111010111110010100101000110111010110
001110000111100100101110001011101010001100010111110111011011
111100001000001100010110101100111001001111100100110000001101
001110010000000111011110000011000010101000111000000110101101
100100011101011111001101001010011111110010111101000010000111
110010100110101100001101111101010011000110101100000110001010
110101101100001110000100010001001010100010110100100001000011
100100000100001101010101001101000101101000000101111110001010
101101011010101000111110110000110100000010011111111100110010
101111000100000100011000010001011111001010010001010110001010
001010001110101010000100010011101001010101101101010111100101
001111110000101100010111111100000100101010000001011101100001
101011110010000010010110000100001010011111100011011000110010
011110010100011101100101111101000001011100001011010001110011
000101000101000010010010110111000010101111001101100110011100
100011100110011111000110011001111100001110110111001001000111
111011000110001000110111011001011110010010010110101000011111
011110011110110110011011001011010000100100101010110000010011
010011110011100101010101111010001001001111101111101110011101如果从一个标为1的位置可以通过上下左右走到另一个标为1的位置，则称两个位置连通。与某一个标为1的位置连通的所有位置（包括自己）组成一个连通分块。
请问矩阵中最大的连通分块有多大？
答案：
import os
import sys
def dfs(x, y, num): # x,y是当前的位置，num是最大连通的数量
vis[x][y] = 1 # 表明这个位置已经被搜素过了
for dx,dy in [(1, 0), (-1, 0), (0,1), (0, -1)]: # 标准的上下左右搜索
current_x = x + dx
current_y = y + dy
if 0 <= current_x < 30 and 0 <= current_y <60: # 边界限制
try:
if vis[current_x][current_y] != 1 and data[current_x][current_y] == '1': # 上下左右有位置没有被探索同时还是字符串的'1'
num = dfs(current_x,current_y,num)
except: # 这里是方便找到如果输入错误是在哪，用来检查循环条件是否写错
print(current_x)
print(current_y)
return num + 1 # 本身的1加上所有与它相连的num
data =[
"110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110",
"010000000001010001101100000010010110001111100010101100011110",
"001011101000100011111111111010000010010101010111001000010100",
"101100001101011101101011011001000110111111010000000110110000",
"010101100100010000111000100111100110001110111101010011001011",
"010011011010011110111101111001001001010111110001101000100011",
"101001011000110100001101011000000110110110100100110111101011",
"101111000000101000111001100010110000100110001001000101011001",
"001110111010001011110000001111100001010101001110011010101110",
"001010101000110001011111001010111111100110000011011111101010",
"011111100011001110100101001011110011000101011000100111001011",
"011010001101011110011011111010111110010100101000110111010110",
"001110000111100100101110001011101010001100010111110111011011",
"111100001000001100010110101100111001001111100100110000001101",
"001110010000000111011110000011000010101000111000000110101101",
"100100011101011111001101001010011111110010111101000010000111",
"110010100110101100001101111101010011000110101100000110001010",
"110101101100001110000100010001001010100010110100100001000011",
"100100000100001101010101001101000101101000000101111110001010",
"101101011010101000111110110000110100000010011111111100110010",
"101111000100000100011000010001011111001010010001010110001010",
"001010001110101010000100010011101001010101101101010111100101",
"001111110000101100010111111100000100101010000001011101100001",
"101011110010000010010110000100001010011111100011011000110010",
"011110010100011101100101111101000001011100001011010001110011",
"000101000101000010010010110111000010101111001101100110011100",
"100011100110011111000110011001111100001110110111001001000111",
"111011000110001000110111011001011110010010010110101000011111",
"011110011110110110011011001011010000100100101010110000010011",
"010011110011100101010101111010001001001111101111101110011101"]
res = 0
vis = [[0 for i in range(60)] for j in range(30)] # 标记数组
for i in range(30): # i和j是位置
for j in range(60):
if data[i][j] == '1' and vis[i][j] == 0:
num = 0
num = dfs(i,j,num)
res = max(num, res)
print(res)例题2.
2. 广度优先搜索（ BFS ）算法
是一种用于遍历或搜索图或树的算法，它从起始节点开始，逐层地向外扩展，先访问当前节点的所有邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，直到遍历完所有节点。
BFS 使用队列来记录遍历的路径，它优先访问最早添加到队列的节点。 BFS 的主要优点是能够找到起始节点到目标节点的最短路径，因为它是逐层遍历的。
python语言
from collections import deque
# 图的BFS遍历
def bfs(graph, start):
# 使用队列来记录遍历路径
queue = deque([start])
# 标记节点是否已访问的集合
visited = set([start])
while queue: # 当栈不为空
node = queue.popleft() # 左端出栈
print(node, end=' ')
for neighbor in graph[node]:
if neighbor not in visited:
queue.append(neighbor) # 右端进栈
visited.add(neighbor)
# 图的邻接表表示
graph = {
'1': ['2', '3'],
'2': ['2', '4', '5'],
'3': ['1', '6', '7'],
'4': ['2','8'],
'5': ['2','8'],
'6': ['3','7'],
'7': ['3','6'],
'8': ['4','5']
}
# 从节点A开始进行BFS遍历
print("BFS遍历结果：")
bfs(graph, '1') # 1 2 3 4 5 6 7 8python: collections模块——双向队列（deque）
类似于list的容器，可以快速的在队列头部和尾部添加、删除元素
3. DFS 与 BFS 的对比
DFS 和 BFS 是两种不同的图遍历算法，在不同的应用场景下具有不同的优势：
- DFS 适用于找到起始节点到目标节点的路径，但不一定是最短路径。它通过递归的方式深入探索图的分支，因此对于深度较小的图或树， DFS 通常表现较好。
- BFS 适用于找到起始节点到目标节点的最短路径。它通过逐层遍历图的节点，从而保证找到的路径是最短的。在需要寻找最短路径的情况下， BFS 是更好的选择