循环矩阵和BCCB矩阵与向量乘积的快速计算——矩阵向量乘积与频域乘积之间的转换

循环矩阵（Circulant Matrix）和块循环对称矩阵（Block Circulant with Circulant Blocks, BCCB）是两种具有特殊结构的矩阵。循环矩阵和BCCB矩阵与向量的乘积可以利用快速傅里叶变换（FFT）来高效计算，解决大规模的线性系统问题。

循环矩阵

循环矩阵的定义

循环矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行都是前一行向右循环移位一个位置的结果。如果矩阵$C$是$n\times n$的循环矩阵，那么它可以由第一行的$n$个元素完全确定。假设$c_0,c_1,...,c_{n-1}$是矩阵$C$的第一行，则矩阵的形式如下：

$$C=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_0& c_{n-1}& \dots & c_2& c_1\\ c_1& c_0& c_{n-1}& & c_2\\ ⋮& c_1& c_0& \ddots & ⋮\\ c_{n-2}& & \ddots & \ddots & c_{n-1}\\ c_{n-1}& c_{n-2}& \dots & c_1& c_0\end{array}\right]$$
一个$n\times n$的循环矩阵$C$可以完全由其第一行$c=[c_0,c_1,...,c_{n-1}]$决定。

特征值与特征向量

循环矩阵$C$的特征值可以通过离散傅里叶变换（DFT）来计算，具体来说，如果$c$是$C$的第一行，则$C$的特征值为${\lambda }_k={\sum }_{j=0}^{n-1}{c}_j{e}^{-i2\pi jk/n}$，$k=0,1,...,n-1$。

利用 FFT，可以高效地计算循环矩阵的特征值和特征向量，从而实现矩阵的快速对角化。

循环矩阵的对角化

由于循环矩阵的所有特征向量是正交的，因此循环矩阵可以被对角化。

一个$n\times n$的循环矩阵$C$可以通过离散傅里叶变换（DFT）矩阵$F$进行对角化，即存在一个对角矩阵$\Lambda$，使得：
$$C=F^{-1}\Lambda F$$
其中，$F$是DFT矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，其对角线上的元素是$C$的特征值，这些特征值可以通过计算$C$的第一行向量的DFT获得。

循环矩阵与向量的乘积

对于一个$n\times n$的循环矩阵$C$和一个$n$维向量$x$，计算$Cx$的过程可以通过快速傅里叶变换（FFT）来高效实现：

1. 计算$c$和$x$的 FFT，分别得到$F(c)$和$F(x)$。
2. 对$F(c)$和$F(x)$做逐元素相乘，得到结果$Y=F(c)\odot F(x)$。
3. 对$Y$应用逆 FFT (IFFT)，得到最终结果$y=IFFT(Y)$。

这样，通过使用 FFT，可以高效地计算出循环矩阵与向量的乘积，避免了直接矩阵乘法带来的高计算复杂度。这种方法利用了 FFT 的高效性，将原本需要$O(n^2)$复杂度的矩阵乘法降低到了$O(n\log n)$的复杂度，极大地提高了计算效率。

BCCB矩阵

BCCB矩阵的定义

块循环对称矩阵（Block Circulant with Circulant Blocks, BCCB）是由多个循环矩阵（Circulant Matrix）组成的块矩阵（Block Circulant Matrix）。它在每个块上都具有循环矩阵的性质，并且这些块本身也按照循环矩阵的方式排列。

假设有一个大小为$n\times n$的BCCB矩阵，其中每个块是一个大小为$m\times m$的循环矩阵，则整个BCCB矩阵的大小为$nm\times nm$。

$$B=\left[\begin{array}{ccccc}{B}_0& B_{n-1}& \dots & B_2& B_1\\ B_1& B_0& B_{n-1}& & B_2\\ ⋮& B_1& B_0& \ddots & ⋮\\ B_{n-2}& & \ddots & \ddots & B_{n-1}\\ B_{n-1}& B_{n-2}& \dots & B_1& B_0\end{array}\right]$$

每个$B_i$都是一个$m\times m$的循环矩阵。

BCCB矩阵的对角化

根据循环矩阵的性质，单个循环矩阵可以通过 FFT 对角化。同样地，BCCB 矩阵也可以通过对每个块进行 FFT 操作来对角化。BCCB矩阵的对角化可以通过两次应用DFT矩阵实现，$F_n$用于处理块循环结构，$F_m$用于处理每个循环矩阵块。这个过程可以形式化地表示为：
$$B=(F_n\otimes F_m{)}^{-1}\Lambda (F_n\otimes F_m)$$
这里，$\otimes$表示Kronecker积，$\Lambda$是对角矩阵，包含BCCB矩阵的所有特征值。

BCCB 矩阵也可以通过适当的傅里叶变换矩阵$F_n\otimes F_m$（$\otimes$表示克罗内克积）来对角化。$F_n$为$n\times n$ 的DFT矩阵，$F_m$为$m\times m$ 的DFT矩阵。

BCCB 矩阵与向量的乘积

当考虑 BCCB 矩阵$A$与向量$x$的乘积$y=Ax$时，如果直接进行计算，计算复杂度为$O(n^2{m}^2)$，这在$n$和$m$较大时是非常高的。但是，利用 BCCB 矩阵可以对角化的性质，使用快速傅里叶变换（FFT）来降低计算复杂度到$O(nm\log (nm))$。

具体步骤如下：

1. 计算向量$x$的$nm$维傅里叶变换$\hat{x}=(F_n\otimes F_m)x$。
2. 将对角矩阵${\Lambda }_A$与$\hat{x}$相乘，得到$\hat{y}=\Lambda \hat{x}$。
3. 计算$\hat{y}$的逆傅里叶变换$y=(F_n\otimes F_m{)}^{-1}\hat{y}$。

这样，我们就得到了$Ax$的结果$y$，提高计算效率。

BCCB 矩阵与向量乘积的实现

对于一个 BCCB 矩阵$B$与一个向量$x$的乘积$Bx$，可以通过以下步骤高效地计算：

1. 特征值计算：
   构造矩阵$Z$
   
   

2. 向量重塑：首先，将向量$x$重塑成$n\times n$的矩阵形式$X$。
   

3. 二维 FFT：对矩阵$X$进行二维 FFT 得到$F(X)$。
   

4. 点乘运算：将$F(X)$与前面提到的对角化后的矩阵$\Lambda$中对应的特征值进行逐元素点乘，得到新的矩阵$Y$。
   

5. 逆二维 FFT：最后，对$Y$应用逆二维 FFT 得到最终结果$Y$，再将$Y$重新拉平为一个向量，即为$Bx$的结果。
   

总结

循环矩阵和BCCB 矩阵的对角化和与向量的乘积都可以通过 FFT 相关技术高效地实现。这种高效的算法对于处理大规模数据集尤其重要，可以在保持计算精度的同时显著减少计算时间和资源消耗。