理论力学基础：讲义与笔记(2)

理论力学基础：讲义与笔记(2)

第四章 哈密顿力学

4.1 哈密顿方程的建立与推导

哈密顿力学作为理论力学的重要分支，提供了另一种描述动力系统的方法，相较于拉格朗日力学更加对称和简洁。本节将详细介绍哈密顿函数的定义及其物理意义，并从拉格朗日力学的基础出发，系统地推导出哈密顿方程。

4.1.1 哈密顿函数的定义与物理意义

哈密顿函数，通常记作$H$，在哈密顿力学中扮演着核心的角色。对于一个由广义坐标$\mathbf{q}$和广义动量$\mathbf{p}$描述的系统，哈密顿函数被定义为拉格朗日函数$L$关于广义速度$\dot{\mathbf{q}}$的勒让德变换：
$$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=\mathbf{p}\cdot \dot{\mathbf{q}}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$$

其中，广义动量$\mathbf{p}$由以下关系给出：

KaTeX parse error: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: …boldsymbol{q}}

这个定义表明，哈密顿函数不仅与系统的动能$T$和势能$V$相关，还体现了广义动量与广义速度之间的关系。在许多物理系统中，特别是在保守系统中，哈密顿函数$H$等同于系统的总能量：

$$H=T+V$$

然而，这一等式在非保守系统中可能不再成立，这要求我们在具体应用时对哈密顿函数的物理意义进行仔细分析。

4.1.2 从拉格朗日力学到哈密顿力学的转变

为了从拉格朗日力学转向哈密顿力学，我们需要通过勒让德变换将广义速度$\dot{\mathbf{q}}$替换为广义动量$\mathbf{p}$。具体步骤如下：

1. 确定拉格朗日函数：

   首先，确定系统的拉格朗日函数$L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$，通常定义为动能与势能的差：

   $$L=T-V$$

2. 计算广义动量：

   通过对拉格朗日函数关于广义速度$\dot{\mathbf{q}}$求偏导，得到广义动量：

   $$\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$$

3. 进行勒让德变换：

   使用广义动量和拉格朗日函数进行勒让德变换，得到哈密顿函数：

   $$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=\mathbf{p}\cdot \dot{\mathbf{q}}-L$$

   此时，$\dot{\mathbf{q}}$需要被视为广义坐标$\mathbf{q}$和广义动量$\mathbf{p}$的函数，以确保$H$仅依赖于$\mathbf{q}$、$\mathbf{p}$和时间$t$。

4. 推导哈密顿方程：

   通过哈密顿函数的定义和系统的动力学关系，可以推导出哈密顿方程。具体步骤如下：

   • 广义坐标的时间演化：

     $$\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}$$

   • 广义动量的时间演化：

     $$\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}$$

   这两式合称为哈密顿方程，它们描述了系统广义坐标和广义动量随时间的变化规律。

4.1.3 哈密顿方程的详细推导

下面将从拉格朗日方程出发，详细推导哈密顿方程。

1. 拉格朗日方程：

   拉格朗日方程为：

   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}=0$$

   根据广义动量的定义$\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$，可以改写为：

   $$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}$$

2. 哈密顿函数的导出：

   使用哈密顿函数的定义：

   $$H=\mathbf{p}\cdot \dot{\mathbf{q}}-L$$

   对哈密顿函数关于$\mathbf{q}$的偏导数：

   $$\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}=\mathbf{p}\cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{q}}}{\partial \mathbf{q}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}$$

   注意到$\frac{\partial \dot{\mathbf{q}}}{\partial \mathbf{q}}=0$，因为$\dot{\mathbf{q}}$和$\mathbf{q}$是独立变量，因此：

   $$\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}=-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}=-\frac{d\mathbf{p}}{dt}$$

3. 时间演化方程的推导：

   同时，对哈密顿函数关于$\mathbf{p}$的偏导数：

   $$\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}=\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{p}\cdot \frac{\partial \dot{\mathbf{q}}}{\partial \mathbf{p}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{p}}$$

   由于$\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$，且$\frac{\partial \dot{\mathbf{q}}}{\partial \mathbf{p}}=0$，可以简化为：

   $$\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}=\dot{\mathbf{q}}$$

4. 综上所述，哈密顿方程：

   将上述结果结合起来，得出哈密顿方程：

   $$\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}$$

   $$\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}$$

   这两条方程描述了系统广义坐标$\mathbf{q}$和广义动量$\mathbf{p}$在相空间中的演化规律。

哈密顿力学不仅在理论研究中具有重要意义，还在实际应用中展现出巨大的优势。其相空间的框架为动力系统的分析提供了强有力的工具，特别是在处理多体问题和复杂约束条件时，哈密顿力学显示出更高的灵活性和效率。此外，哈密顿力学与量子力学的数学结构密切相关，为量子理论的发展奠定了坚实的基础。

4.2 相空间与相轨迹

相空间是理论力学中的一个核心概念，用于全面描述动力系统的状态。在相空间中，每一个点都代表系统在某一时刻的完整状态，包括所有广义坐标和相应的广义动量。对于具有$n$个自由度的系统，其相空间维度为$2n$，具体由广义坐标$\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$和广义动量$\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$组成。相空间的引入不仅简化了复杂系统的分析，还为理解系统的长期行为提供了强有力的工具。

4.2.1 相空间的几何结构

相空间的几何结构反映了系统的动力学特性。对于一个哈密顿系统，其演化遵循哈密顿方程：

$${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},i=1,2,\dots ,n$$

其中，$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$是哈密顿量，代表系统的总能量。哈密顿方程描述了系统状态在相空间中的时间演化轨迹，即相轨迹。

4.2.2 相轨迹的描述与性质

在相空间中，系统的演化轨迹称为相轨迹。相轨迹揭示了系统从初始状态出发，随着时间演变所经过的所有状态点。相轨迹具有以下几个重要性质：

1. 确定性与唯一性：给定初始条件$(\mathbf{q}(0),\mathbf{p}(0))$，哈密顿系统的相轨迹是唯一确定的。这基于初值问题的良定性，保证了系统演化的可预测性。

2. 连续性与光滑性：在相空间中，哈密顿系统的相轨迹是连续且光滑的，除非在某些奇点处发生不可微分的变化。这体现了物理系统的平滑演化特性。

3. 李维尔定理：李维尔定理指出，哈密顿系统的相空间体积在时间演化过程中保持不变。具体来说，对于系统在相空间中的任意区域$\Omega$，其体积$V$满足：

   $$V={\int }_{\Omega }d\mathbf{q}d\mathbf{p}$$

   李维尔定理表达为：

   $$\frac{dV}{dt}=0$$

   这一性质在统计力学中具有重要意义，确保了微观状态的统计均匀性。

4.2.3 相空间中的守恒量与对称性

守恒量在相空间分析中扮演着关键角色。根据诺特定理，每一个系统的连续对称性对应一个守恒量。例如，时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，旋转对称性对应角动量守恒。

当系统存在一个或多个守恒量时，系统的相轨迹将限制在相应的守恒量的等值面上。这种限制极大地简化了系统的分析。例如，在一个具有两个自由度且守恒能量的系统中，相轨迹将在四维相空间中的能量面上运动，而不需要考虑所有四个维度。

4.2.4 吸引子与混沌行为

在相空间中，吸引子是指系统长期演化后趋向的状态集合。吸引子可以是点、环、或更复杂的结构，如庞加莱吸引子。对于非线性动力系统，吸引子的存在与系统的稳定性和混沌行为密切相关。

混沌系统表现出对初始条件的高度灵敏性，意味着即使是微小的初始差异，也会导致系统状态在相空间中迅速发散，最终演化到完全不同的相轨迹。这种现象在相空间中表现为相轨迹的不可预测性和复杂性。

4.2.5 相空间的可视化与分析工具

相空间的高维特性使得直观可视化变得困难。然而，通过投影和截面的技术，可以将高维相空间转化为低维表示，以便进行分析。例如，庞加莱截面是一种常用的方法，通过在相空间中设定一个特定条件，将系统的相轨迹映射到一个较低维的截面上，从而揭示系统的周期性和混沌性。

此外，数值模拟和计算工具的发展，使得在高维相空间中的轨迹分析成为可能。通过数值积分哈密顿方程，可以精确追踪系统的相轨迹，进而研究其长期行为和稳定性。

4.2.6 相空间与相空间体积的不变性

相空间体积的不变性不仅体现在李维尔定理上，也是理解哈密顿动力学的重要基础。具体来说，哈密顿变换是保持辛结构（Symplectic Structure）的变换，辛结构定义为：

$$\omega =\sum _{i=1}^{n}d{q}_i\wedge d{p}_i$$

一个变换$(\mathbf{q},\mathbf{p})\to (\mathbf{Q},\mathbf{P})$如果满足保持辛形式$\omega$不变，即：

$$\omega =\sum _{i=1}^{n}d{Q}_i\wedge d{P}_i=\sum _{i=1}^{n}d{q}_i\wedge d{p}_i$$

则称为辛同胚（Symplectomorphism），也称为正则变换（Canonical Transformation）。这种变换确保了哈密顿系统在新坐标下仍然保持其动力学结构不变，进而保留了相空间体积的不变性。

辛结构不仅保证了相空间体积的不变，还为哈密顿力学提供了丰富的几何解释。例如，辛几何中的李群和李代数理论为研究动力系统的对称性和守恒量提供了强有力的工具。

4.2.7 相空间与量子力学的关联

相空间的概念不仅在经典力学中具有重要意义，在量子力学中也扮演着关键角色。通过沃尔夫变换（Wigner Transformation），量子态可以映射到相空间中，形成所谓的威格纳函数（Wigner Function）。这种映射使得经典相空间的方法可以部分应用于量子系统的分析，促进了经典与量子理论之间的相互理解。

4.2.8 实例分析：简谐振子的相空间

以一维简谐振子为例，其哈密顿量为：

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$

哈密顿方程为：

$$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{\omega }^{2}q$$

解得相轨迹为椭圆：

$$\frac{q^2}{A^2}+\frac{p^2}{B^2}=1$$

其中，$A$和$B$与系统的能量$E$相关：

$$A=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}},B=\sqrt{2mE}$$

此例清晰展示了哈密顿系统中相轨迹的封闭性和周期性，反映出系统的稳定性与守恒性质。

4.3 正则变换与辛结构

在哈密顿力学中，正则变换（Canonical Transformation）是一类保持哈密顿方程形式不变的变换。这种变换不仅在理论研究中具有深远意义，还在实际应用中为简化复杂动力学问题提供了强有力的工具。正则变换的核心在于其对辛结构（Symplectic Structure）的保持，辛结构则是哈密顿力学的几何基础。

4.3.1 正则变换的定义与基本性质

正则变换是指从一组广义坐标$(\mathbf{q},\mathbf{p})$到另一组广义坐标$(\mathbf{Q},\mathbf{P})$的变换，满足哈密顿方程的形式保持不变。具体来说，如果原坐标满足
$$\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}},\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}},$$
则新坐标$(\mathbf{Q},\mathbf{P})$也应满足
$$\dot{\mathbf{Q}}=\frac{\partial K}{\partial \mathbf{P}},\dot{\mathbf{P}}=-\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q}},$$
其中$K(\mathbf{Q},\mathbf{P})$为新哈密顿量。

正则变换具有以下几个基本性质：

1. 辛保持性：正则变换保持辛形式，即
   $$\sum _{i}d{Q}_i\wedge d{P}_i=\sum _{i}d{q}_i\wedge d{p}_i.$$
   这意味着变换前后的相空间体积元不变。

2. 生成函数：任意一个正则变换都可以通过生成函数来描述。常见的生成函数有四种类型，分别依赖于旧坐标和新坐标中的不同组合，如$F_1(\mathbf{q},\mathbf{Q})$、$F_2(\mathbf{q},\mathbf{P})$等。通过选择合适的生成函数，可以方便地构造正则变换。

3. 复合性与逆变换：正则变换的复合（即多次正则变换的应用）仍然是正则变换。此外，每一个正则变换都存在逆变换，且逆变换同样保持辛结构。

4.3.2 辛结构在哈密顿力学中的重要性

辛结构是描述哈密顿动力学的几何框架。具体而言，辛结构由辛形式（Symplectic Form）定义，在相空间中表现为一个非退化的闭二形式：
$$\omega =\sum _{i}d{q}_i\wedge d{p}_i.$$
辛形式的闭性（$d\omega =0$）保证了李维尔定理，即相空间体积在时间演化下保持不变，这与哈密顿力学的相空间体积保持性质相一致。

辛结构的重要性体现在以下几个方面：

1. 几何统一性：辛结构为哈密顿力学提供了一种统一的几何描述，使得动力系统的性质可以通过几何方法进行分析。例如，固定点、周期轨道和不变流形等概念都可以在辛几何的框架下得到自然的解释。

2. 正则变换的理解：正则变换实际上是辛流形（Symplectic Manifold）上的辛同胚（Symplectomorphism），即保持辛形式不变的光滑映射。这种理解使得正则变换的研究与辛几何的理论紧密结合，丰富了动力系统的分析手段。

3. 保持动力学性质：辛结构的保持意味着正则变换不会破坏系统的基本动力学性质，如守恒量和对称性。这在研究复杂系统的简化和分解时尤为重要。

4.3.3 辛几何的方法在力学系统分析中的应用

利用辛几何的方法，可以对哈密顿系统进行深入的分析和研究。以下是一些关键应用：

1. 稳定性分析：通过研究辛流形上的微分几何性质，可以分析系统固定点的稳定性。例如，利用辛形式可以导出哈密顿系统的能量-动量图，进一步分析其稳定性和相变行为。

2. 规范化理论：在微扰理论中，利用正则变换可以将哈密顿量规范化，消除高阶无关项，从而简化系统的分析。例如，应用正规变换和伯特林顿-亥姆霍兹方法，可以求解近似的解并研究系统的微扰性质。

3. 积分方法与完全可积系统：辛几何为完全可积系统的研究提供了框架。通过寻找足够多的正则守恒量，可以将系统在辛流形上进行降维，进而求解系统的运动方程。

4.3.4 正则变换的具体例子与推导

为了更好地理解正则变换的概念，下面通过一个简单的一维谐振子的例子来说明。

考虑一维谐振子，其哈密顿量为
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2.$$
我们采用正则变换，将旧坐标$(q,p)$变换到新坐标$(Q,P)$，其中
$$Q=q\cos \theta +\frac{p}{\sqrt{mk}}\sin \theta ,$$
$$P=-q\sqrt{mk}\sin \theta +p\cos \theta .$$
其中$\theta$为变换参数。

通过计算，可以验证此变换保持辛形式：
$$dQ\wedge dP=dq\wedge dp.$$
同时，新哈密顿量$K(Q,P)$的形式与原哈密顿量相同，表明哈密顿方程在新坐标下仍然保持不变。这种变换在分析谐振子系统的对称性和周期性时具有重要作用。

正则变换与辛结构是哈密顿力学中不可或缺的工具。正则变换通过保持哈密顿方程的形式不变，提供了简化和分析复杂动力系统的方法。而辛结构则为哈密顿力学提供了坚实的几何基础，确保了系统动力学性质的保持。结合辛几何的方法，研究者能够在更高层次上理解和掌握动力系统的行为，为理论研究和实际应用提供了强有力的支持。

第五章 刚体动力学

5.1 刚体的运动描述

刚体的运动可以分为平动和转动两种基本形式。全面理解这两种运动形式及其相互关系，是深入研究刚体动力学行为的关键。本节将详细介绍刚体质心的平动运动以及刚体围绕质心的转动运动，深入探讨相关的力矩、转动惯量以及平衡条件。

5.1.1 刚体的平动运动

平动运动指的是刚体整体以相同速度和加速度沿某一方向运动。在这种运动中，刚体的各个部分保持固定的相对位置。根据牛顿第二定律，刚体质心的加速度与所受外力的关系为：

$${\mathbf{F}}_{\text{外}}=m{\mathbf{a}}_{\text{质心}}$$

其中，${\mathbf{F}}_{\text{外}}$ 代表作用在刚体上的外力总和，$m$ 是刚体的质量，${\mathbf{a}}_{\text{质心}}$ 是质心的加速度。

动量守恒定律在平动运动中具有重要意义。当外力为零时，刚体的总动量保持恒定，即质心的运动状态不会改变。这一特性在分析孤立系统的运动时尤为重要。

5.1.2 刚体的转动运动

转动运动描述的是刚体绕某一固定轴或其质心旋转的运动。转动运动的动力学类似于平动运动，但涉及到角动量和力矩等新的物理量。

角动量 $L$ 定义为：

$$\mathbf{L}=\mathbf{I}\mathbf{\omega }$$

其中，$\mathbf{I}$ 表示刚体的转动惯量张量，$\mathbf{\omega }$ 是角速度向量。

力矩 $\mathbf{\tau }$ 与外力的关系为：

$$\mathbf{\tau }=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$

当转动惯量 $\mathbf{I}$ 在运动过程中保持不变时，转动动力学方程可简化为：

$$\mathbf{\tau }=\mathbf{I}\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}$$

这类似于线性运动中的 $F=ma$，将力对应为力矩，将线性加速度对应为角加速度。

5.1.3 力矩与平衡条件

刚体要达到力学平衡，必须满足以下两个条件：

1. 平衡的平动条件：作用在刚体上的外力总和为零，即：

   $$\sum \mathbf{F}=0$$

2. 平衡的转动条件：作用在刚体上的外力矩总和为零，即：

   $$\sum \mathbf{\tau }=0$$

   其中，力矩 $\mathbf{\tau }$ 由力的大小、作用点的位置以及力的方向决定，具体计算公式为：

   $$\mathbf{\tau }=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

   其中，$\mathbf{r}$ 是力的作用点相对于旋转轴的位矢，$\mathbf{F}$ 是作用力。

实例分析：考虑一根静止的横梁，两端分别受到大小相等、方向相反的力作用。如果这两个力的作用线相同，则外力矩为零，横梁处于平衡状态。若作用线不共线，则需要通过调整力的大小或方向来实现力矩的平衡，从而保持横梁的静止状态。

5.1.4 转动惯量的计算

转动惯量是描述刚体抵抗角加速度的能力的重要物理量。对于一个刚体，其转动惯量关于某一轴的定义为：

$$I=\int r^{2}dm$$

其中，$r$ 是质点相对于转动轴的距离，$dm$ 是质点的质量元素。

不同形状和质量分布的刚体，其转动惯量也各不相同。例如，均匀杆绕其中心轴的转动惯量为：

$$I=\frac{1}{12}m{L}^2$$

其中，$m$ 是杆的质量，$L$ 是杆的长度。

转动惯量的计算对于分析刚体在力矩作用下的旋转行为至关重要，通过详细的推导和计算，可以准确描述刚体的转动动力学。

5.2 转动惯量与主轴

转动惯量是描述刚体在旋转运动中惯性大小的重要物理量，它反映了刚体对角加速度的抵抗能力。转动惯量不仅取决于刚体的质量分布，还受到旋转轴的影响。本节将系统地阐述转动惯量的计算方法，探讨主轴的确定及其物理意义，并通过具体实例展示转动惯量在不同旋转轴上的变化规律。

5.2.1 转动惯量的定义

对于刚体绕固定轴旋转，转动惯量$ I $定义为刚体中各质点的质量$ m_i $与其到旋转轴距离$ r_i $的平方的总和：

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

对于连续分布的刚体，转动惯量由积分表示为：

$$I=\int r^{2}dm$$

其中，$ r $为质点到旋转轴的距离，$ dm $为质量元。

转动惯量在旋转动力学中起着类似于质量在直线动力学中的作用。具体而言，刚体在受到外力矩$ \tau $作用下的角加速度$ \alpha $与转动惯量之间的关系由牛顿第二定律的旋转形式给出：

$$\tau =I\alpha$$

5.2.2 转动惯量的计算方法

转动惯量的计算方法取决于刚体的形状、质量分布以及旋转轴的位置。以下将分别讨论质点系统和连续体的转动惯量计算方法。

5.2.2.1 质点系统的转动惯量

对于质点系统，转动惯量的计算较为直接。设有$n$个质点，每个质点的质量为$ m_i $，到旋转轴的距离为$ r_i $，则系统的转动惯量为：

$$I=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$$

示例：考虑一个质量为$ m $的质点，位于距离旋转轴$ r $处绕该轴旋转，则其转动惯量为：

$$I=m{r}^2$$

5.2.2.2 连续体的转动惯量

对于连续分布的刚体，转动惯量需要通过积分来计算，具体方法取决于刚体的几何形状和质量分布。假设刚体的质量均匀分布，密度为$ \rho $，则转动惯量可表示为：

$$I={\int }_V{r}^2\rho dV$$

其中，$ V $为刚体的体积。

示例：计算一均匀细长杆绕其一端的转动惯量。设杆的长度为$ L $，质量为$ M $，则密度为$ \rho = \frac{M}{L} $。在杆的任一点$x$处，质量元$ dm = \rho dx $，到旋转轴的距离为$ x $，因此：

$$I={\int }_0^L{x}^2\rho dx=\rho {\int }_0^L{x}^{2}dx=\frac{M}{L}\cdot \frac{L^3}{3}=\frac{1}{3}M{L}^2$$

5.2.3 主轴的确定

在多轴旋转的情况下，刚体可能存在多个转动惯量。主轴是转动惯量在某些特定轴上的最简表达方式，使得转动惯量矩阵呈对角形式。主轴的确定对于简化刚体的运动分析具有重要意义。

若刚体通过选择恰当的坐标系，将质量分布关于坐标轴对称，则相应的转动惯量可以表示为：

$$I=\text{diag}(I_1,I_2,I_3)$$

其中$I_1$, $I_2$, $I_3$为刚体绕主轴的转动惯量。这些主轴原则上是不交叠的轴，且彼此垂直。

例子：对于一个均匀圆盘，沿其对称轴的转动惯量为：

$$I=\frac{1}{2}M{R}^2$$

其中$ R $为圆盘的半径。圆盘的对称轴即为其主轴。

5.2.4 转动惯量在不同轴上的变化

转动惯量不仅取决于刚体的质量分布，还受到旋转轴位置的影响。平行轴定理和垂直轴定理为计算不同旋转轴上的转动惯量提供了便利。

5.2.4.1 平行轴定理

如果已知刚体绕一条通过质心的轴的转动惯量$ I_\text{cm} $，则其绕一条与之平行且相距$ d $的轴的转动惯量为：

$$I=I_{\text{cm}}+M{d}^2$$

其中$ M $为刚体的总质量。

示例：计算之前均匀细长杆绕其一端的转动惯量。已知杆绕其质心的转动惯量为$ I_\text{cm} = \frac{1}{12} M L^2 $，质心到一端的距离$ d = \frac{L}{2} $。应用平行轴定理得：

$$I=\frac{1}{12}M{L}^2+M{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=\frac{1}{12}M{L}^2+\frac{1}{4}M{L}^2=\frac{1}{3}M{L}^2$$

5.2.4.2 垂直轴定理

对于平面刚体，如果存在两条相互垂直的轴$ x $和$ y $，且垂直于刚体所在的平面，则刚体绕垂直于这两轴的轴$ z $的转动惯量满足：

$$I_z=I_x+I_y$$

这称为垂直轴定理。

示例：对于一个均匀圆盘，绕垂直轴$ z $的转动惯量为$ I_z = \frac{1}{2} M R^2 $，绕任一直径轴的转动惯量为：

$$I_x=I_y=\frac{1}{4}M{R}^2$$

因此：

$$I_z=I_x+I_y=\frac{1}{4}M{R}^2+\frac{1}{4}M{R}^2=\frac{1}{2}M{R}^2$$

5.2.5 常见几何体的转动惯量

以下列举几种常见几何形状刚体绕特定轴的转动惯量公式：

1. 细长杆（长度$ L $，质量$ M $）：

   • 绕质心垂直于杆的轴：

     $$I=\frac{1}{12}M{L}^2$$

   • 绕一端垂直于杆的轴（应用平行轴定理）：

     $$I=\frac{1}{3}M{L}^2$$

2. 均匀圆盘（半径$ R $，质量$ M $）：

   • 绕垂直于盘面的轴：

     $$I=\frac{1}{2}M{R}^2$$

   • 绕直径轴：

     $$I=\frac{1}{4}M{R}^2$$

3. 实心球（半径$ R $，质量$ M $）：

   • 绕任意直径的轴：

     $$I=\frac{2}{5}M{R}^2$$

4. 空心球壳（半径$ R $，质量$ M $）：

   • 绕任意直径的轴：

     $$I=\frac{2}{3}M{R}^2$$

通过以上几何体的例子，可以看出转动惯量随着物体形状和旋转轴位置的不同而变化，反映出刚体在不同旋转情况下的惯性特性。

5.3 动量守恒与刚体旋转

在经典力学的殿堂中，角动量守恒定律犹如一颗璀璨的明珠，照亮了刚体旋转运动的奥秘。尤其是在外力矩缺席的情况下，刚体的总角动量如同一位坚定的守护者，始终保持不变。这一守恒定律不仅揭示了旋转系统的内在稳定性，还为我们解开了诸如陀螺效应和进动现象等复杂物理现象的神秘面纱。

5.3.1 角动量的定义与基本性质

对于一个刚体，其角动量 $\mathbf{L}$ 的定义可谓是力学中的一首优美诗篇。它是广义坐标与广义动量的叉积之和。具体而言，对于刚体内的每一个质点，角动量可表示为：

$$\mathbf{L}=\sum _i{\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{p}}_i$$

其中，${\mathbf{r}}_i$ 是质点相对于参考点的位矢，${\mathbf{p}}_i=m_i{\mathbf{v}}_i$ 是质点的线动量。

当我们将目光投向整个刚体，角动量的表达式可以进一步简化为：

$$\mathbf{L}=I\mathbf{\omega }$$

其中，$I$ 是刚体相对于旋转轴的转动惯量，而$\mathbf{\omega }$ 则是角速度。

5.3.2 角动量守恒定律

角动量守恒定律如同一位不知疲倦的守护者，宣告着在外力矩为零的情况下，系统的总角动量将永恒不变。其数学表达式为：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}={\mathbf{\tau }}_{\text{外}}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{常数}$$

其中，${\mathbf{\tau }}_{\text{外}}$ 是外部施加的力矩。

这一守恒定律的物理意义在于，在没有外部干扰的情况下，刚体的旋转状态将如磐石般稳固。具体而言，刚体的角速度 $\mathbf{\omega }$ 将保持不变，转动惯量 $I$ 也将保持不变，进而角动量 $\mathbf{L}$ 保持恒定。

5.3.3 转动惯量与角动量的关系

转动惯量 $I$ 是描述刚体相对于某一旋转轴的惯性量，其定义为：

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

其中，$m_i$ 是质点的质量，$r_i$ 是质点到旋转轴的距离。

对于连续分布的刚体，转动惯量可通过积分形式表示：

$$I=\int r^{2}dm$$

因此，角动量与转动惯量及角速度的关系为：

$$\mathbf{L}=I\mathbf{\omega }$$

5.3.4 陀螺效应

陀螺效应是角动量守恒在现实世界中的一场精彩演出。当一个转动的刚体（如陀螺仪）受到外力矩作用时，其角动量方向发生变化，但角动量的大小却如磐石般不动。这导致刚体的旋转轴并不会立即沿着外力矩的方向转动，而是以一种预定的方式进行运动，这种现象称为进动（precession）。

假设一个陀螺的角动量为 $\mathbf{L}$，外力矩为 $\mathbf{\tau }$，根据角动量守恒定律，有：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\tau }$$

如果外力矩与角动量垂直，则角动量的变化方向与外力矩方向相同，这导致陀螺的旋转轴围绕外力矩方向作圆锥形运动，即发生进动。

5.3.5 进动的数学描述

让我们深入探讨进动的数学奥秘。考虑一个质量为 $M$、转动惯量为 $I$ 的陀螺，受到重力作用产生一个外力矩 $\mathbf{\tau }$。假设陀螺的旋转轴与竖直方向夹角为 $\theta$，则外力矩的大小为：

$$\tau =MgL\sin \theta$$

其中，$L$ 是陀螺的支点到质心的距离。

根据角动量守恒定律：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\tau }$$

由于 $\mathbf{L}=I\mathbf{\omega }$，且角速度 $\mathbf{\omega }$ 的变化导致了陀螺轴的进动，进动角速度 $\mathbf{\Omega }$ 满足：

$$I\mathbf{\Omega }\times \mathbf{\omega }=\mathbf{\tau }$$

从中可以解得进动角速度的大小：

$$\Omega =\frac{\tau }{I\omega }=\frac{MgL\sin \theta }{I\omega }$$

这表明，进动角速度与外力矩成正比，与转动惯量和角速度成反比。

5.3.6 应用实例：陀螺仪的稳定性

陀螺仪利用陀螺效应实现方向的稳定。由于角动量守恒，陀螺仪的旋转轴在没有外力矩作用下能够维持其方向不变。这一特性在航空航天、导航以及惯性测量单元中得到了广泛应用。例如，航空器中的陀螺仪能够实时监测和调整飞行方向，确保飞行的稳定性和准确性。其工作原理正是基于角动量守恒和陀螺效应，通过控制陀螺仪的旋转状态，实现对飞行器姿态的精确控制。

第六章 振动与波动

6.1 简谐振动

简谐振动是自然界中最普遍、最基础的振动形式之一。它不仅在物理学中具有深刻的理论意义，也是工程技术中广泛应用的基石。简谐振动描述的是物体在平衡位置附近，以恒定频率进行的周期性往复运动。在这一节中，我们将深入探讨简谐振动的数学模型，解析振幅、频率和相位的物理含义，并通过弹簧-质量系统的经典实例，详细阐述其运动规律和能量特性。

6.1.1 数学描述

简谐振动的运动可以用一个优雅而简洁的二阶常微分方程来描述。假设一个物体在无阻尼、无外力作用下，受到一个与位移成正比且方向相反的回复力，该力遵循胡克定律：

$$F=-kx$$

其中，$k$ 是弹性系数，$x$ 是物体相对于平衡位置的位移。根据牛顿第二定律，物体的加速度与所受力 $F$ 成正比：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

整理上述方程，我们得到简谐振动的标准微分方程：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

其中，$\omega$ 被定义为系统的固有角频率，表示振动的快慢：

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

该角频率 $\omega$ 由系统的质量 $m$ 和弹性系数 $k$ 决定，体现了系统自身的振动特性。

该微分方程的通解为：

$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

其中：

• $A$ 是振幅，表示物体运动的最大位移；
• $\omega$ 是角频率，决定了振动的快慢；
• $\varphi$ 是相位常数，决定了振动在 $t=0$ 时刻的初始位置。

通过调整这三个参数，我们可以描述各种不同的简谐振动情境，并深入理解其动态行为。

6.1.2 振幅、频率与相位的物理意义

简谐振动的三个关键参数——振幅、频率和相位，分别描述了振动的幅度、速度及时间上的相对位置，它们在物理系统中具有深刻的含义。

1. 振幅 ($A$)

   振幅是简谐振动中物体偏离平衡位置的最大距离。在机械系统中，振幅不仅反映了物体的位移范围，还与系统的能量密切相关。具体而言，振幅越大，系统的最大势能和动能越大，反之亦然。因此，振幅是衡量振动强度的重要指标。

2. 频率 ($f$) 与角频率 ($\omega$)

   频率定义为单位时间内振动的次数，单位为赫兹（Hz）。与之对应的是角频率 $\omega$，其关系为：

   $$\omega =2\pi f$$

   角频率表示振动的角运动速度，单位为弧度每秒（rad/s）。固有频率 $\omega$ 由系统的质量 $m$ 和弹性系数 $k$ 决定，体现了系统内在的振动特性。频率越高，振动越快。

3. 相位 ($\varphi$)

   相位决定了振动在 $t=0$ 时刻的初始状态。不同的相位意味着振动的起始点不同，从而影响振动的整体轨迹。相位在描述多个振动系统的相互作用和叠加时尤为重要，它决定了各振动分量在时间上的相对位置，影响系统的整体振动模式。

6.1.3 弹簧-质量系统的实例分析

为了更深入地理解简谐振动的概念，我们以弹簧-质量系统为例进行详细分析。在该系统中，一个质量为 $m$ 的物体连接在一个理想弹簧上，弹簧的弹性系数为 $k$。当物体被拉伸或压缩后释放，将会发生简谐振动。

运动方程的推导：

根据胡克定律，弹簧对质量的回复力为：

$$F=-kx$$

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

将两者结合，得到简谐振动的微分方程：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

定义固有角频率为：

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

进而，微分方程可以简化为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

解的形式：

该微分方程的通解为：

$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

其中：

• $A$ 表示振幅，决定了物体最大位移的大小；
• $\omega$ 是系统的固有频率，决定了振动的快慢；
• $\varphi$ 是相位常数，由初始条件确定。

能量分析：

在简谐振动中，系统的机械能在动能和势能之间不断转换，但总能量保持恒定。动能 $T$ 和势能 $V$ 分别为：

$$T=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+\varphi )$$

$$V=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )$$

由于 $k=m{\omega }^2$，系统的总机械能 $E$ 为：

$$E=T+V=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2\left({\sin }^2(\omega t+\varphi )+{\cos }^2(\omega t+\varphi )\right)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

这表明机械能 $E$ 恒定，体现了能量在动能和势能之间的周期性转换，同时总量保持不变。

阻尼与驱动的简谐振动：

现实中的振动系统往往会受到阻尼力和外部驱动力的影响。引入阻尼力 $-b\frac{dx}{dt}$ 和驱动力 $F_0\cos (\gamma t)$ 后，运动方程变为：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_0\cos (\gamma t)$$

这被称为受迫阻尼简谐振动方程。在此模型中：

• 阻尼力 来源于系统的能量损耗，如空气阻力或内部摩擦，参数 $b$ 表示阻尼系数。
• 驱动力 则是外界施加的周期性力，参数 $F_0$ 为驱动力的幅度，$\gamma$ 为驱动频率。

通过求解该方程，可以分析振动系统在外部驱动力下的稳态响应和共振现象。共振现象在工程中尤为重要，因为系统在共振频率下可能会产生极大的振幅，导致结构损坏。因此，理解和控制简谐振动在实际应用中具有重要意义。

6.1.4 图示与数值模拟

为了更直观地理解简谐振动的特性，图示和数值模拟是不可或缺的工具。通过绘制振幅、频率和相位不同情况下的位移-时间曲线，可以观察到振动行为的多样性和规律性。

例如，改变振幅 $A$ 会影响振动的位移范围，但不改变振动频率；调整频率 $f$ 会改变振动的快慢，从而影响系统的响应速度；修改相位 $\varphi$ 则会改变振动的起始点，进而影响多个振动系统的叠加效果。

数值模拟技术的发展，使得我们可以在计算机上模拟各种简谐振动情境，分析不同参数对振动行为的影响。这对于深入理解振动系统的动态特性和优化工程设计具有极大的帮助。此外，动画和动态图形可以进一步增强对振动过程的感性认识，使抽象的数学模型形象化、具体化。

6.1.5 应用实例

简谐振动理论在工程和科学中有着广泛而重要的应用。以下是几个典型的应用例子：

1. 汽车悬挂系统

   汽车悬挂系统由弹簧和减震器组成，构成了一个简谐振动系统。当车辆行驶在不平路面上时，弹簧压缩和伸展以吸收路面的颠簸，保持车身的稳定和乘坐的舒适。减震器则起到了阻尼的作用，防止车辆在振动后持续震荡，提升乘坐体验。

2. 建筑抗震设计

   在建筑工程中，简谐振动理论用于分析和设计抗震结构。建筑物在地震中会经历周期性的地面运动，通过合理设计弹性和阻尼特性，可以有效地减少振动幅度，确保建筑物的结构安全和人员的生命财产安全。

3. 电子学中的交流电路

   在电子学中，简谐振动模型用于描述交流电路中的电流和电压的周期性变化。交流电的特性使其在传输和使用中具有许多优于直流电的优势，而简谐振动理论则是理解其工作原理的基础。

4. 光学中的谐振腔

   光学谐振腔内部的光波传播可以类比为简谐振动。谐振腔的设计决定了光波的共振频率和模式，对于激光器和光通信技术的发展具有重要影响。通过调整谐振腔的参数，可以控制光波的性质，实现特定的功能需求。

5. 生物系统中的节律运动

   许多生物系统中的节律运动，如心脏的跳动和呼吸过程，也可以用简谐振动模型来近似描述。这有助于生物医学工程和生物物理学领域更好地理解和分析生物节律的机制和规律。

通过这些实例，我们可以看到简谐振动理论在实际系统中的广泛应用和重要性。它不仅帮助我们理解自然界中的基本现象，还为工程技术的发展提供了理论支持，推动了科技的进步。

6.2 多自由度振动

在实际工程和物理系统中，许多振动问题涉及多个独立的运动自由度，这些系统被称为多自由度振动系统。相比于单自由度系统，多自由度系统的振动行为更加复杂，涉及多个自然频率和振型。理解多自由度系统的振动特性，对于设计稳定、抗震结构以及机械系统的振动控制具有重要意义。

6.2.1 多自由度系统的基本模型

一个典型的多自由度振动系统由多个质量块和弹簧组成，每个质量块对应一个自由度。以二维双自由度系统为例，考虑两个质量块 $m_1$ 和 $m_2$，通过弹簧 $k_1$, $k_2$, $k_3$ 连接，如下图所示：

[图示：两个质量块通过弹簧连接的双自由度系统示意图]

系统的位移分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则系统的运动方程可表示为：

$$\{\begin{array}{l}{m}_1{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0\\ m_2{\ddot{x}}_2-k_2{x}_1+(k_2+k_3)x_2=0\end{array}$$

将上述方程组表示为矩阵形式：

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathbf{K}\mathbf{x}=0$$

其中，

$$\mathbf{M}=\left(\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right),\mathbf{K}=\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2& -k_2\\ -k_2& k_2+k_3\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

6.2.2 自然频率和振型的求解

为了求解系统的自然频率和振型，我们假设解的形式为：

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{X}{e}^{i\omega t}$$

将其代入运动方程，得到：

$$(-{\omega }^2\mathbf{M}+\mathbf{K})\mathbf{X}=0$$

为了使非零解存在，需满足行列式为零：

$$\det (-{\omega }^2\mathbf{M}+\mathbf{K})=0$$

这就是特征方程，求解该方程可得到系统的自然频率 $\omega$。对应的特征向量 $\mathbf{X}$ 则代表系统的振型。

以二维系统为例，特征方程展开为：

$$\det \left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2-m_1{\omega }^2& -k_2\\ -k_2& k_2+k_3-m_2{\omega }^2\end{array}\right)=0$$

计算行列式：

$$(k_1+k_2-m_1{\omega }^2)(k_2+k_3-m_2{\omega }^2)-k_2^2=0$$

这是一种关于 ${\omega }^2$ 的二次方程，解得两个自然频率 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$。对应的特征向量 ${\mathbf{X}}_1$ 和 ${\mathbf{X}}_2$ 则描述了系统在各自自然频率下的振动模式。

6.2.3 振动模式分析

每个自然频率对应一个振动模式，描述系统在特定频率下各自由度的相对振动情况。以双自由度系统为例，可能出现以下两种振动模式：

1. 同相振动模式：两个质量块同向振动，此时弹簧 $k_2$ 不受拉伸或压缩，系统整体呈现刚体振动特性。
2. 反相振动模式：两个质量块反向振动，此时弹簧 $k_2$ 受到最大拉伸或压缩，系统展现相对振动的特性。

这些振动模式不仅决定了系统的动力学响应，还影响能量的分布和传递特性。

6.2.4 多自由度系统的模态叠加

多自由度系统的振动响应可以通过叠加各个振动模式的响应来表示，这称为模态叠加法。假设系统初始条件为零外部驱动力，系统的位移响应可表示为：

$$\mathbf{x}(t)=\sum _{j=1}^n{\mathbf{X}}_j\left(A_j\cos ({\omega }_{j}t)+B_j\sin ({\omega }_{j}t)\right)$$

其中，$A_j$ 和 $B_j$ 是由初始条件决定的常数，${\mathbf{X}}_j$ 是第 $j$ 个振动模式的振型向量，${\omega }_j$ 是对应的自然频率。

6.2.5 示例分析

例 1：考虑一个均匀双自由度系统，两质量块 $m_1=m_2=m$，弹簧常数 $k_1=k_3=k$，中间弹簧 $k_2=\beta k$。系统的运动方程为：

$$\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1+(k+\beta k)x_1-\beta k{x}_2=0\\ m{\ddot{x}}_2-\beta k{x}_1+(k+\beta k)x_2=0\end{array}$$

将其表示为矩阵形式：

$$\mathbf{M}=m\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathbf{K}=\left(\begin{array}{cc}k(1+\beta )& -k\beta \\ -k\beta & k(1+\beta )\end{array}\right)$$

特征方程为：

$$\det (\mathbf{K}-m{\omega }^2\mathbf{I})=0$$

展开行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}k(1+\beta )-m{\omega }^2& -k\beta \\ -k\beta & k(1+\beta )-m{\omega }^2\end{array}\right|=[k(1+\beta )-m{\omega }^2{]}^2-(k\beta {)}^2=0$$

简化得：

$$\begin{gathered} [k(1+\beta )-m{\omega }^2{]}^2=(k\beta {)}^2 \\ \Rightarrow k^2(1+\beta {)}^2-2k(1+\beta )m{\omega }^2+m^2{\omega }^4-k^2{\beta }^2=0 \\ \Rightarrow m^2{\omega }^4-2km(1+\beta ){\omega }^2+k^2[(1+\beta {)}^2-{\beta }^2]=0 \\ \Rightarrow {\omega }^4-2\frac{k(1+\beta )}{m}{\omega }^2+\frac{k^2(1+2\beta )}{m^2}=0 \end{gathered}$$

设 $y={\omega }^2$，则方程变为：

$$y^2-2\frac{k(1+\beta )}{m}y+\frac{k^2(1+2\beta )}{m^2}=0$$

求解该二次方程，得：

$$y=\frac{2k(1+\beta )\pm \sqrt{4k^2(1+\beta {)}^2-4k^2(1+2\beta )}}{2m^2}=\frac{2k(1+\beta )\pm 2k\beta }{2m^2}=\frac{k(1+\beta \pm \beta )}{m^2}$$

因此，自然频率为：

$${\omega }_1=\sqrt{\frac{k}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{k(1+2\beta )}{m}}$$

对应的振型为：

$${\mathbf{X}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{X}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

解析：在第一种振动模式中，两质量块同向振动，系统呈现刚体振动特性；在第二种模式中，两质量块反向振动，中间弹簧 $k_2$ 受到最大拉伸或压缩，展现相对振动特性。

6.2.6 多自由度系统的特性

多自由度系统的自然频率不仅决定了系统在自由振动时的频率，还影响系统对外部驱动力的响应特性。当系统受到与其自然频率接近的驱动力时，会发生共振现象，导致振动响应显著增强。此外，不同振型的叠加也可能导致复杂的振动行为，如振动模式的切换和能量的非均匀分布。多自由度振动系统是理论力学中重要的研究对象，通过建立质量和刚度矩阵，求解特征方程，可以系统地分析其自然频率和振型。掌握多自由度振动的基本理论和求解方法，对于深入理解复杂工程结构的振动特性，以及进行有效的振动控制和优化设计，具有重要的理论和实践意义。

6.3 波动方程

波动现象在理论力学中占据着重要的地位，不仅因为它们在自然界中的普遍存在，如声波、水波和弹性波，还因为波动方程在描述和分析各种物理系统的动力学行为中具有核心作用。本节将系统地导出经典的波动方程，深入探讨波的传播、反射与干涉现象，并介绍几种典型的波动模式，帮助读者全面理解波动在力学中的应用与重要性。

6.3.1 波动方程的推导

波动方程描述了波在介质中传播的规律。为了推导经典的一维波动方程，我们以弹性介质中的弦振动为例进行分析。

考虑一条无限长、质量密度为$\mu$的均匀细弦，受到横向位移$y(x,t)$的作用。假设弦在平衡位置附近振动，且振幅较小，可以采用小位移近似。根据牛顿第二定律，弦上任一点的受力与加速度之间的关系为：

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

其中，$T$是弦的张力。

将上述方程整理，可以得到一维波动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

引入波速$c$，其定义为：

$$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

则波动方程可简化为：

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

这个方程揭示了横波在弦上的传播特性，波速$c$决定了波的传播速度。

6.3.2 波的传播

波的传播是波动现象的基本特征之一。以一维波动方程为例，其通解可以表示为两组波的叠加：

$$y(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$

其中，$f(x-ct)$代表向右传播的波，$g(x+ct)$代表向左传播的波。这表明波动方程的解可以由任意形状的波形沿着空间坐标$x$以速度$c$向两侧传播。

示例：假设初始时刻$y(x,0)=A\sin (kx)$，且初始速度$\frac{\partial y}{\partial t}{|}_{t=0}=0$，则波动方程的解为：

$$y(x,t)=A\sin (kx)\cos (\omega t)$$

其中，$\omega =kc$是波的角频率。这说明波的振幅随时间以余弦函数形式振荡，频率由波数$k$和波速$c$决定。

6.3.3 波的反射与干涉

在实际应用中，波在传播过程中常常遇到边界或障碍物，导致反射现象的发生。反射波的特性取决于介质的性质及边界条件。

反射条件：

1. 固固定边界：波在固固定端反射时，反射波与入射波的振动方向相反，形成反相干涉。
2. 自由端边界：波在自由端反射时，反射波与入射波的振动方向相同，形成同相干涉。

干涉现象则是不同波源发出的波叠加的结果，表现为波的相长和相消。例如，两列相同频率、相位的波相遇时，可形成驻波，其波节点和波腹位置固定不变。

6.3.4 典型的波动模式

根据波的传播方向和振动方向的不同，波动可以分为以下几种典型模式：

1. 横波：振动方向垂直于波的传播方向。典型例子如弦波和电磁波。

   $$\mathbf{E}(x,t)={\mathbf{E}}_0\sin (kx-\omega t)$$

2. 纵波：振动方向与波的传播方向相同。典型例子如声波在气体中的传播。

   $$p(x,t)=p_0\cos (kx-\omega t)$$

3. 表面波：波的振动在介质表面传播，振幅随深度减小。典型例子如海面波。

4. 驻波：由两个相同频率、相位相反的波相遇而形成，波形固定不动，能量在介质中局部分布。

   $$y(x,t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$$

6.3.5 波的能量与功率

波的传播伴随着能量的传递。对于一维波动系统，单位面积上的功率$P$由能量密度$E$和波速$c$决定：

$$P=Ec$$

能量密度$E$包括动能和势能：

$$E=\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2$$

此表达式表明，波的能量既来自质点的动能，也来自质点间的弹性势能。

6.3.6 波的多维扩展

经典的波动方程不仅适用于一维情况，还可以推广到二维和三维空间中。以三维空间中的声波为例，波动方程为：

$$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=c^2{\nabla }^{2}p$$

其中，$p$是声压，${\nabla }^2$是拉普拉斯算子。方程的球面波解形式为：

$$p(r,t)=\frac{A}{r}\sin (kr-\omega t)$$

其中，$r$是距离波源的径向距离，$k=\frac{\omega }{c}$是波数。这表明声波的振幅随着距离的增加而衰减，符合能量守恒的规律。

6.3.7 非线性波动与破碎波

在高振幅或特殊介质中，波动可能表现出非线性特性，导致波形产生畸变，甚至形成破碎波。非线性波动方程的研究涉及更复杂的数学工具，如扰动方法和数值模拟，是理论力学中重要的研究方向。

示例：Korteweg-de Vries (KdV) 方程描述了一维浅水中孤波的传播：

$$\frac{\partial \eta }{\partial t}+c\frac{\partial \eta }{\partial x}+\alpha \eta \frac{\partial \eta }{\partial x}+\beta \frac{{\partial }^3\eta }{\partial x^3}=0$$

其中，$\eta$是波面位移，$\alpha$和$\beta$是非线性与色散系数。该方程的孤立波解展示了波的不分散性和维持稳定形状的能力，具有重要的物理意义。

波动方程作为理论力学中的基本方程之一，广泛应用于描述不同类型的波动现象。从一维弦振动的经典波动方程到多维声波的扩展，从线性波动到非线性破碎波的复杂行为，波动方程为我们理解自然界中的各种波动现象提供了强有力的工具。通过对波动方程的深入学习与研究，能够更好地掌握波的传播规律、能量传递机制以及复杂波动模式的形成机制，为进一步的理论研究和工程应用奠定坚实的基础。

声明

本文为作者在学习理论力学过程中所做的笔记，部分内容由AI辅助生成，仅供学习交流之用，准确性请以权威资料为准。