【数据结构】—— 时间复杂度、空间复杂度

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为 O(n)，O(1)，O()。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O()叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大0阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子。
推导大 O 阶:

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项，
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

经过上述规则得到的结果就是大 O 阶。哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个代码，为什么时间复杂度不是 O(3)，而是 O(1)。

int i = 1, j = 2, sum = 0;/*执行一次 */
sum= i  +j;/*执行一次 */
printf("%d"，sum);/* 执行一次 */

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。另外、我们试想一下，如果这个代码中的printf语句执行100次，它的时间复杂度会不会发生改变？实际上无论n为多少，上面的两段代码就是执行3次和102次的差异。这种与问题的大小无关(n的多少)，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

【注意】：不管这个常数是多少，我们都将它记作O(1)，而不是O(3)、O(102)等任何数字。

对于分支结构(if、switch语句)而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。

线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次

for(int i = 0; i < n; ++i)
    sum += i;

对数阶

下面这段代码，时间复杂度又是多少？

int cnt = 1;
while(cnt < n)
    cnt *= 2;

由于每次cnt乘2之后，就距离n接近一半。也就是说，有多少个2相乘之后大于n。由于两边取对数得到，。在时间复杂度上我们常用O(logn)代表对数阶。

同样，下面代码的时间复杂度为多少？

while(left < right)
{
    int mid = left + right >> 1;
    if(target < num[mid])
        right = mid -  1;
    else if(target > num[mid])
        left = mid;
    else 
        break;
}

这是一个二分查找的伪代码。现在left位于num的首位，right位于num的最后一个元素。mid是left 和 right它们的中点，通过if语句来使查找的范围缩小一半。同上一个例子一样时间复杂度为O(logn)

平方阶

下面例子是循环嵌套。它的内循环刚才已经分析过了。时间复杂度为O(n)。

for(int i = 0; i  <n; ++i)
    for(int j = 0; j < n; ++j)
        sum += j;

由于外循环，不过是内循环这个时间复杂度O(n)的语句，在循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O()。那如果外循环改成m的话，时间复杂度为O(m x n)。

for(int i = 0; i < m; ++i)
    for(int j = 0; j < n; ++j)
        sum += j;

所以我们可以得出，循环的时间复杂度等于循环体复杂度乘以该循环运行的次数。

那么，下面这个循环嵌套，它的时间复杂度为多少？

for(int i = 0; i  <n; ++i)
    for(int j = i; j < n; ++j) //注意j = i
        sum += j;

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，…当i-n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n * (n + 1) / 2(等差数列的求和公式)。用我们推导大 O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留 /2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为 0()。

从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法时间复杂度这里不失分，可能需要强化你的数学，特别是数列方面的知识和解题能力。

常见的时间复杂度

常见的时间复杂度如下表所示。

 常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

O(1) <O(logn )< О(n)< O(nlogn) < O(n²) < O() 

我们前面已经谈到了 O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、O()平方阶等。至于 0(nlogn)我们将会在排序中介绍，而像O()，过大的n都会使得结果变得不现实。

算法的最坏情况和平均情况

我们在分析问题的时候，一定要考虑最坏的情况，以便可以提前准备方案来预防！

算法的分析也是类似，我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为 O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是 O(n)，这是最坏的一种情况了。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
而平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为 n/2 次后发现这个目标元素。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

算法的空间复杂度

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。通常来说，如果你是参加竞赛，那么可以采取空间换时间的做法，如果你是在写项目，那么能节省空间就一定要节省空间。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为 O(1)。 简单来说，看你的程序额外开辟的空间，是常数，还是相对于输入量决定。

通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。显然我们这本书重点要讲的还是算法的时间复杂度的问题。

结语

        很多人（学习计算机专业的人)对于时间复杂度、空间复杂度没有概念，觉得这个概念无所谓，但是事实一定是如此的吗？还是让我们用数据来说话吧。

        假设 CPU 在短短几年间，速度提高了100倍，这其实已经很夸张了。而我们的某个算法本可以写出时间复杂度是O(n)的程序，却写出了O()的程序，仅仅因为容易想到，也容易写。即在O(n)的时间复杂度算法程序下，速度其实只提高了10倍(√100=10)，而对于0(n)时间复杂度的算法来说，那才是真的100倍。也就是说，一台老式CPU的计算机运行O(n)的程序和一台速度提高100倍新式CPU 运行O()的程序。最终效率高的胜利方却是老式CPU的计算机，原因就在于算法的优劣直接决定了程序运行的效率。所以，在编写程序的时候，一定要多考虑算法的空间、时间复杂度。