ML 系列：第 26 节 - 连续概率分布（均匀分布）

一、说明

均匀分布是一种概率分布，其中定义范围内的每个值都有相同的发生概率。换句话说，所有可能的结果都有相同的概率。这种分布的特点是概率密度函数平坦或恒定。

二、均匀分布

均匀分布有两种类型：离散和连续。在离散均匀分布中，结果仅限于一组有限的值，例如掷一个公平的六面骰子，其中每个数字出现的概率均等。另一方面，连续均匀分布的结果可以取指定范围内的任何值，例如 0 到 1 之间的随机变量的分布。

两者的区别在于结果的性质。离散均匀分布处理可数结果，而连续均匀分布处理不可数结果。

三、连续均匀分布的概率密度函数

连续均匀分布的概率密度函数为：

绘制连续均匀分布的概率密度函数 (PDF) 的 Python 代码，其下限为“a”，上限为“b”：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def continuous_uniform_pdf(x, a, b):
    if a <= x <= b:
        return 1 / (b - a)
    else:
        return 0

# Define the range of values for x
x_values = np.linspace(0, 5, 100)

# Define the parameters for the continuous uniform distribution
a = 1
b = 4

# Calculate the PDF values for each x value
pdf_values = [continuous_uniform_pdf(x, a, b) for x in x_values]

# Plot the Probability Density Function (PDF) of the continuous uniform distribution
plt.plot(x_values, pdf_values, color='blue')
plt.title('Continuous Uniform Distribution PDF')
plt.xlabel('x values')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)
plt.show()

这是上述代码的输出：

连续均匀分布的概率密度函数 (PDF) 定义为

代入 ’ a = 1 ’ 和 ’ b = 4 '，我们得到：

f(x) = 1 / (4-1) = 1 / 3（1 ≤ x ≤ 4）

因此，在这个例子中，对于“a = 1”和“b = 4”的连续均匀分布，对于 1 到 4 之间的所有值，PDF 都被计算为 1/3。

四、连续均匀分布的性质

1 范围和支持：
连续均匀分布的范围由下限“a”和上限“b”定义，表示为 [a, b]。分布的支持范围包括“a”和“b”之间的所有实数，概率均匀分布在此区间内。
2.均值和方差：

平均值（期望值）：连续均匀分布的平均值计算为(a + b) / 2，其中“a”是下限，“b”是上限。
方差：连续均匀分布的方差计算为 (1/12) * (b — a)²，其中 ‘a’ 是下限，‘b’ 是上限。
举例说明：

例 1：假设我们有一个连续均匀分布，其中“a = 2”和“b = 6”。

范围是[2, 6]。
平均值：（2 + 6）/ 2 = 4
方差：(1/12) * (6-2)² = 1.33
示例 2：考虑“a = 0”和“b = 10”的连续均匀分布。

范围是[0,10]。
平均值： (0 + 10) / 2 = 5
方差：(1/12) * (10-0)² = 8.33
这些示例演示了连续均匀分布的范围、支持度、平均值和方差。

五、与其他分布版的比较

均匀分布与正态分布和其他分布在几个关键方面有所不同：

• 形状：均匀分布在特定间隔内具有恒定的概率密度函数 (PDF)，从而呈现矩形或平面形状。相反，正态分布具有钟形曲线，峰值位于平均值处。
• 概率扩散：与正态分布不同，正态分布的概率集中在平均值附近并向尾部减小，而均匀分布为指定范围内的所有结果分配相同的概率。
• 标准差：正态分布的形状由平均值和标准差决定，而均匀分布的分布范围仅由其边界之间的范围定义。

六、结束语

在我们的 ML 系列的第 26 节，我们探索了均匀分布并讨论了它的属性，包括如何计算连续均匀分布的均值和方差。请务必关注第 27 节— 连续概率分布（Gamma 分布），我们将在其中深入研究另一种称为Gamma 分布的连续分布。