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排序算法：直接插入排序，希尔排序，选择排序，快速排序，堆排序，归并排序

article 2024/11/22 21:37:16

1.直接插入排序

基本思想：把待排序的数按照大小逐个插入到前面已经排序好的有序序列中，直到所有的都插入完为止，得到一个新的有序序列。

如图所示，当插入第i个（i>=1）元素的时候，前面的arr[0],arr[1]......arr[i-1]已经排好序，此时用arr[i]的元素与前面的元素进行比较，找到插入的位置将arr[i]插入，将原来的元素顺序后移。

void InsertSort(int* a, int n)//插入排序
{
	// [0,end]区间有序，将a[end+1]的值插入
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];

		while (end >= 0)
		{
			if (tmp < a[end])//a[end+1]<a[end]数据往后移 end向前走
			{
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

直接插入排序的特性总结：

1.元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高

2.最坏时间复杂度：O(N^2)

   最好时间复杂度：O(N)

3.空间复杂度：O(1)

4.稳定性：稳定

2.希尔排序

希尔排序又称缩小增量法。希尔排序的基本思想：采用分组插入的方法，先将待排序记录序列分割成几组（希尔对记录的分组不是简单的“逐段分割”，而是将相隔gap增量的记录分成一组），这样当经过几次分组排序后，整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序。

void ShellSort(int* a, int n)//希尔排序
{
	int gap = n;
	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 3 + 1;
		for (int i = 0; i < n - gap; i++)
		{
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp < a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}

1.希尔排序是对直接插入排序的优化。

2.当gap>1时都是预排序，目的是让数组更接近有序，当gap==1时，数组已经接近有序的了。

3.时间复杂度：O(N^1.3)。

4.稳定性：不稳定

3.选择排序

每一次从待排序的数据元素中选出最小或最大元素，存放在序列的起始位置，直到待排序的数据元素排完。

遍历一般数组，找出最大的数和最小的数，将最大的数和end交换，将最小的数和begin交换，当最小的数和begin重合时需要将最小的数换的前面。

void SelectSort(int* a, int n)//选择排序
{
	int begin = 0, end = n-1;
	while (begin < end)
	{
		int min = begin;
		int max = begin;
		for (int i = begin + 1; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] > a[max])
			{
				max = i;
			}

			if (a[i] < a[min])
			{
				min = i;
			}
		}

		Swap(&a[begin], &a[min]);
		if (a[begin] == a[max])
		{
			max = min;
		}
		Swap(&a[end], &a[max]);
		begin++;
		end--;
	}
}

1.时间复杂度：O(N^2)

2.空间复杂度：O(1)

3.稳定性：不稳定

4.堆排序

void AdjustUp(int* a, int child)//向上调整算法
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)//向下调整算法:n为数组的大小
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapSort(int* a, int n)//堆排序
{
//	for (int i = 1; i < n; i++)
//	{
//		AdjustUp(a, i);//向上调整建堆建为大堆，时间复杂度为O(N*logN)
//	}
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);//先下调整算法,从叶子节点开始调整，时间复杂度为O(N)
	}

	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//交换堆顶和最后一个数
		AdjustDown(a, end, 0);//end是元素个数
		end--;
	}
}

选用向下调整算法建堆是因为时间复杂度比向上调整算法建堆小。

1.时间复杂度：O(N*logN)

2.稳定性：不稳定。

5.快速排序

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序算法，其基本思想为：任取待排元素序列中的某元素为基准值，按照排序码将排序分为两个子序列，左子序列中的所以元素小于基准值，右子序列中的所以元素均大于基准值，然后重复这个过程，直到所以元素都排列在相应的位置上。

1.hoare版本

将左面的值设为key，R先走，R找小，L找大，交换L与R，当L与R相遇时再与key交换。

int GetMid(int* a, int left, int right)//三数取中
{
	int mid = (left + right) / 2;
	if (a[left] < a[right])
	{
		if (a[right] < a[mid])
		{
			return right;
		}
		else if (a[mid] < a[left])
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return mid;
		}
	}
	else//a[left] > a[right]
	{
		if (a[right] < a[mid])
		{
			return right;
		}
		else if (a[left] < a[mid])
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return mid;
		}
	}
}

void QuickSort(int* a, int left, int right)//快速排序
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}
	if ((right - left + 1) < 10)//小区间优化
	{
		InsertSort(a + left, right - left + 1);
	}
	int mid = GetMid(a, left, right);//三数取中
	Swap(&a[left], &a[mid]);

	int key = left;
	int begin = left, end = right;

	while (begin < end)
	{
		while (begin < end && a[end] >= a[key])//右先走
		{
			end--;
		}

		while (begin < end && a[begin] <= a[key])
		{
			begin++;
		}

		Swap(&a[begin], &a[end]);
	}
	Swap(&a[key], &a[begin]);//key还在左，要将key放到相遇的位置
	key = begin;
	//[left key-1] key [key+1,right]
	QuickSort(a, left, key - 1);
	QuickSort(a, key + 1, right);

}

为什么要右先走：左边做key，右边先走可以保证相遇位置比key小

L遇R：R先走，停下来，R停下来的条件是遇到比key小的值，R停的位置一定比key小，L没有找到大，遇见R就停下来了。

R遇L：R先走，找下，没有找到比key小的，直接根L相遇。L停留的位置是上一轮交换的位置，上一轮交换，把比key小的值换到了L的位置。

相反：如果让右边做key，左边先走，可以保证相遇的位置比key大。

2.前后指针法

void QuickSort1(int* a, int left, int right)//快速排序快慢指针
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}
	if ((right - left + 1) < 10)//小区间优化
	{
		InsertSort(a + left, right - left + 1);
	}
	int mid = GetMid(a, left, right);//三数取中
	Swap(&a[left], &a[mid]);

	int key = left;
	int prev = left;
	int cur = prev + 1;

	while (cur <= right)
	{
		if (a[cur] < a[key] && prev++ != cur)
		{
			Swap(&a[cur], &a[prev]);
		}
		cur++;
	}
	Swap(&a[key], &a[prev]);
	key = prev;
	//[left, key - 1] key [key+1,right]

	QuickSort1(a, left, key - 1);
	QuickSort1(a, key + 1, right);
}

3.非递归方法

创建一个栈，将右左区间范围放入栈中（出栈的时候就是先出左，再出右）。

void QuickSortNonR(int* a, int left, int right)//快速排序非递归
{
	stack st;
	STInit(&st);

	STPush(&st, right);
	STPush(&st, left);

	while (!STEmpty(&st))
	{
		int begin = STTop(&st);
		STPop(&st);
		int end = STTop(&st);
		STPop(&st);

		int key = Quick(a, begin, end);

		if (key + 1 < end)
		{
			STPush(&st, end);
			STPush(&st, key + 1);
		}

		if (begin < key - 1)
		{
			STPush(&st, key - 1);
			STPush(&st, begin);
		}
	}

}

4.三路划分

决定快排性能的关键点是每次单趟排序后，key对数组的分割，如果每次选key基本二分居中，那么快排的递归树就是颗均匀的二叉树，性能最佳。但是实践中虽然不可能每次都是二分居中，但性能也还是可控的。但是如果出现每次选到最小值/最大值，划分为0个和N-1个子问题时，时间复杂度为O(N^2)，数组有序时就会出现这个问题，我们前面已经用三数取中或者随机选key解决了这个问题，但是还有一些场景没有解决（数组中大量重复数据时）。

三路划分算法解析：

当面对有大量跟key相同的值时，核心思想是把数据分为三段【比key小的值】【根key想等的值】【比key大的值】。

  1. key默认取left位置的值。
  2. left指向区间的最左边，right指向区间的最右边，cur指向left+1的位置。
  3. cur遇到比key小的值后跟left交换，换到左边，left++，cur++。
  4. cur遇到比key大的值后跟right交换，换到右边，right--。
  5. cur遇到跟key相等的值后，cur++。
  6. 直到cur>right时结束。
void QuickSortBy3Way(int* a, int left, int right)//三路划分
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}
	int mid = GetMid(a, left, right);
	Swap(&a[mid], &a[left]);

	int begin = left;
	int key = a[left];
	int end = right;
	int cur = left + 1;

	while (cur <= end)
	{
		if (a[cur] < key)
		{
			Swap(&a[cur], &a[left]);
			cur++;
			left++;
		}
		else if (a[cur] > key)
		{
			Swap(&a[cur], &a[right]);
			right--;
		}
		else
		{
			cur++;
		}
	}

	//[begin ,left - 1] [left right] [right + 1, end];
	QuickSortBy3Way(a, begin, left - 1);
	QuickSortBy3Way(a, right + 1, end);
}

1.时间复杂度：O(N*logN)

2.空间复杂度：O(logN)

3.稳定性：不稳定

6.归并排序

基本思想：归并排序是建立在归并操作上的一种有效排序算法，该算法是采用分治法的一个典型应用，将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列，即使每个子序列有序，再使子序列段间有序，若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

void _MergeSort(int* a, int* tmp, int left, int right)
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}
	int mid = (left + right) / 2;

	_MergeSort(a, tmp, left, mid);
	_MergeSort(a, tmp, mid + 1, right);//分割

    //归并
	int begin1 = left, end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = right;
	int i = begin1;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] <= a[begin2])
		{
			tmp[i++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[i++] = a[begin2++];
		}
	}
	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[i++] = a[begin1++];
	}

	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[i++] = a[begin2++];
	}
	memcpy(a + left, tmp + left, (right - left + 1) * sizeof(int));//将tmp一段一段拷贝回a中
}

void MergeSort(int* a, int n)//归并排序
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	_MergeSort(a, tmp, 0, n - 1);

    free(tmp);
	tmp = NULL;
}

先不断分割，分割成长度为1数组进行比较，一段一段比较进行归并，开辟一个tmp空间，用来存放归并完的结果再将tmp一段一段的拷贝回a中。

非递归

通过循环来进行非递归，每组数据设为gap个，将gap个数据归并。

void MergeSortNonR(int* a, int n)//归并排序非递归
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	//每组数据有gap个
	int gap = 1;
	while (gap < n)
	{
		for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)//每次归并两组，i代表每组归并的起始位置
		{
			int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
			int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;
			int j = i;

			if (begin2 >= n)//当第二组都越界不存在时，这一组就不需要归并
			{
				break;
			}

			if (end2 >= n)//当第二组begin2没有越界，end2越界时，修正end2
			{
				end2 = n - 1;
			}
			
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] <= a[begin2])
				{
					tmp[j++] = a[begin1++];
				}
				else
				{
					tmp[j++] = a[begin2++];
				}
			}
			while (begin1 <= end1)
			{
				tmp[j++] = a[begin1++];
			}

			while (begin2 <= end2)
			{
				tmp[j++] = a[begin2++];
			}
			memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));//一组一组往回拷贝
		}

		gap *= 2;
	}
	
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

7.非比较排序

思想：计数排序有称为鸽巢原理，是对哈希直接定址的变形应用

  1. 统计相同元素出现的次数
  2. 根据统计的结果将序列回收到原来的序列中

void CountSort(int* a, int n)//计数排序
{
	int min = a[0], max = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > max)
		{
			max = a[i];
		}

		if (a[i] < min)
		{
			min = a[i];
		}
	}
	int range = max - min + 1;
	int* count = (int*)calloc(range,sizeof(int));
	if (count == NULL)
	{
		perror("calloc fail");
		return;
	}
	//统计次数
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		count[a[i] - min]++;
	}
	int j = 0;
	//排序
	for (int i = 0; i < range; i++)
	{
		while (count[i]--)
		{
			a[j++] = i + min;
		}
	}
	free(count);
}

计数排序的特性总结

  1. 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但适用的范围及场景有限。
  2. 时间复杂度：O(N+range)
  3. 空间复杂度：O(range)

8.排序算法及稳定性分析

稳定性：假定待排序的记录序列中，存在多个具有相同关键词的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中r[i] = r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则成称这种算法是稳定的否则为不稳定。


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