扩散模型中IGSO(3)分布PDF的近似表示
在扩散模型中，选择用多项式形式的近似来表示 IGSO(3) 分布的 PDF 而不是精确表达，主要原因是 计算效率 和 数值可行性 的考虑。这种近似不仅能捕捉分布的核心特性，还为计算 CDF 和反向扩散等任务提供了更可控的数值手段。以下是具体的原因和理论依据：
1. IGSO(3) 的精确表达困难
IGSO(3) 的精确 PDF 表达涉及球谐函数或勒让德多项式展开：
- 无限级数：理论上该表达是一个无穷级数，而级数的每一项都需要计算复杂的多项式和指数项。在实际应用中，这种表达式计算开销过高。
- 归一化难度：归一化常数 Z(t)的计算涉及整个 SO(3)群的积分，通常没有封闭解。
- 多维积分复杂性：SO(3) 是一个非欧几里得流形，直接操作分布的精确形式在数值上极其困难。
因此，通过多项式近似的方法，可以在截断级数的前提下，保证计算的可控性和数值稳定性。
2. 多项式近似的理论依据
（1）有限项截断的合理性
球谐函数或勒让德多项式的级数展开是渐进收敛的：