【数据分析】布朗运动（维纳过程）

一、概述

布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。

布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。

其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。

可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。

布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为$10^{-8}$厘米。

布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。一般而言，花粉直径分布于30～50μm、最小亦有10μm，相较之下，水分子直径约0.3nm，略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。（维基百科）

在布朗运动所讨论的微粒通常是指比分子和原子大得多的颗粒，这些颗粒可以是聚合物、胶体粒子或者是其他类型的微小悬浮物。这些颗粒的尺寸通常在纳米到微米级别，远大于单个分子或原子的尺寸。

布朗运动是由这些较大颗粒受到周围液体或气体中分子的随机碰撞引起的。由于分子和原子的尺寸非常小，它们在这种尺度上的行为表现为连续的流体，而不是作为单独的粒子。因此，布朗运动中的微粒不是分子或原子，而是被分子和原子的集体行为所影响的较大颗粒。

朗运动有下列的主要特性：

1. 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
2. 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
5. 粒子的运动永不停止。

二、数学布朗运动

也称为维纳过程。

2.1 数学定义

从数学的角度看，布朗运动是一个连续时间、连续状态的随机过程，通常用$B_t$来表示其在时间$t$的取值。具体地，布朗运动有以下几个重要的特征：

1. 起始值为零：$B_0=0$。
2. 独立增量：对于任意时刻$t_1<t_2<\cdots <t_n$，增量$B_{t_{i+1}}-B_{t_i}$是独立的，并且这些增量的分布不依赖于过去的值。
3. 正态分布增量：增量$B_{t+s}-B_t$服从均值为0、方差为$s$的正态分布，即$B_{t+s}-B_t\sim \mathcal{N}(0,s)$。
4. 连续性：$B_t$是连续的，但几乎处处不可微，即对每一个$t$，$B_t$有连续的轨迹，但是其导数（如果存在）几乎处处为零。
5. 独立性和正态性：布朗运动的增量服从正态分布，并且增量是独立的。这使得布朗运动在很多情况下成为一个简单且有效的模型，尤其在金融数学中，作为股票价格或其他资产价格变动的模型。

2.2 布朗运动的数学模型

2.21 标准布朗运动

标准布朗运动通常是指满足上述性质的一个随机过程，其常见的数学表示形式为：
$$B_t\sim \mathcal{N}(0,t)\text{且}{B}_0=0.$$

这意味着，对于任意时刻$t$，布朗运动$B_t$的分布是均值为0、方差为$t$的正态分布。

2.22 布朗运动的路径

布朗运动的路径是连续的，但不光滑。虽然布朗运动在任何时刻都是有定义的，但它几乎无处可微。更准确地说，布朗运动的轨迹几乎无处具有有限的导数，这意味着轨迹是非常不规则的。

布朗运动路径的一个典型特点是不可预测性，即使已知了过去的所有历史，布朗运动的未来路径也无法准确预测。路径的变化完全是随机的，无法通过常规的物理法则来预测。

2.23 布朗运动的方程

布朗运动常通过随机微分方程（SDE）来描述。一个标准的布朗运动可以用以下的随机微分方程来表示：
$$d{B}_t=\sigma d{W}_t$$

其中$\sigma$是常数，$W_t$表示标准布朗运动，$d{B}_t$是布朗运动的增量。

这种方程可以看作是描述随机运动的“微分方程”，其中$W_t$是一个标准的布朗运动，$\sigma$控制着布朗运动的波动幅度。

三、布朗运动在金融学中的应用

布朗运动最著名的应用之一是在金融领域的随机过程模型中，尤其是用于描述股票价格的变动。通过布朗运动模型，金融学家能够捕捉股票价格变化的随机性，并以此来定价期权、评估风险、制定交易策略等。

在布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Model）中，资产价格$S_t$通常被假设为服从几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM），即：
$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{B}_t$$

其中$\mu$是资产的期望回报率，$\sigma$是波动率，$B_t$是标准布朗运动。

四、数学构造（以傅里叶级数为例）

利用傅里叶级数（Fourier Series）构造布朗运动的思想基于随机过程的扩展与分解方法。

布朗运动是一种具有独立增量和正态分布增量的随机过程，其增量的方差与时间的间隔成正比。为了利用傅里叶级数构造布朗运动，需要借助一种表示方法，将布朗运动的路径视为一系列独立的正弦和余弦项的叠加。

4.1 傅里叶级数的基本思想

傅里叶级数通常用于将一个周期性的函数表示为一组正弦和余弦函数的和。

将布朗运动的增量看作是这些正弦项的组合，每个正弦项的频率、振幅等特性根据布朗运动的独立增量和正态分布的特性来设置。

傅里叶级数表示为：
$$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\sin (n\omega t)+b_n\cos (n\omega t)$$

其中$a_n$和$b_n$是傅里叶级数的系数，$\omega$是频率。

4.2 构造布朗运动

用一个随机过程的傅里叶级数展开，其中每个系数是由独立的正态分布随机变量决定的。具体步骤如下：

1. 选择正弦函数的频率
   设定傅里叶级数中正弦项的频率为$n$（即$n\omega$）。通常，可以选择频率逐渐递增，即：
   $${\omega }_n=n$$
   这意味着每个频率是一个整数倍，符合傅里叶级数的基本构造方法。

2. 生成正态分布的随机变量
   对于每一个频率$n$，给定一个随机变量$X_n$，它是服从正态分布的。即
   $$X_n\sim \mathcal{N}(0,1)$$
   其中$\mathcal{N}(0,1)$表示均值为0，方差为1的标准正态分布。注意，正态分布的增量是独立的，因此$X_n$是彼此独立的。

3. 构造布朗运动增量
   布朗运动的增量服从正态分布，且每个增量的方差与时间间隔成正比。为了使构造的过程符合布朗运动的特性，假设在时间间隔$[0,T]$内，布朗运动$B(t)$的增量在时间$t$处的方差为$t$，将布朗运动的增量表示为：
   $$B(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{X_n}{\sqrt{n}}\sin (nt)$$
   这里，$\frac{X_n}{\sqrt{n}}$是归一化的系数，使得每个增量的方差为$t$，即
   $$\mathbb{E}[B(t{)}^2]=t$$
   这个构造方式确保了布朗运动的方差随着时间$t$的增长而增长，并且增量之间是独立的。

由于傅里叶级数中包含无穷多个项，为了保证所构造的过程具有连续的路径，可以通过适当的截断和正则化来确保级数在有限的时间内收敛。实际操作中，可以将级数截断为有限项，得到一个近似的布朗运动过程，随着项数的增加，布朗运动的路径会越来越精确。

4. 完整描述
   综上所述，布朗运动可以通过如下的傅里叶级数形式来构造：
   $$B(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{X_n}{\sqrt{n}}\sin (nt)$$
   其中$X_n$是独立的标准正态分布随机变量，$\frac{X_n}{\sqrt{n}}$是归一化系数，确保增量的方差是$t$，并且布朗运动在整个时间区间内是连续的。

5. 路径的性质
   通过傅里叶级数构造的布朗运动具有以下性质：

   1. 增量的独立性：每个$X_n$都是独立的随机变量，因此，布朗运动的增量是独立的。
   2. 增量的正态分布：每个增量$X_n$服从标准正态分布，因此布朗运动的增量服从正态分布。
   3. 方差与时间成正比：由于每个项的系数$\frac{X_n}{\sqrt{n}}$和正弦函数的频率逐渐增大，布朗运动的方差随着时间增长而增长，且为$t$。
   4. 连续性：尽管级数中有无穷多项，使用合适的截断或正则化方法，可以保证布朗运动的路径是连续的。