《普通逻辑》学习记录——复合命题和复合推理
上海人民出版社《普通逻辑（第五版）》学习记录
1、联言命题
1.1、联言命题的特点
反映若干情况同时存在。符号表示为：P ∧ Q。
∧ 读作：“合取”。
可以这么记忆：∧ 看起来像是一个尖顶，可以想象成两个条件在这里交汇，共同支撑起一个结构，只有当两边都稳固（即两边都为真）时，整个结构才是稳固的。
1.2、肢命题关联
普通逻辑中的联言命题不仅要求联言肢同真，而且要求联言肢之间有某种联系，否则这个联言命题将无意义。
例：2×2=4，并且，雪是白的。
这个联言命题的联言肢都是真的，但这个命题没有实际意义。
1.3、联言推理
前提或结论为联言命题，并根据联言命题的逻辑性质而进行推理。有两种推理形式：
1、组合式
如果已知命题 P 和命题 Q 为真，那么可以引入一个新的命题“P ∧ Q”，且该命题也为真。
2、分解式
如果已知命题“P ∧ Q”为真，那么可以分别推断出 P 为真和 Q 为真。
P：今天是星期一。
Q：今天下雨。
P ∧ Q：今天是星期一并且今天下雨。
例1，组合式：
如果今天是星期一（P）为真，且今天下雨（Q）也为真，那么今天是星期一并且今天下雨（P ∧ Q）也为真。
例2，分解式：
如果今天是星期一并且今天下雨（P ∧ Q）为真，那么可以推断出今天是星期一（P）为真，且今天下雨（Q）也为真。
2、选言命题
2.1、选言命题的特点
反映若干情况中至少有一个存在。逻辑符号：∨。
∨ 读作：“析取”。
可以这么记忆：∨ 的下尖端可以视为一个选择点，允许选择路径前进，只要有一条路径可行，整个选择过程就可以继续。
2.2、选言命题的类型
2.2.1、相容选言命题（析取/或）
各选言肢可以同时为真。即 P 和 Q 可以同时为真，且“P ∨ Q”仍为真。
例：
P：今天是星期一。
Q：今天下雨。
如果 P 为真，且 Q 也为真，则“今天是星期一或今天下雨”（P ∨ Q）仍为真。
2.2.2、不相容选言命题（异或）
各选言肢不能同时为真。即 P 和 Q 不能同时为真，且“P ∨ Q”只在其中一个为真时为真。
注：不相容情况下 P ∨ Q 可以写作：P ⊕ Q（⊕ 是异或符号）
例：
P：今天是一个工作日。
Q：今天是周末。
如果 P 为真，Q 就不能为真，反之亦然。
2.3、选言肢穷尽
指的是在选言命题中，所有的选言肢是否覆盖了所有可能的情况。
- 只有当所有可能的情况都被选言肢所覆盖，且至少一个为真时，选言命题才为真。
- 如果选言肢不穷尽，可能无法完全确认选言命题的真值。
例1：
今天是星期一，或者今天是星期二，或者今天是星期三，或者今天是星期四，或者今天是星期五，或者今天是星期六，或者今天是星期日。
这是一个穷尽的选言命题，因为它包含了所有可能的情况。不论今天是哪一天，上述命题都至少有一个选言肢为真，因此整个命题为真。
例2：
这个周末张三要么去爬山，要么去看电影，要么待在家里。
如果确定了这个周末除了这三个选项之外不会再有其他的活动选择，那么这个选言命题就是穷尽的。但是，如果实际上还有其他可能性（如拜访朋友、去图书馆等），那么这个选言命题就不是穷尽的。
2.4、选言推理
前提中至少有一个选言命题，且根据选言肢之间的关系推出结论。
2.4.1、相容选言推理
根据相容选言命题的逻辑性质（选言肢可以同真），相容选言推理的规则有两条：
1、否定一部分选言肢，就要肯定另一部分选言肢
- 前提：P ∨ Q 为真。即至少有一个命题是真的。
- 已知：¬P，即 P 为假。
- 推理：根据前提 P∨Q，Q 必须是真的，因为如果 Q 为假则 P∨Q 不成立。
- 结论：Q 为真。
例：
P：今天是星期一。
Q：今天下雨。
P 和 Q 可以同时为真，所以 P ∨ Q 是相容选言命题。
前提：P ∨ Q：可以确定今天是星期一或今天下雨。
已知：今天不是星期一（¬P）。
推理：如果今天不下雨（¬Q）则前提不成立。
结论：今天下雨（Q）。
2、不能因为肯定了一部分选言肢就要否定另一部分选言肢
- 前提：P ∨ Q 为真。即 P 和 Q 至少有一个为真。
- 已知：P 为真。
- 推理：P 为真，就已经 P 满足 P∨Q 的要求。因此，Q 的真假状态对 P∨Q 的真实性没有影响。
- 结论：不能仅凭 P 为真这一点就得出 Q 为假。
例：
前提：P ∨ Q：可以确定今天是星期一或今天下雨。
已知：今天是星期一（P）。
推理：今天是星期一（P）就使得“今天是星期一或今天下雨”（P ∨ Q）已经为真，今天下不下雨“今天是星期一或今天下雨”都是真的。
结论：不能得出 "今天不下雨"（¬Q）。
2.4.2、不相容选言推理
根据不相容选言命题的逻辑性质（选言肢不能同真），不相容选言推理的规则有两条：
1、肯定一个选言肢，就要否定其他选言肢
- 前提：P ⊕ Q 为真。即 P 和 Q 中只有一个为真。
- 已知： P 为真。
- 推理：根据 P ⊕ Q 的定义，如果 P 为真，那么 Q 必须为假。因为异或操作要求两者中只有一个为真。
- 结论：肯定 P 就要否定 Q 。
例：
这个星期六，张三要么去图书馆（P），要么去爬山（Q）。
如果张三决定星期六去图书馆（P），那么根据此规则可以得出结论：张三不会去爬山（¬Q）。
2、否定某个选言肢以外的所有选言肢，就要肯定余下的那个选言肢
- 前提：P ⊕ Q ⊕ R 为真。即 P、Q 和 R 中只有一个为真。
- 已知：Q 和 R 都为假。
- 推理：如果 Q 和 R 都为假，那么唯一剩下的选言肢 P必须为真。因为如果 P为假，那么 P ⊕ Q ⊕ R 就无法为真。
- 结论：否定 Q 和 R 就要肯定 P。
例：
可以确定这个袋子里面要么装着苹果（P），要么装着橙子（Q）。P ⊕ Q 为真。
如果发现袋子里没有苹果（¬P），根据此规则就能够肯定袋子里装的是橙子（Q）。
3、假言命题
3.1、假言命题的特点
反映某一情况是另一情况存在的条件。
- 前件：条件部分的肢命题。
- 后件：依赖条件而成立的肢命题。
3.2、假言命题的种类
由于假言命题是陈述事物之间的条件关系的命题，因此，一个假言命题的真假就只取决于其前件和后件的关系是否确实是反映了事物之间的条件关系。
按照前后件关系性质不同，可将假言命题分成三类：
- 充分条件假言命题
- 必要条件假言命题
- 充分必要条件假言命题
3.2.1、充分条件假言命题
反映前件是后件的充分条件关系的假言命题。
3.2.1.1、充分条件
如果 P 发生，则 Q 一定发生，那么 P 是 Q 的充分条件。
用公式表示为：P → Q。
Q 发生了不能说明 P 也发生了，因为可能 A、B、C、P 中的任何一个的发生都会导致 Q 发生。
例：
如果下雨（P）地上一定会湿（Q）。
反之，地上湿（Q）不一定下雨（P），比如可能是洒水车经过导致。
3.2.2、必要条件假言命题
反映前件是后件的必要条件关系的假言命题。
3.2.2.1、必要条件
只有 P 发生，才有 Q 发生的可能，那么 P 是 Q 的必要条件。
P 发生是 Q 发生必不可少的前提。即如果没有 P 发生，Q 一定不可能发生。
用公式表示为：P ← Q（只有 P，才可能 Q / 没有 P，则没有 Q）。
P 发生了不能说明 Q 一定会发生（Q 发生可能需要多个必不可少的条件，P 可能只是其中一个）。
例：
通过医学考试（P）才可能成为一名合格的医生（Q）。
通过医学考试（P）是成为合格医生（Q）的一个必要条件，但还需要完成临床实习、获得执业证书等其他步骤（即仅通过了医学考试（P）还不能说已经成为了一名合格的医生（Q））。
3.2.3、充分必要条件假言命题
反映前件是后件的充分而又必要条件关系的假言命题。
3.2.3.1、充分必要条件
如果 P 发生，则 Q 发生；如果 P 不发生，则 Q 必然不发生。则 P 是 Q 的充分必要条件。
用公式表示为：P ↔ Q。
- 充分性：如果 P 发生，则 Q 必然发生（P → Q）。
- 必要性：如果 P 不发生，则 Q 必然不发生（P ← Q）。
例：
P：两条直线平行。
Q：两条直线在同一平面内永不相交。
P 是 Q 的充分必要条件。
充分性：如果两条直线平行（P），那么它们在同一平面内永远不会相交（Q）。
必要性：如果两条直线不平行（¬P），那么这两条直线一定是相交的（¬Q）。
3.2.3.1.1、充分必要条件的等价关系
充分必要条件是一种等价关系，即如果 P 是 Q 的充分必要条件，那么 Q 也是 P 的充分必要条件。
P 是 Q 的充分必要条件：
- P 是 Q 的充分条件：如果 P 发生，则 Q 必然发生（P → Q）。
- P 是 Q 的必要条件：只有 P 发生，才有 Q 发生的可能（P ← Q）（如果 P 不发生，则 Q 必然不发生）。
可以推导：
- 根据 P 是 Q 的充分条件可知：如果 Q 没有发生，那么 P 没有发生。也就是 Q 是 P 的必要条件。
- 根据 P 是 Q 的必要条件可知：如果 Q 发生，那么 P 必然发生。也就是 Q 是 P 的充分条件。
- Q 即是 P 的充分条件也是 P 的必要条件，那么 Q 是 P 的充分必要条件。
3.2.3.1.2、总结
3.2.3.1.2.1、关系总结
- P 是 Q 的充分条件，则 Q 是 P 的必要条件。
- P 是 Q 的必要条件，则 Q 是 P 的充分条件。
- P 是 Q 的充分必要条件，则 Q 也是 P 的充分必要条件。
3.2.3.1.2.2、判断方式总结
1、当且仅当
充分必要条件可以用“当且仅当”来描述。
例：
P：考试分数达到60分或以上。
Q：考试及格。
P 和 Q 互为充分必要条件。那么可以说：
- 当且仅当考试分数达到60分或以上（P）的时候才会考试及格（Q）。
- 当且仅当考试及格（Q）的时候才会考试分数达到60分或以上（P）。
根据两个命题是否可以使用双向“当且仅当”来描述，可以判断两个命题之间是否是充分必要关系。
2、如果...就一定...
充分条件可以用“如果...就一定...”描述。
例：如果经常锻炼身体（P），健康状况就一定会有所改善（Q）。
3、只有...才可能... / 没有...就一定没有...
必要条件可以用“只有...才可能...”或者“没有...就一定没有...”来描述。
例1：只有真诚待人（P），才可能建立深厚的友谊（Q）。
例2：没有持续的研发投入（P），就一定没有技术创新（Q）。
3.3、假言推理的种类
由假言命题作为前提构成的推理可以分成三类：
- 假言推理
- 假言易位推理
- 假言联锁推理
3.3.1、假言推理
推理的前提中有一个假言命题，并根据假言命题前、后件的关系推出结论。
3.3.1.1、充分条件假言推理
这种推理可以使用“如果...就一定...”来描述。
根据充分条件的性质（如果 P 发生，Q 一定发生），有4条推理规则：
1、肯定前件就要肯定后件
如果 P 发生，Q 一定发生。
例：
P：下雨。
Q：地面湿。
这里 P 发生则 Q 一定发生，所以 P 是 Q 的充分条件。
如果下雨了，地面一定会湿。
2、否定后件就要否定前件
Q 没有发生，则 P 一定没有发生。
例：地面没有湿，所以肯定没有下雨。
3、否定前件不能否定后件
P 没有发生，不能说 Q 就不会发生。
例：没有下雨，不能认为地面不会湿。比如洒水车经过地面也会湿。
4、肯定后件不能肯定前件
Q 发生了，不能说 P 就一定发生了。
例：地面湿了，不能说一定就下雨了。比如可能是洒水车经过。
3.3.1.2、必要条件假言推理
这种推理可以用“如果...就有可能...”或“没有...就一定没有...”来描述。
根据必要条件的性质（如果 P 发生，则 Q 有可能发生 或 如果 P 不发生，则 Q 一定不发生），有4条推理规则：
1、否定前件就要否定后件
如果 P 不发生，Q 一定也不发生。
例：
P：拥有驾照。
Q：合法驾驶汽车。
如果拥有了驾照，就有可能合法驾驶汽车；或没有驾照就不可能合法驾驶汽车。所以拥有驾照（P）是合法驾驶汽车（Q）的必要条件。
没有驾照就不能合法驾驶汽车。
2、肯定后件就要肯定前件
如果 Q 发生了，Q 一定也发生了。
例：如果某人可以合法驾驶汽车，那么他一定拥有驾照。
3、肯定前件不能肯定后件
如果 P 发生了，不能说明 Q 也发生了。
例：即使某人拥有驾驶执照，他也可能因为其他原因（如酒驾、超速等违法行为）而不能合法驾驶汽车。
4、否定后件不能否定前件
如果 Q 没有发生了，不能说明 P 也没有发生。
例：一个人不能合法驾驶汽车（如酒驾了、超速了等情况），不能说明他就没有拥有驾照。
3.3.1.3、充分必要条件假言推理
根据充分必要条件的性质：
- P 发生则 Q 必定发生，P 不发生则 Q 必定不发生。
- 充分必要条件关系是等价的（见 3.2.3.1.1）。
可知推理规则为：前、后件中，肯定其中一个就要肯定另外一个；否定其中一个就要否定另外一个。
3.3.2、假言易位推理
变换前提中假言命题的前后件的位置，同时调整逻辑联结词来形成新的假言命题。新的假言命题与原命题逻辑等值。
例1：
充分条件假言易位推理：
原命题：如果下雨（P），那么地面会湿（Q）。（P → Q）
易位推理：如果地面没有湿（¬Q），那么没有下雨（¬P）。（¬Q → ¬P）
例2：
必要条件假言易位推理：
原命题：只有年满18岁（P）的人才能投票（Q）。（P ← Q）
易位推理：如果有人投票（Q），那么这个人年满18岁（P）。（Q → P）
例3：
充分必要条件假言易位推理：
原命题：一个人是成年人（P）当且仅当他年满18岁（Q）。（P ↔ Q）
易位推理：一个人年满18岁（Q）当且仅当他是一个成年人（P）。（Q ↔ P）
3.3.3、假言连锁推理
多个假言命题为前提，推出一个假言命题做结论，特点是：前提中前一个假言命题的后件与后一个假言命题的前件相同。
3.3.3.1、充分条件假言连锁推理
前提和结论中的前件和后件都是充分条件关系。
此项推理的有效形式依据的是充分条件的特性：
- P 发生，则 Q 一定发生。
- Q 没有发生，则 P 一定没有发生。
有效推理形式：
1、肯定式
肯定前面前提的前件，从而肯定后面前提的后件。
推理形式为：
- 前提1：如果 P，则一定 Q。
- 前提2：如果 Q，则一定 R。
- 结论：如果 P，则一定 R。
即：
(（P → Q）∧ （Q → R）) → （P → R）
例：
前提1：如果科学技术发展了（P），机器就能革新（Q）。
前提2：如果机器革新了（Q），生产就能发展（R）。
结论：所以如果科学技术发展了（P），生产就能发展（R）。
2、否定式
否定后面前提中的后件，从而否定前面前提里的前件。
推理形式为：
- 前提1：如果 P，则一定 Q。
- 前提2：如果 Q，则一定 R。
- 结论：如果 ¬R，则一定 ¬P。
即：
(（P → Q）∧ （Q → R）) → （¬R → ¬P）
例：
前提1：如果天下雨（P），则地面一定会湿（Q）。
前提2：如果地面湿（Q），则路一定会滑（R）。
结论：如果路不滑（¬R），则一定天没有下雨（¬P）。
3.3.3.2、必要条件假言连锁推理
前提和结论中的前件和后件都是必要条件关系。
此项推理的有效形式依据的是必要条件的特性：
- P 发生，则 Q 才可能发生。
- P 不发生，则 Q 不可能发生。
有效推理形式：
1、肯定式
肯定后一个前提的后件，从而肯定前一个前提的前件。
推理形式为：
- 前提1：只有 P 发生 ，才可能 Q 发生。
- 前提2：只有 Q 发生，才可能 R 发生。
- 结论：如果 R 发生了，则说明 P 一定发生了 / 只有 P 发生，才可能 R 发生。（R 是 P 的充分条件 / P 是 R 的必要条件）
即：
（（P ← Q）∧ （Q ← R）） → （R → P）
例：
前提1：只有坚持健身（P），才有可能保持身体健康（Q）。
前提2：只有保持身体健康（Q），才有可能有充沛的精力（R）。
结论：如果有了充沛的精力（R），那么说明一定坚持了健身（P）。
2、否定式
否定前面前提的前件，从而否定后面前提的后件。
推理形式为：
- 前提1：只有 P 发生 ，才可能 Q 发生。
- 前提2：只有 Q 发生，才可能 R 发生。
- 结论：如果 P 不发生，则 R 不发生。
即：
（（P ← Q）∧ （Q ← R）） → （¬P → ¬R）
例：
前提1：当有阳光照射（P），植物才可能进行光合作用（Q）（光合作用还需要水、适宜的温度、二氧化碳、叶绿素等）。
前提2：当植物进行光合作用（Q）时，植物才可能生长（R）（植物生长除了光合作用还需要矿物质、适宜的PH值、生长激素等）。
结论：如果没有阳光照射（¬P），那么植物不能生长（¬R）。
3.3.3.3、混合条件假言连锁推理
混合条件假言连锁推理分成两类：
3.3.3.3.1、前提由充分必要条件假言命题和充分条件假言命题组成
推理形式：
1、肯定前件式
肯定前面前提的前件，从而肯定后面前提的后件。
推理形式为：
- 前提1：当且仅当 P 发生时，Q 才会发生。
- 前提2：如果 Q 发生，则一定 R 发生。
- 结论：如果 P 发生，那么 R 发生。
即：
（（P ↔ Q）∧（Q → R））→ （P → R）
例：
P：张三认真复习。
Q：张三掌握了所有知识点。
R：张三在考试中取得好成绩。
前提1：P 和 Q 互为充分必要关系，即：
- 当且仅当张三认真复习（P），他才能掌握所有知识点（Q）。
- 当且仅当张三掌握了所有知识点（Q），才能说明张三确实认真复习了（P）。
前提2：如果张三掌握了所有知识点（Q），那么他在考试中一定会取得好成绩（R）。
结论：如果张三认真复习（P），那么他在考试中一定会取得好成绩（R）。
2、否定后件式
否定后面前提的后件，从而否定前面前提的前件。
推理形式为：
- 前提1：当且仅当 P 发生时，Q 才会发生。
- 前提2：如果 Q 发生，则一定 R 发生。
- 结论：如果 R 不发生，那么 P 不发生。
即：
（（P ↔ Q）∧（Q → R））→ （¬R → ¬P）
例：
P：张三认真复习。
Q：张三掌握了所有知识点。
R：张三在考试中取得好成绩。
前提1和2：同上。
结论：如果张三在考试中成绩不好（¬R），那么他没有认真复习（¬P）。
这里多说一句，这里结论的真假只和前提的真假相关。即“如果张三在考试中成绩不好（¬R），那么他没有认真复习（¬P）”成立的原因是这里假定前提1和前提2成立。实际生活中，有的人即使认真复习也不会掌握所有知识点。
3.3.3.3.2、前提由充分必要条件假言命题和必要条件假言命题组成
推理形式：
1、否定前件式
否定前面前提的前件，从而否定后面前提的后件。
推理形式为：
- 前提1：当且仅当 P 发生时，Q 才会发生。
- 前提2：只有 Q 发生，才有 R 发生的可能。
- 结论：如果 P 不发生，那么 R 不发生。
即：
（（P ↔ Q）∧（Q ← R））→ （¬P ← ¬R）
例：
P：湖面的水结冰。
Q：温度低于0℃。
R：张三要在湖面上滑冰。
前提1：当且仅当湖面的水结冰（P）时，温度低于0℃（Q）。
前提2：只有温度低于0℃（Q），张三才可能在湖面上滑冰（R）。
结论：如果湖面的水没有结冰（¬P），张三不可能在湖面上滑冰（¬R）。
2、肯定后件式
肯定后面前提的后件，从而肯定前面前提的前件。
推理形式为：
- 前提1：当且仅当 P 发生时，Q 才会发生。
- 前提2：只有 Q 发生，才有 R 发生的可能。
- 结论：如果 R 发生了，那么 P 一定发生了。
即：
（（P ↔ Q）∧（Q ← R））→ （R ← P）
例：
P：湖面的水结冰。
Q：温度低于0℃。
R：张三要在湖面上滑冰。
前提1和2：同上。
结论：如果张三在湖面上滑冰了（R），那么一定湖面的水结冰了（P）。
3、肯定前件式
肯定前面前提的前件，从而肯定后面前提的后件。
推理形式为：
- 前提1：当且仅当 P 发生时，Q 才会发生。
- 前提2：只有 Q 发生，才有 R 发生的可能。
- 结论：只有 P 发生，才有 R 发生的可能。
即：
（（P ↔ Q）∧（Q ← R））→ （P ← R）
例：
P：湖面的水结冰。
Q：温度低于0℃。
R：张三要在湖面上滑冰。
前提1和2：同上。
结论：只有湖面的水结冰了（P），张三才可能在湖面上滑冰（R）。
4、复合负命题
负命题分成简单负命题和复合负命题，这里只讨论复合负命题。
4.1、复合负命题的种类及其等值推理
负命题的等值推理中，前提为负命题，结论为该负命题的等值命题。
1、联言命题（见上文1.1）的负命题及其等值命题
联言命题（P ∧ Q）的特点是：肢命题中只要有一个是假的, 整个联言命题就是假的。而它的负命题（¬（P ∧ Q））表示（P ∧ Q）这个命题是假的，也就是 P 是假的或者 Q 是假的。
所以：（¬（P ∧ Q）） ↔ （¬P ∨ ¬Q）
这里举例展示负命题的等值推理，下同。
例：
P：张三今天会去图书馆学习。
Q：张三今天会去健身房锻炼。
原命题（P ∧ Q）：张三今天会去图书馆学习且会去健身房锻炼。
负命题（¬（P ∧ Q））：张三今天不会进行这项活动：去图书馆学习且去健身房锻炼。
等值命题（¬P ∨ ¬Q）：张三今天没有去图书馆学习（¬P），或者张三今天没有去健身房锻炼（¬Q），或者两者都没有做（¬P ∨ ¬Q）。
2、相容选言命题（见上文2.2.1）的负命题及其等值命题
相容选言命题（P ∨ Q）的特点是：肢命题中只要有一个是真的，整个选言命题就是真的，只有当其肢命题全假时，整个命题才是假的。而它的负命题（¬（P ∨ Q））表示（P ∨ Q）这个命题是假的，也就是 P 和 Q 都是假的。
所以：（¬（P ∨ Q）） ↔ （¬P ∧ ¬Q）
例：
P：张三今天会去图书馆学习。
Q：张三今天会去健身房锻炼。
原命题（P ∨ Q）：张三今天会去图书馆学习或者会去健身房锻炼。
负命题（¬（P ∨ Q））：张三今天不会进行这项活动：去图书馆学习或者会去健身房锻炼。
等值命题（¬P ∧ ¬Q）：张三今天不会去图书馆学习（¬P），也不会去健身房锻炼（¬Q）。
3、不相容选言命题（见上文2.2.2）的负命题及其等值命题
不相容的选言命题（P ⊕ Q）只有当选言肢仅有一个是真的时, 整个选言命题才是真的, 当选言肢同真或同假时, 它就是假的。而它的负命题（¬（P ⊕ Q））表示（P ⊕ Q）这个命题是假的，也就是 P 和 Q 同真或者同假。
所以：（¬（P ⊕ Q）） ↔ （（P ∧ Q） ∨ （¬P ∧ ¬Q））
例：
P：张三今晚吃中餐。
Q：张三今晚吃西餐。
原命题（P ⊕ Q）：张三在考虑今晚上吃什么，今晚吃中餐，或者今晚吃西餐。
负命题（¬（P ⊕ Q））：张三今晚吃中餐或吃西餐的情况没有发生。
等值命题（（P ∧ Q） ∨ （¬P ∧ ¬Q））：张三今晚即吃了中餐又吃了西餐（P ∧ Q），或他今天晚上没有吃饭（¬P ∧ ¬Q）。
4、充分条件假言命题的负命题及其等值命题
充分条件（P → Q）的特点是：P 发生了 Q 一定会发生。它的负命题（¬（P → Q））表示否定这种情况，即 P 发生了 Q 没有发生。
所以：¬（P → Q） ↔ （P ∧ ¬Q）
例：
P：下雨了。
Q：地面湿。
原命题（P → Q）：如果下雨，地面就会湿。
负命题（¬（P → Q））：下雨了，地面没有湿。
等值命题（P ∧ ¬Q）：下雨了，地面没有湿。
5、必要条件假言命题的负命题及其等值命题
必要条件（P ← Q）的特点是：只有 P 发生才有 Q 发生的可能。它的负命题（¬（P ← Q））表示否定这种情况，即即使 P 没有发生 Q 也可能发生。
所以：¬（P ← Q） ↔ （¬P ∧ Q）
例：
P：有电。
Q：灯亮。
原命题（P ← Q）：有电才有可能灯亮。
负命题（¬（P ← Q））：没有电，也可能灯亮。
等值命题（¬P ∧ Q）：没有电，也可能灯亮。
6、充分必要条件假言命题的负命题及其等值命题
充分必要条件（P ↔ Q）的特点是：P 发生的条件当且仅当是 Q 发生，而且 Q 发生的条件当且仅当是 P 发生（即它们其中一个发生时必定另一个发生）。它的负命题（¬（P ↔ Q））表示否定这种情况，即：P 发生的时候 Q 没有发生，或者 Q 发生的时候 P 没有发生。
所以：¬（P ↔ Q） ↔ （（P ∧ ¬Q） ∨ （¬P ∧ Q））
例：
P：开关是打开的。
Q：灯是亮的。
原命题（P ↔ Q）：开关是打开的当且仅当灯是亮的。
负命题（¬（P ↔ Q））：开关是打开的但灯没有亮，或者开关是关闭的但灯却亮了。
等值命题（（P ∧ ¬Q） ∨ （¬P ∧ Q））：开关是打开的但灯没有亮，或者开关是关闭的但灯却亮了。
5、复合命题的其他推理
5.1、二难推理
具有两个假言命题和一个选言命题构成的推理。使用这种推理的情况常使得对于可选择的每一种可能情况都难以接受，陷于“进退两难”的境地，因而称为二难推理。
二难推理可以分为两种基本类型：
- 构造性二难：选言命题中肯定假言前提的前件，从而在结论中肯定假言前提的后件。
- 破坏性二难：选言命题中否定假言前提的后件，从而在结论中否定假言前提的前件。
5.1.1、推理形式
这里说的简单和复杂：
- 简单：结论是一个单一的命题，对后件进行肯定或否定。
- 复杂：结论是一个选言命题，对不同的后件情况进行选择式的表述。
有4种推理形式：
1、简单构造式
两个假言前提有不同的前件但有相同的后件，不论肯定哪个前件，都可以得出相同的结论。
推理形式为：
- 假言前提1：如果 P 发生，则一定 R 发生。
- 假言前提2：如果 Q 发生，则一定 R 发生。
- 选言前提：P 和 Q 中总有一个要发生。（肯定假言前提的前件）
- 结论：R 一定会发生。（肯定假言前提的后件）
即：
（（P → R）∧（Q → R））∧（P ∨ Q）） → R
例：如果刺激老虎，则它要吃人；如果不刺激老虎，则它也要吃人；所以，老虎总是要吃人的。
2、简单破坏式
两个假言前提的后件不同但有相同的前件，不论否定哪个后件，结果总是否定了这个前件。
推理形式为：
- 假言前提1：如果 P 发生，则一定 Q 发生。
- 假言前提2：如果 P 发生，则一定 R 发生。
- 选言前提：Q 和 R 至少有一个不发生。（否定假言前提的后件）
- 结论： P 不发生。（否定假言前提的前件）
即：
（（P → Q）∧（P → R）） ∧（¬Q ∨ ¬R））→ ¬P
例：
假言前提1：如果天气好（P），那么张三去公园散步（Q）。
假言前提2：如果天气好（P），那么张三去图书馆看书（R）。
选言前提：张三没有去公园散步（¬Q）或者没有去图书馆看书（¬Q），
结论：天气不好（¬P）。
3、复杂构成式
各个假言前提有不同的前件和不同的后件，因此肯定其中一个假言命题的前件，结论便肯定该假言命题的后件。
推理形式为：
- 假言前提1：如果 P 发生，则一定 Q 发生。
- 假言前提2：如果 R 发生，则一定 S 发生。
- 选言前提：P 发生或 R 发生。（肯定假言前提的前件）
- 结论：Q 会发生或者 S 会发生。（肯定假言前提的后件）
即：
（（P → Q）∧（R → S）） ∧（P ∨ R））→ （Q ∨ S）
例：
假言前提1：如果明天天气晴朗（P），那么我们将去公园野餐（Q）。
假言前提2：如果明天下雨（R），那么我们将在室内举行游戏派对（S）。
选言前提：明天要么天气晴朗（P），要么下雨（R）。
结论：明天我们要么去公园野餐（Q），要么举行室内游戏派对（S）。
4、复杂破坏式
各个假言前提有不同的前件和不同的后件，因此否定其中一个假言命题的后件，结论便否定该假言命题的前件。
推理形式为：
- 假言前提1：如果 P 发生，则一定 Q 发生。
- 假言前提2：如果 R 发生，则一定 S 发生。
- 选言前提：Q 和 S 至少有一个不发生。（否定假言前提的后件）
- 结论：P 和 R 至少有一个不发生。（否定假言前提的前件）
即：
（（P → Q）∧（R → S）） ∧（¬Q ∨ ¬S））→ （¬P ∨ ¬R）
例：
假言前提1：如果你的电脑坏了（P），那么你将无法访问重要的文件（Q）。
假言前提2：如果你的手机坏了（R），那么你将无法接收重要的电话或短信（S）。
选言前提：你发现你能够访问重要文件（¬Q）或能够接收重要电话或短信（¬S）。
结论：因此，可以推断出你的电脑没有坏（¬P）或者你的手机没有坏（¬R）。
5.1.2、揭露错误的二难推理
凡是正确的二难推理，必须具备两个条件：
- 遵守假言推理的规则。
- 前提真实，即假言前提的前件必须是后件的充分条件，选言前提的肢命题必须穷尽一切可能。
不具备这两个条件的是错误的二难推理。
揭露错误的二难推理的方法：
1、如果一个二难推理的前提是不真实（即假言前提的前件不是后件的充分条件，或选言前提的肢命题不穷尽），那么可以根据事实指出其前提是虚假的
例1：
错误二难推理（复杂构成式）：
假言前提1：如果张三每天练习钢琴8小时（P），他就会成为世界级钢琴家（Q）。
假言前提2：如果张三每天不练习钢琴8小时（R），他就不会成为世界级钢琴家（S）。
选言前提：张三每天练习钢琴8小时（P）。
结论：张三会成为世界级钢琴家（Q）。
错误之处：两个假言前提的前件都不是后件的充分条件。每天练习钢琴8小时，不能确保就会成为世界级钢琴家。每天不练习钢琴8小时，也不能说明就不会成为世界级钢琴家。
例2：
错误二难推理（简单构造式）：
假言前提1：如果参加长跑比赛，身体会得到锻炼。
假言前提2：如果参加短跑比赛，身体会得到锻炼。
选言前提：要么参加长跑比赛，要么参加短跑比赛。
结论：身体会得到锻炼。
错误之处：它遗漏了诸如跳远、跳高、球类等其他众多体育项目比赛的可能性，选言前提未涵盖所有情况。
3、构造一个与错误的二难推理相反的二难推理，从其中得出相反的结论
错误二难推理（复杂二难构造式）：
假言前提1：如果你努力工作，你会很累。
假言前提2：如果你不努力工作，你会很穷。
选言前提：你总要在努力和不努力中选一个。
结论：无论如何，你都会不开心。
错误之处：它的假言前提的前件不是后件的充分条件。它假设了“累”和“穷”必然会导致不开心，而没有考虑到其他的可能性。例如，努力工作可能会带来成就感和满足感，而不努力工作也未必一定会导致贫困，可能还有其他方式可以获得收入和生活满足。
构造一个相反的二难推理，从中得出相反的结论：
假言前提1：如果你努力工作，你可能会很累，但你也会获得成就感和满足感。
假言前提2：如果你不努力工作，你可能会度过轻松的时光，但你也可能通过其他方式获得收入和满足。
选言前提：你总要在努力和不努力中选一个。
结论：无论如何，你都可能找到让自己开心的方式。
5.2、假言联言推理
由两个假言命题和一个联言命题作前提，推出一个联言命题作结论的推理。其推理依据是假言命题和联言命题的逻辑性质。
主要有两种形式：
1、肯定式
在联言前提中肯定两个假言前提的前件，从而在结论中肯定两个假言前提的后件。
推理形式：
- 假言前提1：如果 P 发生，那 Q 肯定发生。
- 假言前提2：如果 R 发生，那 S 肯定发生。
- 联言前提：P 发生且 R 发生。
- 结论：Q 发生且 S 发生。
即：
（（P → Q ） ∧ （R → S）） ∧ （P ∧ R） → （Q ∧ S）
例：
假言前提1：如果张三努力学习（P），那么他的成绩会提高（Q）。
假言前提2：如果张三积极参加社团活动（R），那么他的社交能力会增强（S）。
联言前提：张三既努力学习，又积极参加社团活动（P ∧ R）。
结论：因此，张三的成绩提高了，社交能力也增强了（Q ∧ S）。
2、否定式
在联言前提中否定两个假言前提的后件，从而在结论中否定两个假言前提的前件。
推理形式：
- 假言前提1：如果 P 发生，那 Q 肯定发生。
- 假言前提2：如果 R 发生，那 S 肯定发生。
- 联言前提：Q 没有发生且 S 没有发生。
- 结论：P 没有发生且 R 没有发生。
即：
（（P → Q ） ∧ （R → S）） ∧ （¬Q ∧ ¬S） → （¬P ∧ ¬R）
例：
假言前提1：如果父母经常沟通（P），那么家庭氛围会更加融洽（Q）。
假言前提2：如果父母尊重孩子的意见（R），那么孩子会更加自信（S）。
联言前提：有些父母很少沟通，也不尊重孩子的意见（¬Q ∧ ¬S）。
结论：这些家庭的氛围不够融洽，孩子也不够自信（¬P ∧ ¬R）。
5.3、反三段论
通过否定结果来推导出某个前提条件不成立。前提和结论都是假言命题。
推理形式：
- 前提：如果 P 发生且 Q 发生，那么 R 就一定会发生。
- 结论：如果 P 发生了且 R 没有发生，那么 Q 没有发生。
即：
（（P ∧ Q）→ R） → （（P ∧ ¬R）→ ¬Q）
例：
前提：如果一家企业产品质量好且营销手段得当（P ∧ Q），那么企业就能盈利（R）。
结论：如果一家企业产品质量好但没有盈利（P ∧ ¬R），那么企业营销手段不得当（¬Q）。
5.4、归谬推理
展示一个命题会导致逻辑上的矛盾，从而证明该命题为假。
推理形式：
- 前提1：如果 P 发生，那么 Q 就一定会发生。
- 前提2：如果 P 发生，那么 ¬Q 就一定会发生。
- 结论：P 不会发生。
即：
（（P → Q） ∧ （P → ¬Q）） → ¬P
例：
前提 1：如果一个人是完全无私的（P），那么他会毫不犹豫地牺牲自己的利益去帮助别人（Q）。
前提 2：如果一个人是完全无私的（P），那么他不会有任何个人的牺牲意识，因为无私的人不会认为自己的利益受损是一种牺牲（¬Q）。
结论：完全无私地人不存在（¬P）。