【C++】—— 二叉搜索树
【C++】—— 二叉搜索树
- 1 二叉搜索树的概念
- 2 二叉搜索树的性能分析
- 3 二叉搜索树的实现
- 3.1 基本结构
- 3.2 insert
- 3.3 中序遍历
- 3.4 find
- 3.5 erase
- 3.5.1 情况分析
- 3.5.2 代码实现
- 3.5 默认成员函数
- 3.5.1 拷贝构造
- 3.5.2 构造函数
- 3.5.3 赋值重载
- 3.5.4 析构函数
- 4 二叉搜索树的应用
- 4.1 key 搜索场景
- 4.2 key/value 搜索场景
- 5 key 模型代码实现
- 6 key/value模型代码实现
1 二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于等于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于等于根节点的值
- 它的左右子树也都是二叉搜索树
- 二叉搜索树种可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习 m a p map map / s e t set set / m u l t i m a p multimap multimap / m u l t i s e t multiset multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 m a p map map / s e t set set 不支持插入相等值， m u l t i s e t multiset multiset / m u l t i m a p multimap multimap 支持插入相等值
2 二叉搜索树的性能分析
- 最优情况下，二叉搜索树为
完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：O(log2 N)- 最差情况下，二叉搜索树退化为
单支树（或者类似单支），其高度为：O( N / 2 N/2 N/2)- 所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
这样的二叉搜索树并不稳定，树的形状与数据的插入顺序息息相关（插入的数据是有序或较为有序的，二叉搜索树就退化成链式结构），这样的效率显然是无法满足时间的需求的。因此后续我们还将学习二叉搜索树的变形：AVL树 和 红黑树，他们才能适用于我们在内存中存储和搜索数据
另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 需要存储在
支持下标随机访问的结构中，并且有序插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。（我们查找一个数据往往不是单纯的查找，还要对其进行增删查改等相关操作）
这也就体现出了平衡二叉搜索树的价值
3 二叉搜索树的实现
搜索二叉树分为两种：允许插入相等的值和不允许插入相等的值。
一般我们会分开用，实现两份搜索二叉树。
本文实现的是不容许数值冗余的搜索二叉树
3.1 基本结构
首先我们要定义二叉树节点，及二叉搜索树的基本结构
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
using Node = BSTNode<K>;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};
注：关于类型重命名，C++11 给了一个新用法： u s i n g using using。 u s i n g using using 与 t y p e d e f typedef typedef 的功能是一样的，只有一些细微的差别，现阶段可认为是一样的。
搜索二叉树，模板参数我们就不用 T 了，而用 K
因为一般搜索的时候，我们都要进行一个比较：比他大往右边走，比他小往左边走。我们一般把用来比较的这个值称为 Key，也就是关键字。所以我们一般用 K 来做末模版参数
3.2 insert
实现插入要怎么实现呢？前面我们学习二叉树的时候都是用递归，那这里也要用递归吗？
可以用
递归的逻辑是这样的
要插入的值比当前根大，递归到其右子树；若比它小递归到其左子树；遇到空就插进去
但是这里没必要用递归
我们直接用循环就能够搞定
我们最开始定义一个
c
u
r
cur
cur 指针指向树的根，假设现在插入的是 16，
c
u
r
cur
cur 指向 8；16 比 8 大，
c
u
r
cur
cur 往右边走；若比
c
u
r
cur
cur 小，往左边走，直到遇到空位。
既能用循环又能用递归的情况下，我们无脑用循环。因为递归有栈溢出的风险，却需要建立栈帧，消耗一般比循环大。
但我们不能直接
n
e
w
new
new 一个结点给
c
u
r
cur
cur。因为
c
u
r
cur
cur 只是一个临时变量，只给
c
u
r
cur
cur，树并没有将这个节点链接起来，所以我们还要有个指针
p
a
r
e
n
t
parent
parent 记录
c
u
r
cur
cur 的父节点
当然，还有一种特殊的情况：空树。这时直接让 _
r
o
o
t
root
root 指向一个
n
e
w
new
new 出的新节点即可。
bool insert(const K& key)
{
if (nullptr == _root)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
return false;
}
if (parent->_key > key)
parent->_left = new Node(key);
else
parent->_right = new Node(key);
return true;
}
如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）
3.3 中序遍历
搜索二叉树有一个性质：中序遍历时，是有序的。
中序遍历我们前面学习普通二叉树时实现过了，这里就不再过多介绍
void InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
但是这个中序有一个问题：不好调用
因为想要调用中序来遍历搜索二叉树，要传递一个根节点
r
o
o
t
root
root。但是根是私有的，无法外面无法访问。
解决方式如下：
- 友有元
- 提供 G e t ( ) Get() Get() 函数
但这些方法或多或少有些麻烦，C++ 解决这种问题时，一般选择 在外面套一层函数。
class BSTNode
{
public:
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
}；
虽然我们在类外不能访问 _root，但是类里面可以啊。
这样，对外公开的接口我们就可以不用传根了
3.4 find
- 从根开始比较，查找 x x x， x x x 比根的值大则往右边走查找， x x x 比根值小则往左边走查找
- 最多查找高度次，走到空，还没找到，这个值不存在
- 如果不支持插入相等的值，找到 x x x 即可返回
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个 x x x 的存在，一般要求查找中序的第一个 x x x。如下图，查找 3，要找到 1 的右孩子的那个 3 返回
怎样才能找到中序第一个 3 呢？按中序遍历一遍吗？这样太慢了
这里讲一下大致思路，感兴趣的小伙伴可自行实现：查找方式与上述步骤一致，有些许不同。我们知道中序遍历是：左子树、根、右子树，中序往往是先遍历左子树。因此我们按上述方式找到了 8 左节点的 3，还要进入这个 3 的左子树查找；若其左子树中有 3，再进入这个 3 的左子树；若左子树中无 3，则回退，表明这个左子树的根是中序第一个3。
Node* find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
return cur;
}
return nullptr;
}
3.5 erase
3.5.1 情况分析
二叉搜索树的删除比较麻烦，需分情况讨论
- 要删除的解决点 N N N 左右节点都为空，即叶子节点
- 要删除的结点 N N N 左孩子为空，右孩子结点不为空
- 要删除的结点 N N N 右孩子为空，左孩子结点不为空
- 要删除的节点 N N N 左右子树都不为空
对应以上四种解决方案
- 第一种情况：这种情况最好解决，
将 N 节点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 节点（情况一可以当成情况二、三来处理，效果是一样的）- 第二种情况：
把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点- 第三种情况：
把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子⼦，直接删除 N 结点- 第四种情况：无法直接删除 N 节点，因为 N 的两个孩子无处安放，我们可以用替换法删除。找到
N 左子树的值最大节点 R（最右节点）或者N 右子树的最小节点 R（最左节点）替代 N，因为这两个节点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代的意思就是 N 和 R 的两个节点的值交换，转而变成删除 R 节点，R 结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除
3.5.2 代码实现
首先是查找，代码逻辑与
f
i
n
d
find
find 的实现相似。
不同的是，当找到相等的值（走到
e
l
s
e
else
else 时），
e
r
a
s
e
erase
erase 是进行删除；
f
i
n
d
find
find 是直接退出，当走出循环，表示没有找到要删除的值，
r
e
t
u
r
n
return
return
f
a
l
s
e
false
false
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
}
return false;
}
左为空：
虽然要删除的节点
N
N
N 左为空，但是并不知道
N
N
N 节点是父节点
R
R
R 的左节点还是右节点，因此需要先进行判断
// 左树为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
右为空：
右为空的判断逻辑与左为空时一样的
// 右树为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
但是上述情况还有一种坑的情况，如图：
假设现在我们要删除的是 8。
这时就需要特殊处理，需要更新 _
r
o
o
t
root
root 了
// 左树为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
// 右树为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
左右都不为空
这里我们假设找右树的最小节点（最左节点）来替代
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = nullptr;
Node* replace = cur->_right;
//replace不断往右边走
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
//将替代节点replace的val值赋值给本来要删除的节点cur
cur->_key = replace->_key;
//再删除replace节点，此时的replace只可能是前三种情况
replaceParent->_left = replace->_right;
delete replace;
}
删除
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 还有一种很坑的情况：
c
u
r
cur
cur 的右孩子就是最左节点。假设我们现在要删除 8
因为
c
u
r
cur
cur 的右孩子就是最左节点，此时并没有进入循环，
r
e
p
l
a
c
e
P
a
r
e
n
t
replaceParent
replaceParent 还是空，执行 replaceParent->_left = replace->_right; 语句就会报错
解决办法就是
r
e
p
l
a
c
e
P
a
r
e
n
t
replaceParent
replaceParent 初值不要给
n
u
l
l
p
t
r
nullptr
nullptr，而是给
c
u
r
cur
cur
最后删除
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 节点时，因为
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 是
r
e
p
l
a
c
e
P
a
r
e
n
t
replaceParent
replaceParent 的右节点，所以应是将
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 的孩子给
r
e
p
l
a
c
e
P
a
r
e
n
t
replaceParent
replaceParent 的右孩子，而不是左孩子。
所以最后删除
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 节点时，要判断
r
e
p
l
a
c
e
replace
replace 是
r
e
p
l
a
c
e
P
a
r
e
n
t
replaceParent
replaceParent 的左孩子还是右孩子
else
{
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
3.5 默认成员函数
3.5.1 拷贝构造
二叉树的拷贝构造一定要自己实现深拷贝，如果是编译器默认生成的浅拷贝，将是一个大坑。
我们使用前序的方式来拷贝：
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
注：这里不能用一个一个插入的方式进行拷贝，因为这样的话树的形状就变了
这里拷贝构造我们在外面套一层壳
3.5.2 构造函数
这里编译器默认生成的构造函数就能满足我们的需求，但是我们已经实现了拷贝构造，拷贝构造本身也是一种构造，因此编译器就不会再生成构造函数。
我们可以用
d
e
f
a
u
l
t
default
default 强制编译器生成构造函数
// 强制生成构造
BSTree() = default;
3.5.3 赋值重载
赋值重载我们直接用现代写法，让拷贝构造去干活
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
3.5.4 析构函数
析构函数，我们一次通过后序的方式遍历所有节点，并将他们释放
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
同理，析构函数我们在外面套一层外壳
4 二叉搜索树的应用
搜索二叉树的使用场景分为两个：
k
e
y
key
key 搜索场景和
k
e
y
/
v
a
l
u
e
key/value
key/value 搜索场景
4.1 key 搜索场景
k
e
y
key
key 搜索场景：即只有
k
e
y
key
key 作为关键值，结构中只需要存储
k
e
y
key
key 即可，关键值即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断
k
e
y
key
key 在不在。
k
e
y
key
key 的搜索场景实现的二叉搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改
k
e
y
key
key 破坏搜索树结构了。
一句话来说 k e y key key 搜索场景就是用来判断在不在
场景一：校区无人值守车库，小区车库只有买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统（后台系统可以用搜索二叉树的结果来存储车牌号），车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入
场景二：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示
4.2 key/value 搜索场景
k e y key key/ v a l u e value value 搜索场景：每一个关键值 k e y key key，都有与之对应的值 v a l u e value value， v a l u e value value 可以任意类型对象。树结构中（节点）除了需要存储 k e y key key 还要存储对应的 v a l u e value value，增/删/查还是以 k e y key key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 k e y key key 对应的 v a l u e value value。 k e y key key/ v a l u e value value 的搜索场景实现的二叉搜索树支持修改，那时 不支持修改 k e y key key，修改 k e y key key 破坏搜索树结构了，可以修改 v a l u e value value
场景1：简单中英互译字典。树的结构中（节点）存储key（英文）和value（中文），搜索黑丝输入英文，则同时查找到了引文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌（key）和入场时间（value）；出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出听出费用，缴费后抬杆，车辆离场
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在说明这个单词第一次出现，存在则++单词对应的次数
key/value模型的应用：
输入单词，查找单词对应的中文翻译
void TestBSTree1()
{
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("insert", "插入");
string str;
while (cin >> str)
{
// 搜索二叉树结点的地址
BSTreeNode<string, string>* cur = dict.Find(str);
if (cur)
{
cout << cur->_value << endl;
}
else
{
cout << "没有此单词" << endl;
}
}
}
统计水果个数：
void TestBSTree2()
{
// 统计水果的个数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","苹果","草莓", "苹果","草莓" };
BSTree<string, int> countTree;
for (const auto& str : arr)
{
//BSTreeNode<string, int>* cur = countTree.Find(str);
auto cur = countTree.Find(str);
// 没有该水果则插入
if (cur == nullptr)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
// 有该水果则将value值++
else
{
cur->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
}
5 key 模型代码实现
namespace key
{
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key
template<class K>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K>;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 右为空
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
6 key/value模型代码实现
namespace key_value
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
const K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key/value
template<class K, class V>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K, V>;
public:
// 强制生成构造
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 右为空
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
好啦，本期关于二叉树的知识就介绍到这里啦，希望本期博客能对你有所帮助。同时，如果有错误的地方请多多指正，让我们在 C++ 的学习路上一起进步！