1.2 算法和算法评价

1.2.1 算法的基本概念

算法：对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。

算法的五个重要特性

“好”的算法的五个目标

1.2.2 算法效率的度量

一、时间复杂度

算法的时间复杂度是指一个算法每行语句执行次数的最大值。

例子

运行结果

我们可以看到最终的运行次数取决于循环语句的运行次数，而循环语句的执行次数又与n有关，如果n的值无限大，那么循环的运行次数就会无限大，也就是n，所以运行时间复杂度就是n。

例子源代码（C语言）

#include <stdio.h>

int main()
{
	//初始化；
	int i = 0;//运行了1次！

	//定义n的值；
	int n = 10;//运行了1次！

	//定义循环；
	for (i = 1; i <= n; i++)//运行了11次！
	{
		//打印现在是第几次运行；
		printf("现在是第%d次运行！", i);//运行了10次！

		//换行；
		printf("\n");//运行了10次！
	}

	//换行；
	printf("\n");//运行了1次！

	//打印总共运行了几次；
	printf("总共运行了%d次！", i);//运行了1次！

	return 0;
}

（一）时间复杂度的分类

1.常数阶O(1)

无伦代码执行了多少行，只要没有循环时间复杂度就为O(1)

2.线性阶O(n)

有循环，循环的时间复杂度为O(n)

3.对数阶O(logN)

从上面的代码中可以看到每次i的变化是乘2，所以相当于i乘2的x次方等于n，所以x等于log₂n。

所以时间复杂度为O(log₂n)

4.线性对数阶O(nlog₂n)

就是把对数阶循环n遍，时间复杂度就是O(nlog₂n)。

5.平方阶O(n²)

就是把循环n次再循环n次，时间复杂度为O(n²)。

6.立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。

（二）循环语句的运算方法

以下面的代码为例

运算步骤

①找循环条件：n>=i*i；

②找循环体中的趋近条件结束变量：x=x+1；

③假设循环执行t次；

④将③带入②，计算t<=n的表达式；

       ③带入②：x=t

       ②带入①：n>=t²

                         n½>=t

                         t<=n½

算法的时间复杂度T(n)=O(n½)

（三）时间复杂度的不同情况

最坏时间度复杂度：在最坏的情况下算法的时间复杂度；

（比如找找一个数据，最坏情况就是把所有数据都查完了最后一个才是要找的数据）

平均时间复杂度：所有可能输入实例在等概率情况下，算法的期望运行时间；

（比如找找一个数据，平均情况就是在所有数据中位于中间位置的就是要查找的数据）

最好时间复杂度：在最好情况下算法的时间复杂度；

（比如找找一个数据，最好情况就是把第一个数据就是要查找的数据）

（四）常见的渐进时间复杂度

O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(nlog₂n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

二、空间复杂度

算法的空间复杂度为该算法在运行过程中所需要的存储空间。

（一）算法空间复杂度O(1)

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。

（二）算法空间复杂度O(n)

在上面的代码中数组a需要开辟的存储空间为n，在运行过程中循环只是往开辟好空间的数组a中不断填入数据，所以空间复杂度为O(n)。