包子凑数（2017年蓝桥杯试题H）

【问题描述】

      小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐，他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai(i为下标)个包子。每种蒸笼都有非常多个，可以认为是无限笼。

     每当有顾客想买X个包子。卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子，使得这若干蒸笼中恰好一共有X个包子。例如一共有3种蒸笼，分别能放3、4、5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选两笼3个的和一笼5个的（也可能选一笼3个的和两笼4个的。）

     当然，有时大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。例如一共有3种蒸笼，分别能放4、5、6个包子。当顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

       小明想知道一共有多少种数目是大叔凑不出来的。

  【输入格式】

        第一行包含一个整数N(N >= 1&& <=100)

       以下N行每行包含一个整数Ai(i为下标)（Ai(i为下标)>=1&& Ai(i为下标)<=100）。

 【输出格式】

      一个整数代表答案，如果凑不出的数目有无限多个，则输出INF。

  【样例输入1】

   2

  4

  5

【样例输出1】

  6

 【样例输入2】

  2 

 4

 6

【样例输出2】

 INF

【样例解释】

对于样例1，凑不出的数目包括1、2、3、6、7、11。

对于样例2，所有的奇数都凑不出来，所以有无限多个。

如果给定数列的最大公约数不为1，那么就有INF个数凑不成；如果为１，那么只需要考虑前面不能凑成的就可以了（完全背包思想）。

【解析】

        本题已经说明，如果给定数列的最大公约数不为1，那么就有INF个数凑不成，如果为1，那么只需要考虑前面不能凑成的就可以了（完全背包思想）。这个就是本题的思路和关键点。下面详细分析这两个问题。

     （1）什么情况下是INF问题

       如果给定数列的最大公约数不为1，则出现INF情况。换句话说，数列中的任意两个数都不互质，就会存在INF个数凑不成。

    （2）解题的基本思跑是完全背包思想。程序的具体流程为：首先判断输入的N个数据序列的最大公约数是否为1。如果不是1，则输出INF并退出；如果是1，则利用完全背包进行计算。

       本题已知N的最大值为100，即Ai(i为下标)最多为100，那么背包的容量为比10000大一些即可，这里设置成10001。

【参考程序如下】

#include "iostream"
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int dp[20000] = {0};
	int a[101];
	int i,j;
	for(i = 0; i < n;i++)
	    cin >> a[i];
	    dp[0] = 1;
	for(i = 0; i < n;i++)
	  for(j = 0; j < 10001; j++)
	     if(dp[j]) dp[j + a[i]] = 1;
	int flag = 0,num = 0;
	for(i = 0; i < 10001;i++)
	{
		if(dp[i] == 1)
		 num++;
		 if(dp[i] == 0)
		 num = 0;
		 if(num == a[0])
		 {
		 	flag = 1;
		 	break;
		 }
	}
     if(flag == 0)
	  cout << "INF" << endl;
	  else
	  {
	  	num = 0;
	  	for(i = 0; i < 10001;i++)
	  	    if(dp[i] == 0)
	  	     num++;
	  	     cout << num;
	    }
		return 0;	     
}

【运行结果1】

  【运行结果2】