幂运算转換

幂运算转換
（现将个整数的需运算，转换为质数的乘运算，质数按从小到大排序。
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
解答要求
限制：C/C++ 1000ms，
其他语言：2000ms
输入
整数的幂运算连乘表达式，表达式中只有乘和幂运算，其中*表示乘运算，^表示幂运算
整数的范围：[1,100000］指数范围：［1,100]
输入为一个合法的表这式，表达式最长为1000个字符。
输出
转换为质数的乘运算，质数按从小到大排序。
保证输出最长不超过100000.


输入: 6^3*10
输出: 2*2*2*2*3*3*3*5
解释:6^3*10
6*3可以拆分为质数乘(2"3)^3，进一步表示为2"2*2*3*3*310可以拆分为质数乘2*5


输入: 5*14
输出:2*5*7


请用python stdin stdout解本题

code

import sys
import math
from collections import defaultdict

def sieve_spf(max_num):
    """Sieve of Eratosthenes to compute smallest prime factor (spf) for each number up to max_num."""
    spf = [0] * (max_num + 1)# spf 数组用于存储每个数字的最小质因数，初始化为0（表示未计算）。
    spf[0], spf[1] = 0, 1
    for i in range(2, max_num + 1):
        # 遍历从2到max_num的每个数字，如果一个数字的最小质因数尚未计算（即spf[i] == 0），
        # 则将其最小质因数设为它自己，并更新所有该数字的倍数的最小质因数。
        if spf[i] == 0:
            spf[i] = i
            for j in range(i * i, max_num + 1, i):# 更新所有该数字的倍数的最小质因数
                if spf[j] == 0:# 只有当spf[j]==0的时候才更新
                    spf[j] = i
    return spf

def factorize(x, spf):
    """Factorize x using the precomputed spf table. Returns a list of prime factors."""
    # 使用预先计算好的spf表来分解一个数x，返回一个包含x所有质因数的列表。
    # 通过不断地除以x的最小质因数来分解x，直到x变为1。
    factors = []
    while x > 1:
        factors.append(spf[x])
        x //= spf[x]
    return factors

def main():
    # input_expr = sys.stdin.read().strip()
    input_expr = input("please input your expression:").strip()

    if not input_expr:
        print("")
        sys.exit(0)

    # Precompute SPF up to 100,000
    MAX_NUM = 100000
    spf = sieve_spf(MAX_NUM)

    # Split the expression by '*'
    terms = input_expr.split('*')

    prime_counts = defaultdict(int) # 统计每个质因数出现的次数

    for term in terms:
        if '^' in term:
            base_str, exp_str = term.split('^')
            base = int(base_str)
            exponent = int(exp_str)
        else:
            base = int(term)
            exponent = 1

        if base == 1:
            continue  # 1 has no prime factors

        factors = factorize(base, spf)
        for prime in factors:
            prime_counts[prime] += exponent  # 2^3 也就是2会出现3次

    if not prime_counts:
        print("")
        sys.exit(0)

    # Collect primes in sorted order
    sorted_primes = sorted(prime_counts.keys())  # 按字典的key进行排序

    # Build the output list
    output = []
    for prime in sorted_primes:
        count = prime_counts[prime]
        output.extend([str(prime)] * count)

    # Join with '*'
    print('*'.join(output))

if __name__ == "__main__":
    main()

这段代码是埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）的一个变种，用于计算每个数字的最小质因数（smallest prime factor, SPF）。我将详细解释这段代码的逻辑：

1. 外层循环：

   • for i in range(2, max_num + 1)：从2开始遍历到max_num。这个循环用于找到每个数字的最小质因数。

2. 内层循环：

   • for j in range(i * i, max_num + 1, i)：这个循环从i * i开始，到max_num + 1结束，步长为i。这个循环的目的是更新所有i的倍数的最小质因数。

3. 更新最小质因数：

   • if spf[j] == 0：检查j的最小质因数是否已经计算过。如果spf[j]为0，表示j的最小质因数尚未计算。
   • spf[j] = i：将j的最小质因数设为i。

详细解释：

• 为什么从i * i开始：

  • 当我们找到一个质数i时，所有小于i * i的i的倍数（如2*i, 3*i, …, (i-1)*i）在之前的步骤中已经被处理过了，因为它们的最小质因数是小于i的质数。因此，我们从i * i开始，因为这是第一个可能的i的倍数，其最小质因数是i。

• 为什么步长为i：

  • 我们需要更新所有i的倍数的最小质因数，因此每次增加i，即i * i, i * (i + 1), i * (i + 2), ...。

• 为什么只更新spf[j]为0的情况：

  • 如果spf[j]已经不为0，说明j的最小质因数已经被计算过，我们不需要再次更新它。只有当spf[j]为0时，我们才将j的最小质因数设为i。

例子：

假设max_num = 10，我们来逐步计算spf数组：

1. 初始化：

   • spf = [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

2. i = 2：

   • spf[2] = 2
   • 更新j = 4, 6, 8, 10：
     • spf[4] = 2
     • spf[6] = 2
     • spf[8] = 2
     • spf[10] = 2
   • spf = [0, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

3. i = 3：

   • spf[3] = 3
   • 更新j = 9：
     • spf[9] = 3
   • spf = [0, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2]

4. i = 4：

   • spf[4]已经为2，跳过。

5. i = 5：

   • spf[5] = 5
   • spf = [0, 1, 2, 3, 2, 5, 2, 0, 2, 0, 2]

6. i = 6：

   • spf[6]已经为2，跳过。

7. i = 7：

   • spf[7] = 7
   • spf = [0, 1, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 0, 2]

8. i = 8：

   • spf[8]已经为2，跳过。

9. i = 9：

   • spf[9]已经为3，跳过。

10. i = 10：

    • spf[10]已经为2，跳过。

最终，spf数组为：
[ [0, 1, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2]]

这个数组表示每个数字的最小质因数。例如，spf[10] = 2表示10的最小质因数是2。