曲面的共形变换
共形变换
曲面 S , S ~ S,\tilde{S} S,S~, σ : S → S ~ \sigma:S\to\tilde{S} σ:S→S~是光滑双射。如果对于 S S S上任意两条相交曲线， σ \sigma σ保持两线夹角，则称 σ \sigma σ为 S → S ~ S\to\tilde{S} S→S~的共形变换。
设曲面有参数化表示 S : r ( u , v ) , S ~ : r ~ ( u ~ , v ~ ) S:r(u,v),\tilde{S}:\tilde{r}(\tilde{u},\tilde{v}) S:r(u,v),S~:r~(u~,v~),设 σ : D → D ~ \sigma:D\to\tilde{D} σ:D→D~使得 σ ( u , v ) = ( u ~ , v ~ ) \sigma(u,v)=(\tilde{u},\tilde{v}) σ(u,v)=(u~,v~)是光滑双射。
则 σ \sigma σ是共形变换 ⇔ ∀ v , w ∈ T P S \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{v},w\in T_{\boldsymbol{P}}S ⇔∀v,w∈TPS,
⟨ v , w ⟩ ∣ v ∣ ∣ w ∣ = ⟨ σ ∗ ( v ) , σ ∗ ( w ) ⟩ ∣ σ ∗ ( v ) ∣ ∣ σ ∗ ( w ) ∣ \frac{\langle v,w\rangle}{|v||w|}=\frac{\langle\sigma_*(v),\sigma_*(w)\rangle}{|\sigma_*(v)||\sigma_*(w)|} ∣v∣∣w∣⟨v,w⟩=∣σ∗(v)∣∣σ∗(w)∣⟨σ∗(v),σ∗(w)⟩