主曲率为常数时曲面分类
主曲率为常数 ⇔ K , H \Leftrightarrow K,H ⇔K,H 为常数，曲面分类：
1.若
k
1
=
k
2
=
0
k_1=k_2=0
k1=k2=0,则
S
S
S为全脐点曲面——平面的一部分；
2.若
k
1
=
k
2
≠
0
k_1=k_2\neq0
k1=k2=0,则
S
S
S为全脐点曲面——球面的一部分；
3.若
k
1
≠
k
2
k_1\neq k_2
k1=k2,则
S
S
S为圆柱面的一部分。
考虑 k 1 ≠ k 2 k_1\neq k_2 k1=k2的情况,则在此非脐点附近取正交活动标架 { e 1 , e 2 } \{e_1,e_2\} {e1,e2}为主方向，
则
w 13 = k 1 e 1 , w 23 = k 2 e 2 w_{13}=k_1e_1,w_{23}=k_2e_2 w13=k1e1,w23=k2e2。
利用结构方程容易计算得到
( k 1 − k 2 ) w 12 ∧ w 2 = 0 (k_1-k_2)w_{12}\wedge w_2=0 (k1−k2)w12∧w2=0,
从而 w 12 ∧ w 2 = 0 w_{12}\wedge w_2=0 w12∧w2=0。
同理 w 12 ∧ w 1 = 0 w_{12}\wedge w_1=0 w12∧w1=0,
从而 w 12 = 0 w_{12}=0 w12=0,
从而 K = 0 K=0 K=0 且 w 1 , w 2 w_1,w_2 w1,w2 是常微分形式。
不妨设 k 1 ≠ 0 , k 2 = 0 k_1\neq0,k_2=0 k1=0,k2=0,则 w 23 = 0 w_{23}=0 w23=0。
可以看到标架运动方程化为
{ d e 1 = k 1 w 1 e 3 d e 2 = 0 d e 3 = − k 1 w 1 e 1 \left\{\begin{array}{ll}de_1&=k_1w_1e_3\\de_2&=0\\de_3&=-k_1w_1e_1\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧de1de2de3=k1w1e3=0=−k1w1e1