高中数学刷题版：函数奇偶性[干货]

一、奇偶性定义

1、定义域都是关于原点对称。
2、解析式关系
奇函数：$f(x)=-f(-x)$;偶函数：$f(x)=f(-x)$
3、图像特点
奇函数：关于原点中心对称；偶函数：关于y轴对称。

补充：如果奇函数在原点有定义，即奇函数的定义域包含0，则$f(0)=0$

例题

1、先求定义域，看看定义域是否关于原点对称，可以解得定义域为{-1,1}。
2、在根据定义验证，即$f(x)与f(-x)$的关系。

二、运算性质

1、两个函数的和差积商

2、复合函数

口诀：内偶外偶合为偶，内奇外奇合为奇，内奇外偶合为偶，内偶外奇合为偶。

3、画草图

一般我们只要知道奇偶性和增减性就可以画出函数草图。

4、对称中心与对称轴

下面式子的特点是，两个f中的值之和，可以消除x。

三、奇偶性判断

1、定义法。
2、验证法。
$f(x)\pm f(-x)=0$
3、图像法。
4、运算性质法。

例题

例题1

解析：直接利用定义法求参数值即可。
4、$f(x)\ne -f(-x)$且$f(x)\ne f(-x)$，前者证明非奇，后者证明非偶。

四、根据奇偶性求解析式

例题

解析：给出的是x>0的解析式，所以，我们要设x<0，那么，-x>0，代入后，根据奇偶性求解。

五、单调性与奇偶性的综合应用

例题

例题1

解析：根据图像的左加右减性质，可知，fx的对称轴是x=8，在根据单调性，可知，函数有最大值。
于是，类比开口朝下的二次函数，离对称轴越近值越大。

例题2

解析：可知，对称轴是x=0，根据增减性知道有最小值。
类比二次函数图像性质，距离对称轴越近值越小。
于是得：$|a-2|<|4-a^2|$
那么，这个方程式怎么解答？直接，两边平方
解得：$(a+1{)}^2>1,且a\ne 2，最终：a\ne 2且a<-3且a>-1$
另外，根据定义域在得出两个方程。
$|a-2|<1$，$|4-a^2|<1$

例题3

解析，前面2小问比较简单
第三问，先求出fx的最大值，然后得出：$m^2-2am+1>f_{max}$
在用分离常数法，对m分三类情况讨论：m=0,m>0,m<0。(同类取交集，分类取并集)
对结果求并集即可。

例题4

解析：本题是较难的。
思路：
1、先去绝对值，得出x≥0区域的解析式。
2、结合奇偶性，单调性，画出草图，得出区间上的最值。
3、正确理解$f(x-1)\le f(x)$的含义，这一步是最难的。
$$x\ge 0，f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& 0\le x\le a^2\\ -a^2& a^2<x\le 2a^2\\ x-3a^2& x>2a^2\end{array}$$
画图

第3步，理解$f(x-1)\le f(x)$，就是将R划分为(-∞，x)，(x,+∞)
求出(-∞，x)中的最大值max，(x,+∞)区间上的最小值min，且min＞max
那么，这个x怎么确定？
从图中我们可以看出，$x\le 2a^2$时，区间上的最大值为$a^2$，此时，$x=-2a^2$
而$x>2a^2$区间是单调增的，则，找出$y=a^2$时的x即可。此时，$x=4a^2$
在根据$f(x-1)\le f(x)$，得$4a^2-(-2a^2)\le 1$

例题5

解析：本题和例题2是一个类型的。

例题6
抽象函数类型

例题7

解析：本题类型和例题4相同。