数学建模两篇小文

1.雪球的融化

设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，并且在融化过程中它始终为球体。该雪球在开始时的半径为6cm，经过2h后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。

解       ~~~~~      设$t$时刻雪球的体积为$V(t)$，其表面积为$S(t)$，由题设得
$$\frac{dV}{dt}=-r{V}^{\frac{2}{3}},V(0)=288\pi ,V(2)=36\pi$$
分离变量积分得方程的通解为
$$V(t)=\frac{1}{27}(C-rt{)}^3$$
利用条件$V(0)=288\pi$和$V(2)=36\pi$确定出常数$C$和$r$，代入后得雪球的体积随时间变化关系为
$$V(t)=\frac{\pi }{6}(12-3t{)}^3$$
注意，尽管解的表达式中$t$的取值可以是任意实数，但由于实际问题的要求，$t$的取值是在$[0,4]$内。

2.化学反应问题

设有两种化学物质$A$和$B$，它们反应后生成另一种物质$C$。设反应速度与物质$A$和$B$当时剩余量之积成正比，而且在反应过程中，每克物质$B$需要2g物质$A$与之反应而生成物质$C$。已知原有的$A,B$物质分别是10g和20g，而且在20min内反应生成的物质$C$为6g，求在任意时刻物质$C$的质量。

解       ~~~~~      设$x(t)$表示$t$时刻所生成的物质$C$的总量，则$\frac{dx}{dt}$$为反应速度。由题意知生成xg的物质$C$需要$\frac{2}{3}x$g的物质$A$和$\frac{1}{3}x$g的物质$B$。此时物质$A$和$B$分别剩余$10-\frac{2}{3}x$和$20-\frac{1}{3}x$，于是由题意得
$$\frac{dx}{dt}=k(10-\frac{2}{3}x)(20-\frac{1}{3}x),$$
$$x(0)=0,x(20)=6.$$
为了方便，令$r=\frac{2}{9}k$，将此微分方程改写为
$$\frac{dx}{dt}=r(15-x)(60-x)$$
分离上式变量，积分得
$$\int \frac{dx}{(15-x)(60-x)}=\int rdt+c$$
$$\frac{1}{45}\ln \frac{60-x}{15-x}=rt+c$$
$$\frac{60-x}{15-x}=c_1{e}^{45rt},c_1=e^{45c}.$$
利用初始条件$x(0)=0$得$c_1=4$，再利用$x(20)=6$得$r=\frac{1}{900}\ln \frac{3}{2}$。将$c_1$和$r$的值代入上式，解出$x$得
$$x(t)=\frac{60(1-e^{\frac{t}{20}\ln \frac{3}{2}})}{1-4e^{\frac{t}{20}\ln \frac{3}{2}}}$$
这就是在此化学反应过程中生成物$C$的质量随时间变化的规律。

由此表达式可以看出$\underset{t\to +\infty }{\lim }x(t)=15$。