数据结构与算法之动态规划: LeetCode 62. 不同路径 (Ts版)

不同路径

• https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/

描述

• 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）
• 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）
• 问总共有多少条不同的路径？

示例 1

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2

输入：m = 3, n = 2
输出：3

解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * $10^9$

Typescript 版算法实现

1 ) 方案1: 排列组合

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    // 计算组合数 C(m+n-2, m-1) 或 C(m+n-2, n-1)
    // 选择较小的那个计算以减少循环次数
    const k = Math.min(m - 1, n - 1);
    let result = 1;

    for (let i = 1; i <= k; i++) {
        result *= (m + n - 1 - i);
        result = Math.floor(result / i); // 确保每一步都是整数除法
    }

    return result;
}

2 ）方案2: 组合优化版

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    let ans = 1;
    for (let x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
        ans = Math.floor(ans * x / y);
    }
    return ans;
};

3 ) 方案3: 动态规划

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        f[i][0] = 1;
    }
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        f[0][j] = 1;
    }
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
        }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
}

4 ) 方案4: 动态规划优化版

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
    const f = new Array(n).fill(1)
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            f[j] += f[j-1]
        }
    }
    return f[n - 1];
};