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【漫话机器学习系列】029.累积分布函数（Cumulative Distribution Function）

article 2025/1/5 6:33:56

累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）

累积分布函数（CDF）是概率论和统计学中的一个基本概念，用于描述随机变量取值的累积概率分布情况。它在理论研究和实际应用中广泛使用。

定义

给定随机变量 X，其累积分布函数 F(x) 定义为：

$F(x) = P(X \leq x)$

说明

F(x)：表示随机变量 X 的值小于或等于某个值 x 的概率。
P：表示概率。

性质

单调不减性： $F(x_1) \leq F(x_2)$ ，当 $x_1 < x_2$ 时。
取值范围： $0 \leq F(x) \leq 1$ 。
极限性质：
- $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$
- $F(x)=1\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
连续性：对于连续型随机变量，F(x) 是连续函数；对于离散型随机变量，F(x) 是阶梯函数。

类型

连续型随机变量：
$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$
其中，f(x) 是概率密度函数（PDF）。
离散型随机变量：
$F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$
其中， $P(X = x_i)$ 是随机变量在离散点 $x_i$ 的概率。

图示

累积分布函数通常表现为一个逐步上升或连续上升的曲线，随着 x 的增加，曲线趋向于 1。

离散型随机变量：阶梯状。
连续型随机变量：平滑曲线。

示例

1. 离散型随机变量

假设 X 为投掷一个骰子的点数，其可能值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个值的概率为 $\frac{1}{6}$ 。累积分布函数为：

$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{6} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{2}{6} & 2 \leq x < 3 \\ \frac{3}{6} & 3 \leq x < 4 \\ \frac{4}{6} & 4 \leq x < 5 \\ \frac{5}{6} & 5 \leq x < 6 \\ 1 & x \geq 6 \end{cases}$

2. 连续型随机变量

假设 X 服从标准正态分布，其概率密度函数为：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

其累积分布函数为：

$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$

由于无法用初等函数表示，通常使用数值积分或标准正态分布表计算。

Python 实现

1. 连续型随机变量

使用 SciPy 计算正态分布的累积分布函数：

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义随机变量
x = np.linspace(-4, 4, 1000)
# 标准正态分布的CDF
cdf = norm.cdf(x)

# 绘图
plt.plot(x, cdf, label='CDF of Standard Normal Distribution')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.title('Cumulative Distribution Function')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

运行结果

plt.legend() plt.show()

2. 离散型随机变量

计算骰子点数的累积分布函数：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设 x 是 [1, 2, 3, 4, 5, 6]
x = np.arange(1, 7)
cdf = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6])  # 示例 CDF 数据

# 调整 y 的长度以匹配 x
y_adjusted = np.concatenate(([0], cdf))[:-1]

plt.step(x, y_adjusted, where='post', label='CDF of Dice')
plt.legend()
plt.show()

运行结果