[算法学习笔记] 《Hello算法》第5章 栈与队列

前言

本系列为《Hello算法》学习笔记，仅供学习，不做商用，如有侵权，联系我删除即可！

栈如同叠猫猫，而队列就像猫猫排队。

两者分别代表先入后出和先入先出的逻辑关系。

5.1   栈

栈（stack）是一种遵循先入后出逻辑的线性数据结构。

我们可以将栈类比为桌面上的一摞盘子，如果想取出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次移走。我们将盘子替换为各种类型的元素（如整数、字符、对象等），就得到了栈这种数据结构。

如下图所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫作“入栈”，删除栈顶元素的操作叫作“出栈”。

5.1.1   栈的常用操作

栈的常用操作如下表所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 push()、pop()、peek() 命名为例。

通常情况下，我们可以直接使用编程语言内置的栈类。然而，某些语言可能没有专门提供栈类，这时我们可以将该语言的“数组”或“链表”当作栈来使用，并在程序逻辑上忽略与栈无关的操作。

# 初始化栈
# Python 没有内置的栈类，可以把 list 当作栈来使用
stack: list[int] = []

# 元素入栈
stack.append(1)
stack.append(3)
stack.append(2)
stack.append(5)
stack.append(4)

# 访问栈顶元素
peek: int = stack[-1]

# 元素出栈
pop: int = stack.pop()

# 获取栈的长度
size: int = len(stack)

# 判断是否为空
is_empty: bool = len(stack) == 0

5.1.2   栈的实现

为了深入了解栈的运行机制，我们来尝试自己实现一个栈类。

栈遵循先入后出的原则，因此我们只能在栈顶添加或删除元素。然而，数组和链表都可以在任意位置添加和删除元素，因此栈可以视为一种受限制的数组或链表。换句话说，我们可以“屏蔽”数组或链表的部分无关操作，使其对外表现的逻辑符合栈的特性。

1.   基于链表的实现

使用链表实现栈时，我们可以将链表的头节点视为栈顶，尾节点视为栈底。

如下图所示，对于入栈操作，我们只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为“头插法”。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。

以下是基于链表实现栈的示例代码：

class LinkedListStack:
    """基于链表实现的栈"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self._peek: ListNode | None = None
        self._size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """获取栈的长度"""
        return self._size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断栈是否为空"""
        return self._size == 0

    def push(self, val: int):
        """入栈"""
        node = ListNode(val)
        node.next = self._peek
        self._peek = node
        self._size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出栈"""
        num = self.peek()
        self._peek = self._peek.next
        self._size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问栈顶元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("栈为空")
        return self._peek.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """转化为列表用于打印"""
        arr = []
        node = self._peek
        while node:
            arr.append(node.val)
            node = node.next
        arr.reverse()
        return arr

2.   基于数组的实现

使用数组实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。如下图所示，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 O(1) 。

由于入栈的元素可能会源源不断地增加，因此我们可以使用动态数组，这样就无须自行处理数组扩容问题。以下为示例代码：

class ArrayStack:
    """基于数组实现的栈"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self._stack: list[int] = []

    def size(self) -> int:
        """获取栈的长度"""
        return len(self._stack)

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断栈是否为空"""
        return self.size() == 0

    def push(self, item: int):
        """入栈"""
        self._stack.append(item)

    def pop(self) -> int:
        """出栈"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("栈为空")
        return self._stack.pop()

    def peek(self) -> int:
        """访问栈顶元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("栈为空")
        return self._stack[-1]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """返回列表用于打印"""
        return self._stack

5.1.3   两种实现对比

支持操作

两种实现都支持栈定义中的各项操作。数组实现额外支持随机访问，但这已超出了栈的定义范畴，因此一般不会用到。

时间效率

在基于数组的实现中，入栈和出栈操作都在预先分配好的连续内存中进行，具有很好的缓存本地性，因此效率较高。然而，如果入栈时超出数组容量，会触发扩容机制，导致该次入栈操作的时间复杂度变为 O(n) 。

在基于链表的实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。

综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 int 或 double ，我们可以得出以下结论。

• 基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。
• 基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。

空间效率

在初始化列表时，系统会为列表分配“初始容量”，该容量可能超出实际需求；并且，扩容机制通常是按照特定倍率（例如 2 倍）进行扩容的，扩容后的容量也可能超出实际需求。因此，基于数组实现的栈可能造成一定的空间浪费。

然而，由于链表节点需要额外存储指针，因此链表节点占用的空间相对较大。

综上，我们不能简单地确定哪种实现更加节省内存，需要针对具体情况进行分析。

5.1.4   栈的典型应用

• 浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销。每当我们打开新的网页，浏览器就会对上一个网页执行入栈，这样我们就可以通过后退操作回到上一个网页。后退操作实际上是在执行出栈。如果要同时支持后退和前进，那么需要两个栈来配合实现。
• 程序内存管理。每次调用函数时，系统都会在栈顶添加一个栈帧，用于记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推阶段会不断执行入栈操作，而向上回溯阶段则会不断执行出栈操作。

5.2   队列

队列（queue）是一种遵循先入先出规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟了排队现象，即新来的人不断加入队列尾部，而位于队列头部的人逐个离开。

如下图所示，我们将队列头部称为“队首”，尾部称为“队尾”，将把元素加入队尾的操作称为“入队”，删除队首元素的操作称为“出队”。

5.2.1   队列常用操作

队列的常见操作如下表所示。需要注意的是，不同编程语言的方法名称可能会有所不同。我们在此采用与栈相同的方法命名。

我们可以直接使用编程语言中现成的队列类：

from collections import deque

# 初始化队列
# 在 Python 中，我们一般将双向队列类 deque 当作队列使用
# 虽然 queue.Queue() 是纯正的队列类，但不太好用，因此不推荐
que: deque[int] = deque()

# 元素入队
que.append(1)
que.append(3)
que.append(2)
que.append(5)
que.append(4)

# 访问队首元素
front: int = que[0]

# 元素出队
pop: int = que.popleft()

# 获取队列的长度
size: int = len(que)

# 判断队列是否为空
is_empty: bool = len(que) == 0

5.2.2   队列实现

为了实现队列，我们需要一种数据结构，可以在一端添加元素，并在另一端删除元素，链表和数组都符合要求。

1.   基于链表的实现

如下图所示，我们可以将链表的“头节点”和“尾节点”分别视为“队首”和“队尾”，规定队尾仅可添加节点，队首仅可删除节点。

以下是用链表实现队列的代码：

class LinkedListQueue:
    """基于链表实现的队列"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self._front: ListNode | None = None  # 头节点 front
        self._rear: ListNode | None = None  # 尾节点 rear
        self._size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self._size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return self._size == 0

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        # 在尾节点后添加 num
        node = ListNode(num)
        # 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if self._front is None:
            self._front = node
            self._rear = node
        # 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else:
            self._rear.next = node
            self._rear = node
        self._size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num = self.peek()
        # 删除头节点
        self._front = self._front.next
        self._size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("队列为空")
        return self._front.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """转化为列表用于打印"""
        queue = []
        temp = self._front
        while temp:
            queue.append(temp.val)
            temp = temp.next
        return queue

2.   基于数组的实现

在数组中删除首元素的时间复杂度为 O(n) ，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。

我们可以使用一个变量 front 指向队首元素的索引，并维护一个变量 size 用于记录队列长度。定义 rear = front + size ，这个公式计算出的 rear 指向队尾元素之后的下一个位置。

基于此设计，数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1]，各种操作的实现方法如下图所示。

• 入队操作：将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 size 增加 1 。
• 出队操作：只需将 front 增加 1 ，并将 size 减少 1 。

可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 O(1) 。

在不断进行入队和出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，当它们到达数组尾部时就无法继续移动了。为了解决此问题，我们可以将数组视为首尾相接的“环形数组”。

对于环形数组，我们需要让 front 或 rear 在越过数组尾部时，直接回到数组头部继续遍历。这种周期性规律可以通过“取余操作”来实现，代码如下所示：

class ArrayQueue:
    """基于环形数组实现的队列"""

    def __init__(self, size: int):
        """构造方法"""
        self._nums: list[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
        self._front: int = 0  # 队首指针，指向队首元素
        self._size: int = 0  # 队列长度

    def capacity(self) -> int:
        """获取队列的容量"""
        return len(self._nums)

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self._size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return self._size == 0

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        if self._size == self.capacity():
            raise IndexError("队列已满")
        # 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        # 通过取余操作实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        rear: int = (self._front + self._size) % self.capacity()
        # 将 num 添加至队尾
        self._nums[rear] = num
        self._size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num: int = self.peek()
        # 队首指针向后移动一位，若越过尾部，则返回到数组头部
        self._front = (self._front + 1) % self.capacity()
        self._size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("队列为空")
        return self._nums[self._front]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """返回列表用于打印"""
        res = [0] * self.size()
        j: int = self._front
        for i in range(self.size()):
            res[i] = self._nums[(j % self.capacity())]
            j += 1
        return res

以上实现的队列仍然具有局限性：其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。

5.2.3   队列典型应用

• 淘宝订单。购物者下单后，订单将加入队列中，系统随后会根据顺序处理队列中的订单。在双十一期间，短时间内会产生海量订单，高并发成为工程师们需要重点攻克的问题。
• 各类待办事项。任何需要实现“先来后到”功能的场景，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等，队列在这些场景中可以有效地维护处理顺序。

5.3   双向队列

在队列中，我们仅能删除头部元素或在尾部添加元素。如下图所示，双向队列（double-ended queue）提供了更高的灵活性，允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作。

5.3.1   双向队列常用操作

双向队列的常用操作如下表所示，具体的方法名称需要根据所使用的编程语言来确定

可以直接使用编程语言中已实现的双向队列类：

from collections import deque

# 初始化双向队列
deq: deque[int] = deque()

# 元素入队
deq.append(2)      # 添加至队尾
deq.append(5)
deq.append(4)
deq.appendleft(3)  # 添加至队首
deq.appendleft(1)

# 访问元素
front: int = deq[0]  # 队首元素
rear: int = deq[-1]  # 队尾元素

# 元素出队
pop_front: int = deq.popleft()  # 队首元素出队
pop_rear: int = deq.pop()       # 队尾元素出队

# 获取双向队列的长度
size: int = len(deq)

# 判断双向队列是否为空
is_empty: bool = len(deq) == 0

5.3.2   双向队列实现 *

双向队列的实现与队列类似，可以选择链表或数组作为底层数据结构。

1.   基于双向链表的实现

上一节使用普通单向链表来实现队列，因为它可以方便地删除头节点（对应出队操作）和在尾节点后添加新节点（对应入队操作）。

对于双向队列而言，头部和尾部都可以执行入队和出队操作。换句话说，双向队列需要实现另一个对称方向的操作。为此，我们采用“双向链表”作为双向队列的底层数据结构。

如下图所示，我们将双向链表的头节点和尾节点视为双向队列的队首和队尾，同时实现在两端添加和删除节点的功能。

class ListNode:
    """双向链表节点"""

    def __init__(self, val: int):
        """构造方法"""
        self.val: int = val
        self.next: ListNode | None = None  # 后继节点引用
        self.prev: ListNode | None = None  # 前驱节点引用

class LinkedListDeque:
    """基于双向链表实现的双向队列"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self._front: ListNode | None = None  # 头节点 front
        self._rear: ListNode | None = None  # 尾节点 rear
        self._size: int = 0  # 双向队列的长度

    def size(self) -> int:
        """获取双向队列的长度"""
        return self._size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断双向队列是否为空"""
        return self._size == 0

    def push(self, num: int, is_front: bool):
        """入队操作"""
        node = ListNode(num)
        # 若链表为空，则令 front 和 rear 都指向 node
        if self.is_empty():
            self._front = self._rear = node
        # 队首入队操作
        elif is_front:
            # 将 node 添加至链表头部
            self._front.prev = node
            node.next = self._front
            self._front = node  # 更新头节点
        # 队尾入队操作
        else:
            # 将 node 添加至链表尾部
            self._rear.next = node
            node.prev = self._rear
            self._rear = node  # 更新尾节点
        self._size += 1  # 更新队列长度

    def push_first(self, num: int):
        """队首入队"""
        self.push(num, True)

    def push_last(self, num: int):
        """队尾入队"""
        self.push(num, False)

    def pop(self, is_front: bool) -> int:
        """出队操作"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        # 队首出队操作
        if is_front:
            val: int = self._front.val  # 暂存头节点值
            # 删除头节点
            fnext: ListNode | None = self._front.next
            if fnext != None:
                fnext.prev = None
                self._front.next = None
            self._front = fnext  # 更新头节点
        # 队尾出队操作
        else:
            val: int = self._rear.val  # 暂存尾节点值
            # 删除尾节点
            rprev: ListNode | None = self._rear.prev
            if rprev != None:
                rprev.next = None
                self._rear.prev = None
            self._rear = rprev  # 更新尾节点
        self._size -= 1  # 更新队列长度
        return val

    def pop_first(self) -> int:
        """队首出队"""
        return self.pop(True)

    def pop_last(self) -> int:
        """队尾出队"""
        return self.pop(False)

    def peek_first(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        return self._front.val

    def peek_last(self) -> int:
        """访问队尾元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        return self._rear.val

    def to_array(self) -> list[int]:
        """返回数组用于打印"""
        node = self._front
        res = [0] * self.size()
        for i in range(self.size()):
            res[i] = node.val
            node = node.next
        return res

2.   基于数组的实现

如下图所示，与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。

在队列的实现基础上，仅需增加“队首入队”和“队尾出队”的方法：

class ArrayDeque:
    """基于环形数组实现的双向队列"""

    def __init__(self, capacity: int):
        """构造方法"""
        self._nums: list[int] = [0] * capacity
        self._front: int = 0
        self._size: int = 0

    def capacity(self) -> int:
        """获取双向队列的容量"""
        return len(self._nums)

    def size(self) -> int:
        """获取双向队列的长度"""
        return self._size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断双向队列是否为空"""
        return self._size == 0

    def index(self, i: int) -> int:
        """计算环形数组索引"""
        # 通过取余操作实现数组首尾相连
        # 当 i 越过数组尾部后，回到头部
        # 当 i 越过数组头部后，回到尾部
        return (i + self.capacity()) % self.capacity()

    def push_first(self, num: int):
        """队首入队"""
        if self._size == self.capacity():
            print("双向队列已满")
            return
        # 队首指针向左移动一位
        # 通过取余操作实现 front 越过数组头部后回到尾部
        self._front = self.index(self._front - 1)
        # 将 num 添加至队首
        self._nums[self._front] = num
        self._size += 1

    def push_last(self, num: int):
        """队尾入队"""
        if self._size == self.capacity():
            print("双向队列已满")
            return
        # 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        rear = self.index(self._front + self._size)
        # 将 num 添加至队尾
        self._nums[rear] = num
        self._size += 1

    def pop_first(self) -> int:
        """队首出队"""
        num = self.peek_first()
        # 队首指针向后移动一位
        self._front = self.index(self._front + 1)
        self._size -= 1
        return num

    def pop_last(self) -> int:
        """队尾出队"""
        num = self.peek_last()
        self._size -= 1
        return num

    def peek_first(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        return self._nums[self._front]

    def peek_last(self) -> int:
        """访问队尾元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("双向队列为空")
        # 计算尾元素索引
        last = self.index(self._front + self._size - 1)
        return self._nums[last]

    def to_array(self) -> list[int]:
        """返回数组用于打印"""
        # 仅转换有效长度范围内的列表元素
        res = []
        for i in range(self._size):
            res.append(self._nums[self.index(self._front + i)])
        return res

5.3.3   双向队列应用

双向队列兼具栈与队列的逻辑，因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度。

我们知道，软件的“撤销”功能通常使用栈来实现：系统将每次更改操作 push 到栈中，然后通过 pop 实现撤销。然而，考虑到系统资源的限制，软件通常会限制撤销的步数（例如仅允许保存 50 步）。当栈的长度超过 50 时，软件需要在栈底（队首）执行删除操作。但栈无法实现该功能，此时就需要使用双向队列来替代栈。请注意，“撤销”的核心逻辑仍然遵循栈的先入后出原则，只是双向队列能够更加灵活地实现一些额外逻辑。

5.4   小结

1.   重点回顾

• 栈是一种遵循先入后出原则的数据结构，可通过数组或链表来实现。
• 在时间效率方面，栈的数组实现具有较高的平均效率，但在扩容过程中，单次入栈操作的时间复杂度会劣化至 O(n) 。相比之下，栈的链表实现具有更为稳定的效率表现。
• 在空间效率方面，栈的数组实现可能导致一定程度的空间浪费。但需要注意的是，链表节点所占用的内存空间比数组元素更大。
• 队列是一种遵循先入先出原则的数据结构，同样可以通过数组或链表来实现。在时间效率和空间效率的对比上，队列的结论与前述栈的结论相似。
• 双向队列是一种具有更高自由度的队列，它允许在两端进行元素的添加和删除操作。

2.   Q & A

Q：浏览器的前进后退是否是双向链表实现？

浏览器的前进后退功能本质上是“栈”的体现。当用户访问一个新页面时，该页面会被添加到栈顶；当用户点击后退按钮时，该页面会从栈顶弹出。使用双向队列可以方便地实现一些额外操作，这个在“双向队列”章节有提到。

Q：在出栈后，是否需要释放出栈节点的内存？

如果后续仍需要使用弹出节点，则不需要释放内存。若之后不需要用到，Java 和 Python 等语言拥有自动垃圾回收机制，因此不需要手动释放内存；在 C 和 C++ 中需要手动释放内存。

Q：双向队列像是两个栈拼接在了一起，它的用途是什么？

双向队列就像是栈和队列的组合或两个栈拼在了一起。它表现的是栈 + 队列的逻辑，因此可以实现栈与队列的所有应用，并且更加灵活。

Q：撤销（undo）和反撤销（redo）具体是如何实现的？

使用两个栈，栈 A 用于撤销，栈 B 用于反撤销。

1. 每当用户执行一个操作，将这个操作压入栈 A ，并清空栈 B 。
2. 当用户执行“撤销”时，从栈 A 中弹出最近的操作，并将其压入栈 B 。
3. 当用户执行“反撤销”时，从栈 B 中弹出最近的操作，并将其压入栈 A 。

Reference

第 5 章   栈与队列 - Hello 算法