小波滤波器处理一维信号-附Matlab源代码
⭕⭕ 目 录 ⭕⭕
- 一、引言
- 二、多分辨率分析原理
- 2.1 概念解析
- 2.2 尺度函数和小波函数的关系
- 2.3 滤波器本质
- 2.4 二维正交多分辨率分析
- 三、一维信号小波滤波器处理实例
- 四、Matlab程序获取与验证
一、引言
Fourier变换无法同时描述和定位信号在时间和频率上的突变部分。小波变换的优势是同时能够进行时频分析，被誉为“数学显微镜”。
一般，构造小波的方法有两种，一种是直接找小波母函数，这比较困难；另一种是利用空间分解理论，在子空间中寻找基底，进而构造出小波基。而后者正是构造小波的理论框架，多分辨率分析的方法，这也是小波分析理论的核心内容。
二、多分辨率分析原理
2.1 概念解析
S.Mallat 和 Y. Meyer 于 1989 年提出了多分辨率分析（Multiresolution Analysis，MRA），建立了构造小波的理论框架。
设函数 ψ ( t ) ∈ L 2 ( R ) \psi(t) \in L^2(R) ψ(t)∈L2(R), 称 { ψ j , k ( t ) } j , k ∈ Z \left\{\psi_{j, k}(t)\right\}_{j, k \in \mathbf{Z}} {ψj,k(t)}j,k∈Z 是 L 2 ( R ) L^2(R) L2(R) 的一个 Riesz 基, 如果它是线性无关的, 且存在常数 A A A 与 B B B, 满足 0 < A ⩽ B < ∞ 0<A \leqslant B<\infty 0<A⩽B<∞, 使得对任意的 f ( t ) ∈ L 2 ( R ) f(t) \in L^2(R) f(t)∈L2(R), 则总存在序列 { c j , k } j , k ∈ Z ∈ l 2 ( Z 2 ) \left\{c_{j, k}\right\}_{j, k \in \mathbf{Z}} \in l^2\left(\mathbf{Z}^2\right) {cj,k}j,k∈Z∈l2(Z2) 满足 f ( t ) = ∑ j = − ∞ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ c j , k ψ j , k ( t ) f(t)=\sum_{j=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{j, k} \psi_{j, k}(t) f(t)=j=−∞∑∞k=−∞∑∞cj,kψj,k(t)且 A ∥ f ∥ 2 2 ⩽ ∑ ∞ ∑ ∞ ∣ c j , k ∣ 2 ⩽ B ∥ f ∥ 2 2 A\|f\|_2^2 \leqslant \sum^{\infty} \sum^{\infty}\left|c_{j, k}\right|^2 \leqslant B\|f\|_2^2 A∥f∥22⩽∑∞∑∞∣cj,k∣2⩽B∥f∥22 。
L 2 ( R ) L^2(R) L2(R) 中的闭子空间序列 { V j } j ∈ Z \left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}} {Vj}j∈Z 如果满足以下条件:
(1） ⋯ ⊂ V 1 ⊂ V 0 ⊂ V − 1 ⋯ \cdots \subset V_1 \subset V_0 \subset V_{-1} \cdots ⋯⊂V1⊂V0⊂V−1⋯ (单调性)；
(2) ⋂ j ∈ Z V j = { 0 } , lim j → ∞ V j = ⋃ j ∈ Z V j = L 2 ( R ) \bigcap_{j \in \mathbf{Z}} V_j=\{0\}, \lim _{j \rightarrow \infty} V_j=\bigcup_{j \in \mathbf{Z}} V_j=L^2(R) ⋂j∈ZVj={0},limj→∞Vj=⋃j∈ZVj=L2(R) (逼近性);
(3) f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( 2 t ) ∈ V j − 1 , ∀ j ∈ Z f(t) \in V_j \Leftrightarrow f(2 t) \in V_{j-1}, \forall j \in \mathbf{Z} f(t)∈Vj⇔f(2t)∈Vj−1,∀j∈Z (伸缩性);
(4) f ( t ) ∈ V 0 ⇒ f ( t − k ) ∈ V 0 , ∀ k ∈ Z f(t) \in V_0 \Rightarrow f(t-k) \in V_0, \forall k \in \mathbf{Z} f(t)∈V0⇒f(t−k)∈V0,∀k∈Z (平移不变性);
(5）存在函数 φ ( t ) ∈ V 0 \varphi(t) \in V_0 φ(t)∈V0 ，使得 { φ ( t − k ) } k ∈ z \{\varphi(t-k)\}_{k \in \mathbf{z}} {φ(t−k)}k∈z 构成 V 0 V_0 V0 的 Riesz 基，
则称 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 为多分辨率分析的尺度函数或父函数, 称 { V j } j ∈ Z \left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}} {Vj}j∈Z 为一个多分辨分析, 简称 { V j } j ∈ Z \left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}} {Vj}j∈Z 为一个 MRA。特别地，若 { φ ( t − k ) } k ∈ Z \{\varphi(t-k)\}_{k \in \mathbf{Z}} {φ(t−k)}k∈Z 构成 V 0 V_0 V0 的标准正交基，则称 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 为正交尺度函数。相应地, 此时的 { V j } j ∈ Z \left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}} {Vj}j∈Z 称为正交的多分辨率分析。
重点研究正交的多分辨率分析。从上面的定义, 不难发现:
(1) { φ j , k : = 2 − j 2 φ ( 2 − j t − k ) } k ∈ Z \left\{\varphi_{j, k}:=2^{-\frac{j}{2}} \varphi\left(2^{-j} t-k\right)\right\}_{k \in \mathbf{Z}} {φj,k:=2−2jφ(2−jt−k)}k∈Z 是 V j V_j Vj 的标准正交基，可由伸缩性和性质5证明。
(2)
∀
f
∈
L
2
(
R
)
\forall f \in L^2(R)
∀f∈L2(R), 在
V
j
V_j
Vj 中的投影
f
V
j
f_{V_j}
fVj 可以表示为
f
V
j
=
∑
k
∈
Z
⟨
f
,
φ
j
,
k
⟩
φ
j
,
k
f_{V_j}=\sum_{k \in \mathbf{Z}}\left\langle f, \varphi_{j, k}\right\rangle \varphi_{j, k}
fVj=k∈Z∑⟨f,φj,k⟩φj,k
而由逼近性知， lim j → − ∞ ∥ f − f V j ∥ = 0 \lim _{j \rightarrow-\infty}\left\|f-f_{V_j}\right\|=0 limj→−∞ f−fVj =0 ，当 2 − j → + ∞ 2^{-j} \rightarrow+\infty 2−j→+∞ 时， f V j → f f_{V_j} \rightarrow f fVj→f 。
(3) φ \varphi φ 对 MRA 的构造很关键。
由
{
V
j
}
\left\{V_j\right\}
{Vj} 生成其正交补空间
{
W
j
}
\left\{W_j\right\}
{Wj} 以及它和
L
2
(
R
)
L^2(R)
L2(R) 的关系。
V
j
+
1
⊕
W
j
+
1
=
V
j
,
∀
j
∈
Z
V_{j+1} \oplus W_{j+1}=V_j, \quad \forall j \in \mathbf{Z}
Vj+1⊕Wj+1=Vj,∀j∈Z
其中 ⊕ \oplus ⊕ 的意义: V j = V j + 1 ∪ W j + 1 V_j=V_{j+1} \cup W_{j+1} Vj=Vj+1∪Wj+1, 且 V j + 1 ⊥ W j + 1 , ∀ j V_{j+1} \perp W_{j+1}, \forall j Vj+1⊥Wj+1,∀j, 如此定义了小波空间 { W j } k ∈ z \left\{W_j\right\}_{k \in \mathbf{z}} {Wj}k∈z, 它使得 L 2 ( R ) = ⊕ j = − ∞ + ∞ W j L^2(R)=\oplus_{j=-\infty}^{+\infty} W_j L2(R)=⊕j=−∞+∞Wj 。这给出了 L 2 ( R ) L^2(R) L2(R) 的空间分解形式。
如果存在 ψ ( t ) ∈ W 0 \psi(t) \in W_0 ψ(t)∈W0, 使得 { ψ ( t − k ) } k ∈ Z \{\psi(t-k)\}_{k \in \mathbf{Z}} {ψ(t−k)}k∈Z 构成 W 0 W_0 W0 的标准正交基, 则 { ψ j , k } k ∈ Z \left\{\psi_{j, k}\right\}_{k \in \mathbf{Z}} {ψj,k}k∈Z 也构成 W j W_j Wj的标准正交基, 这是因为 W j W_j Wj 也有伸缩性。如果找到了这样的 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t), 则由空间分解性知, { ψ j , k } j , k \left\{\psi_{j, k}\right\}_{j, k} {ψj,k}j,k 构成 L 2 ( R ) L^2(R) L2(R) 的标准正交基。
多分辨率分析概念中，如何找小波函数 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t) ？可以通过尺度函数 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 来构造，它是支撑 MRA 框架的基础。
2.2 尺度函数和小波函数的关系
在多分辨率分析中, 尺度函数至关重要, 而它与小波函数也有着内在的联系。下面的几个定理介绍了它们之间的双尺度关系，由此形成了一套构造小波函数的方法。
【定理1】
[
3
]
{ }^{[3]}
[3] 设
{
V
j
}
j
∈
Z
\left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}}
{Vj}j∈Z 是
L
2
(
R
)
L^2(R)
L2(R) 的一个正交 MRA,
φ
(
t
)
\varphi(t)
φ(t) 是它的尺度函数, 则有
{
h
k
}
k
∈
Z
∈
l
2
\left\{h_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}} \in l^2
{hk}k∈Z∈l2 ，使
1
2
φ
(
t
2
)
=
∑
k
∈
Z
h
k
φ
(
t
−
k
)
\frac{1}{\sqrt{2}} \varphi\left(\frac{t}{2}\right)=\sum_{k \in \mathbf{Z}} h_k \varphi(t-k)
21φ(2t)=k∈Z∑hkφ(t−k)
上式描述了尺度函数不同尺度之间的关系, 称为双尺度方程。该表达式是尺度函数关系的时间域表达，对应的频率域表达可以通过 Fourier 变换得到，即
φ ^ ( 2 ω ) = 1 2 ∑ k ∈ Z h k e − i k ω φ ^ ( ω ) \hat{\varphi}(2 \omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k \in \mathbf{Z}} h_k \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k \omega} \hat{\varphi}(\omega) φ^(2ω)=21k∈Z∑hke−ikωφ^(ω)
记
H
(
ω
)
=
h
^
(
ω
)
=
1
2
∑
k
∈
Z
h
k
e
−
i
k
ω
H(\omega)=\hat{h}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k \in \mathbf{Z}} h_k \mathrm{e}^{-i k \omega}
H(ω)=h^(ω)=21k∈Z∑hke−ikω
则得
φ
^
(
2
ω
)
=
H
(
ω
)
φ
^
(
ω
)
\hat{\varphi}(2 \omega)=H(\omega) \hat{\varphi}(\omega)
φ^(2ω)=H(ω)φ^(ω)
常称 H ( ω ) H(\omega) H(ω) 为低通滤波器。可以证明任何一个尺度函数 φ ( t ) \varphi(t) φ(t), 都可由滤波器 { h k } k ∈ Z \left\{h_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}} {hk}k∈Z 来确定。
【定理2】 设 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 是正交 MRA 的尺度函数, { h k } k ∈ Z \left\{h_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}} {hk}k∈Z 是相应的滤波器, H ( ω ) H(\omega) H(ω) 为其 Fourier 变换形式, 则
(1) ∣ H ( ω ) ∣ 2 + ∣ H ( ω + π ) ∣ 2 = 1 ⇔ ∑ n ∈ Z h n h n + 2 k ‾ = δ 0 , k |H(\omega)|^2+|H(\omega+\pi)|^2=1 \Leftrightarrow \sum_{n \in \mathbf{Z}} h_n \overline{h_{n+2 k}}=\delta_{0, k} ∣H(ω)∣2+∣H(ω+π)∣2=1⇔∑n∈Zhnhn+2k=δ0,k;
(2) 若 { h k } k ∈ Z \left\{h_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}} {hk}k∈Z 满足 ∑ k ∈ Z ∣ h k ∣ < + ∞ \sum_{k \in \mathbf{Z}}\left|h_k\right|<+\infty ∑k∈Z∣hk∣<+∞, 且 φ ^ ( ω ) \hat{\varphi}(\omega) φ^(ω) 连续, 而 φ ^ ( 0 ) ≠ 0 \hat{\varphi}(0) \neq 0 φ^(0)=0, 则 H ( 0 ) = 1 H(0)=1 H(0)=1, 即 ∑ k ∈ Z h k = 2 \sum_{k \in \mathbf{Z}} h_k=\sqrt{2} ∑k∈Zhk=2 。
由上面的定理知道 ∑ k ∈ Z ∣ h k ∣ < + ∞ , φ ^ ( ω ) \sum_{k \in \mathbf{Z}}\left|h_k\right|<+\infty, \hat{\varphi}(\omega) ∑k∈Z∣hk∣<+∞,φ^(ω) 连续, 有
φ ^ ( ω ) = H ( ω 2 ) φ ^ ( ω 2 ) = H ( ω 2 ) H ( ω 4 ) φ ^ ( ω 4 ) = ⋯ = ∏ i = 1 + ∞ H ( ω 2 i ) φ ^ ( 0 ) \begin{aligned} \hat{\varphi}(\omega) & =H\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right) \\ & =H\left(\frac{\omega}{2}\right) H\left(\frac{\omega}{4}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{4}\right) \\ & =\cdots \\ & =\prod_{i=1}^{+\infty} H\left(\frac{\omega}{2^i}\right) \hat{\varphi}(0) \end{aligned} φ^(ω)=H(2ω)φ^(2ω)=H(2ω)H(4ω)φ^(4ω)=⋯=i=1∏+∞H(2iω)φ^(0)
而 φ ^ ( 0 ) ≠ 0 \hat{\varphi}(0) \neq 0 φ^(0)=0, 不妨令 φ ^ ( 0 ) = 1 \hat{\varphi}(0)=1 φ^(0)=1, 则知 ∫ φ ^ ( 0 ) d x = 1 \int \hat{\varphi}(0) \mathrm{d} x=1 ∫φ^(0)dx=1 。
【定理3】 设
{
V
j
}
j
∈
Z
\left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}}
{Vj}j∈Z 为一个正交 MRA，
φ
(
t
)
\varphi(t)
φ(t) 是尺度函数，
{
W
k
}
k
∈
Z
\left\{W_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}}
{Wk}k∈Z 是
{
V
j
}
j
∈
Z
\left\{V_j\right\}_{j \in \mathbf{Z}}
{Vj}j∈Z 所确定的小波空间, 若
ψ
(
t
)
∈
W
0
\psi(t) \in W_0
ψ(t)∈W0, 则有
{
g
k
}
k
∈
Z
∈
l
2
\left\{g_k\right\}_{k \in \mathbf{Z}} \in l^2
{gk}k∈Z∈l2, 使
1
2
ψ
(
t
2
)
=
∑
k
∈
Z
g
k
φ
(
t
−
k
)
\frac{1}{\sqrt{2}} \psi\left(\frac{t}{2}\right)=\sum_{k \in \mathbf{Z}} g_k \varphi(t-k)
21ψ(2t)=k∈Z∑gkφ(t−k)
这一定理描述了小波函数与尺度函数在时间域上的双尺度关系，对应的频率域形式为
ψ
^
(
2
ω
)
=
G
(
ω
)
φ
^
(
ω
)
\hat{\psi}(2 \omega)=G(\omega) \hat{\varphi}(\omega)
ψ^(2ω)=G(ω)φ^(ω)
其中, G ( ω ) = 1 2 ∑ k ∈ Z g k e − i k ω , { g k } k G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k \in \mathbf{Z}} g_k \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k \omega},\left\{g_k\right\}_k G(ω)=21∑k∈Zgke−ikω,{gk}k 称为与 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t) 对应的高通滤波器。
如何从 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 构造 ψ ( t ) \psi(t) ψ(t), 也就是研究对应滤波器 H ( ω ) H(\omega) H(ω) 和 G ( ω ) G(\omega) G(ω) 之间的关系。
【定理 4】 设 φ ( t ) \varphi(t) φ(t) 为正交 MRA 的尺度函数, 则
(1) ψ ( t ) ∈ W 0 ⇔ H ( ω ) G ( ω ) ‾ + H ( ω + π ) G ( ω + π ) ‾ = 0 \psi(t) \in W_0 \Leftrightarrow H(\omega) \overline{G(\omega)}+H(\omega+\pi) \overline{G(\omega+\pi)}=0 ψ(t)∈W0⇔H(ω)G(ω)+H(ω+π)G(ω+π)=0;
（2） { ψ ( t − k ) } k \{\psi(t-k)\}_k {ψ(t−k)}k 构成正交系 ⇔ ∣ G ( ω ) ∣ 2 + ∣ G ( ω + π ) ∣ 2 = 1 \Leftrightarrow|G(\omega)|^2+|G(\omega+\pi)|^2=1 ⇔∣G(ω)∣2+∣G(ω+π)∣2=1 ；
（3）（1）和（2）是 { ψ ( t − k ) } k \{\psi(t-k)\}_k {ψ(t−k)}k 构成 W 0 W_0 W0 的标准正交基的充要条件。
结合定理3.2和定理3.4，低通和高通滤波器应该满足下面的西条件：
若
U
=
(
H
(
ω
)
H
(
ω
+
π
)
G
(
ω
)
G
(
ω
+
π
)
)
U=\left(\begin{array}{ll} H(\omega) & H(\omega+\pi) \\ G(\omega) & G(\omega+\pi) \end{array}\right)
U=(H(ω)G(ω)H(ω+π)G(ω+π))
则有
U
∗
U
∗
=
I
U * U^*=I
U∗U∗=I
注意：不是所有的
ψ
\psi
ψ 都能由尺度函数
φ
\varphi
φ 生成。
ψ
(
ξ
)
=
{
2
π
−
1
2
,
4
π
7
⩽
∣
ξ
∣
<
π
或
4
π
⩽
∣
ξ
∣
<
32
π
7
0
,
其他
\psi(\xi)=\left\{\begin{array}{cc} 2 \pi^{-\frac{1}{2}}, & \frac{4 \pi}{7} \leqslant|\xi|<\pi \text { 或 } 4 \pi \leqslant|\xi|<\frac{32 \pi}{7} \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.
ψ(ξ)={2π−21,0,74π⩽∣ξ∣<π 或 4π⩽∣ξ∣<732π 其他
{
ψ
j
,
k
(
x
)
=
2
−
j
2
ψ
(
2
−
j
x
−
k
)
}
j
,
k
\left\{\psi_{j, k}(x)=2^{-\frac{j}{2}} \psi\left(2^{-j} x-k\right)\right\}_{j, k}
{ψj,k(x)=2−2jψ(2−jx−k)}j,k 构成
L
2
(
R
)
L^2(R)
L2(R) 的标准正交基 。
2.3 滤波器本质
滤波器在小波分析中充当十分重要的角色。首先介绍几个简单的相关概念。
-
系统：将一种信号变换成另一种信号并向外输出。
L [ f ( t ) ] = g ( t ) L[f(t)]=g(t) L[f(t)]=g(t) -
线性系统: 若 ∀ f 1 , f 2 , ∀ a , b ∈ R , L [ f 1 ( t ) ] = g 1 ( t ) , L [ f 2 ( t ) ] = g 2 ( t ) \forall f_1, f_2, \forall a, b \in \mathbf{R}, L\left[f_1(t)\right]=g_1(t), L\left[f_2(t)\right]=g_2(t) ∀f1,f2,∀a,b∈R,L[f1(t)]=g1(t),L[f2(t)]=g2(t), 则
L [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] = a g 1 ( t ) + b g 2 ( t ) L\left[a f_1(t)+b f_2(t)\right]=a g_1(t)+b g_2(t) L[af1(t)+bf2(t)]=ag1(t)+bg2(t) -
时不变系统: ∀ τ \forall \tau ∀τ, 有
L [ f ( t − τ ) ] = g ( t − τ ) L[f(t-\tau)]=g(t-\tau) L[f(t−τ)]=g(t−τ) -
响应：称 g ( t ) g(t) g(t) 为 f ( t ) f(t) f(t) 在 L L L 下的响应。
-
脉冲响应：对线性时不变系统 L L L ，它对函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的响应 h ( t ) = L [ δ ( t ) ] h(t)=L[\delta(t)] h(t)=L[δ(t)] 称为脉冲响应。线性时不变系统下的函数无论连续情形还是离散情形，对应的函数变化皆为卷积形式。
连续情形: 若
L
[
f
(
t
)
]
=
g
(
t
)
L[f(t)]=g(t)
L[f(t)]=g(t), 脉冲响应
h
(
t
)
=
L
[
δ
(
t
)
]
h(t)=L[\delta(t)]
h(t)=L[δ(t)], 则有
L
[
f
(
t
)
]
=
f
∗
h
(
t
)
=
g
(
t
)
L[f(t)]=f * h(t)=g(t)
L[f(t)]=f∗h(t)=g(t)
离散情形:若离散脉冲响应 h ( n ) = L [ δ ( n ) ] , f ( k ) = ∑ n f ( n ) δ ( k − n ) h(n)=L[\delta(n)], f(k)=\sum_n f(n) \delta(k-n) h(n)=L[δ(n)],f(k)=∑nf(n)δ(k−n), 则有
g ( k ) = L [ f ( k ) ] = ∑ n f ( n ) h ( n − k ) = f ∗ h ( k ) g(k)=L[f(k)]=\sum_n f(n) h(n-k)=f * h(k) g(k)=L[f(k)]=n∑f(n)h(n−k)=f∗h(k)
滤波器 (低通滤波器、高通滤波器) 的含义介绍如下：
- 若 H ( ω ) H(\omega) H(ω) 是紧支撑的, 则称之为理想滤波器。
- 若 H ( ω ) H(\omega) H(ω) 的支集包含在 ( − ω c , ω c ) , ( ω c > 0 ) \left(-\omega_c, \omega_c\right),\left(\omega_c>0\right) (−ωc,ωc),(ωc>0), 则称它为低通滤波器。
- 若 H ( ω ) H(\omega) H(ω) 的支集包含在 ( − ω c − δ , − ω c + δ ) ∪ ( ω c − ε , ω c + ε ) \left(-\omega_c-\delta,-\omega_c+\delta\right) \cup\left(\omega_c-\varepsilon, \omega_c+\varepsilon\right) (−ωc−δ,−ωc+δ)∪(ωc−ε,ωc+ε), 其中 ω c 、 δ 、 ε \omega_c 、 \delta 、 \varepsilon ωc、δ、ε 均大于 0 且 − ω c + δ < ω c − ε -\omega_c+\delta<\omega_c-\varepsilon −ωc+δ<ωc−ε, 则称它为带通的 (高通的) 滤波。
- ∣ g ^ ( ω ) ∣ = ∣ H ( ω ) ∣ ∣ f ^ ( ω ) ∣ |\hat{g}(\omega)|=|H(\omega)||\hat{f}(\omega)| ∣g^(ω)∣=∣H(ω)∣∣f^(ω)∣ 可刻画能量频谱。
滤波器设计就是：设计一理想滤波器 H ( ω ) H(\omega) H(ω) ，当 ω ∈ B \omega \in B ω∈B 时，信号可通过，否则不予通过。
-
e
−
i
e
s
t
\mathrm{e}^{-\mathrm{iest}}
e−iest 是卷积算子的特征向量
L ( e − i ω t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( u ) e − i ( t − μ ) d u = e i ω t h ^ ( ω ) L\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(u) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(t-\mu)} \mathrm{d} u=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \hat{h}(\omega) L(e−iωt)=∫−∞+∞h(u)e−i(t−μ)du=eiωth^(ω)
特征值为
h
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
h
(
u
)
e
−
i
=
u
d
u
\hat{h}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(u) \mathrm{e}^{-i=u} \mathrm{~d} u
h^(ω)=∫−∞+∞h(u)e−i=u du
如此周期函数
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的 Fourier 变换展开形式
f
(
t
)
=
∑
n
C
n
e
i
ω
t
,
ω
=
2
π
T
f(t)=\sum_n C_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}, \omega=\frac{2 \pi}{T}
f(t)=∑nCneiωt,ω=T2π, 对应的时移不变系统下的形式为
L
(
f
(
t
)
)
=
∑
n
C
n
L
(
e
i
ω
t
)
=
∑
n
C
n
h
^
(
ω
)
e
i
ω
t
\begin{aligned} L(f(t)) & =\sum_n C_n \mathrm{~L}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\right) \\ & =\sum_n C_n \hat{h}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \end{aligned}
L(f(t))=n∑Cn L(eiωt)=n∑Cnh^(ω)eiωt
L
(
f
(
t
)
)
L(f(t))
L(f(t)) 能用
h
^
(
ω
)
\hat{h}(\omega)
h^(ω) 来表示。
e
i
t
\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}
eit 是线性时不变系统的特征向量, 将任何函数分解成这些特征向量的加权和。
2.4 二维正交多分辨率分析
设
f
(
x
,
y
)
∈
L
2
(
R
2
)
f(x, y) \in L^2\left(R^2\right)
f(x,y)∈L2(R2), 二维小波
ψ
(
x
,
y
)
\psi(x, y)
ψ(x,y) 满足容许条件
∬
R
2
ψ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
\iint_{R^2} \psi(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=
∬R2ψ(x,y)dx dy= 0 , 则对
a
≠
0
a \neq 0
a=0, 有
W
f
(
a
,
b
1
,
b
2
)
=
1
a
∬
R
2
f
(
x
,
y
)
ψ
(
x
−
b
1
a
,
y
−
b
2
a
)
‾
d
x
d
y
W f\left(a, b_1, b_2\right)=\frac{1}{a} \iint_{R^2} f(x, y) \overline{\psi\left(\frac{x-b_1}{a}, \frac{y-b_2}{a}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
Wf(a,b1,b2)=a1∬R2f(x,y)ψ(ax−b1,ay−b2)dx dy
称为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的二维连续小波变换。
取 a = 2 j , b 1 = 2 j k , b 2 = 2 j n a=2^j,b_1=2^jk,b_2=2^jn a=2j,b1=2jk,b2=2jn,则离散小波变换
W f ( j , k , l ) = 1 2 j ∬ R 2 f ( x , y ) ψ ( 2 − j x − k , 2 − j y − n ) ‾ d x d y Wf(j,k,l)\:=\:\frac{1}{2^j}\iint\limits_{R^2}f(x,y)\:\overline{\psi(2^{-j}x-k,2^{-j}y-n)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y Wf(j,k,l)=2j1R2∬f(x,y)ψ(2−jx−k,2−jy−n)dxdy
二维多分辨率分析是一维多分辨率分析的推广形式，这种方法可以推广到 n n n维形式。
L 2 ( R 2 ) L^2(R^2) L2(R2)中的闭子空间序列 { V j } j ∈ Z \{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}} {Vj}j∈Z称为一个二维正交多分辨分析，如果它满足以下条件：
( 1 ) ⋯ ⊂ V 1 ⊂ V 0 ⊂ V − 1 ⋯ ( (1)\cdots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\cdots( (1)⋯⊂V1⊂V0⊂V−1⋯(单调性);
( 2 ) ⋂ j ∈ Z V j = { 0 } , lim j → ∞ V j = ⋃ j ∈ Z V j ‾ = L 2 ( R 2 ) (2)\bigcap_{j\in\mathbb{Z}}V_j=\left\{0\right\},\operatorname*{lim}_{j\to\infty} V_j=\overline{\bigcup_{j\in\mathbb{Z}}V_j}=L^2\left(R^2\right) (2)⋂j∈ZVj={0},limj→∞Vj=⋃j∈ZVj=L2(R2)(逼近性);
(3) f ( t ) ∈ V j ⇔ f ( 2 ∙ t ) ∈ V j − 1 , ∀ f( t) \in V_{j}\Leftrightarrow f( 2\bullet t) \in V_{j- 1}, \forall f(t)∈Vj⇔f(2∙t)∈Vj−1,∀ j ∈ Z j\in \mathbb{Z} j∈Z(伸缩性),
(4) f ( t ) ∈ V 0 ⇒ f ( t − k ) ∈ V 0 , ∀ k ∈ Z 2 f( t) \in V_0\Rightarrow f( t- k) \in V_0, \forall k\in \mathbb{Z} ^2 f(t)∈V0⇒f(t−k)∈V0,∀k∈Z2(平移不变性);
(5)存在函数 φ ( t ) ∈ V 0 \varphi(t)\in V_0 φ(t)∈V0,使得 { φ ( t − k ) } k ∈ z 2 \{\varphi(t-k)\}_{k\in z^2} {φ(t−k)}k∈z2 构成 V 0 V_0 V0的规范正交基，则称 φ \varphi φ 为二维多分辨分析的尺度函数或父函数。
设 F F F和 G G G 是两个有限维或可数维的线性空间，基底分别为 { f i } j ∈ Z \{f_i\}_{j\in\mathbb{Z}} {fi}j∈Z和 { g k } i ∈ Z \{g_k\}_{i\in\mathbb{Z}} {gk}i∈Z,形如 { f j ∗ g k , j , k ∈ Z ⟩ \left\{f_j*g_k,j,k\in\mathbf{Z}\right\rangle {fj∗gk,j,k∈Z⟩的元素为基底的空间 H H H,称为 F F F 与 G G G 的张量积空间，表示为 H= span { f j ∗ g k , j , k ∈ Z } \operatorname{span}\left\{f_{j}*g_{k},j,k\in\mathbb{Z}\right\} span{fj∗gk,j,k∈Z},记为 H = F ⊗ G H=F\otimes G H=F⊗G。
二维张量积形式的多分辨率分析容易从一维直接推广，并得到相应的滤波器形式定义。现在考虑两个多分辨率空间 { V j 1 } j ∈ Z \{V_j^1\}_{j\in\mathbb{Z}} {Vj1}j∈Z和 { V j 2 } j ∈ Z \{V_j^2\}_{j\in\mathbb{Z}} {Vj2}j∈Z的张量积空间 { V j } j ∈ Z \{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}} {Vj}j∈Z,它们对应的尺度函数分别为 φ 1 , φ 2 , φ \varphi_1,\varphi_2,\varphi φ1,φ2,φ,对应的小波函数分别为 ψ 1 \psi_1 ψ1 、 ψ 2 \psi_2 ψ2、 ψ 1 \psi^1 ψ1、 ψ 2 \psi^2 ψ2、 ψ 3 \psi^3 ψ3,对应的低通和高通滤波器分别为 H 1 , H 2 , H , G 1 , G 2 , G 1 , G 2 , G 3 H_1,H_2,H,G_1,G_2,G^1,G^2,G^3 H1,H2,H,G1,G2,G1,G2,G3,于是对应的空间关系和双尺度方程如下：
1 ◯ V i = V i 1 ⊗ V i 2 , j ∈ Z , V j ⊂ V j − 1 ⊂ ⋯ ⊂ L 2 ( R 2 ) \textcircled {1}V_{i}= V_{i}^{1}\otimes V_{i}^{2}, j\in \mathbb{Z} , V_{j}\subset V_{j- 1}\subset \cdots \subset L^{2}( R^{2}) 1◯Vi=Vi1⊗Vi2,j∈Z,Vj⊂Vj−1⊂⋯⊂L2(R2),且有 ⋂ j ∈ Z V j = ⟨ 0 ⟩ , ⋃ j ∈ Z V j ‾ = L 2 ( R 2 ) \bigcap_j\in\mathbb{Z}V_{j}=\langle0\rangle,\overline{\bigcup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(R^{2}) ⋂j∈ZVj=⟨0⟩,⋃j∈ZVj=L2(R2)。
2
◯
\textcircled{2}
2◯ 定义
V
j
=
V
j
+
1
⊕
W
j
+
1
V_j=V_j+1\oplus W_{j+1}
Vj=Vj+1⊕Wj+1,则
V
j
=
V
j
1
⊗
V
j
2
=
(
V
j
+
1
1
⊕
W
j
+
1
1
)
⊗
(
V
j
+
1
2
⊕
W
j
+
1
2
)
V_{j}=V_{j}^{1}\otimes V_{j}^{2}=\:(V_{j+1}^{1}\oplus W_{j+1}^{1})\otimes\:(V_{j+1}^{2}\oplus W_{j+1}^{2})
Vj=Vj1⊗Vj2=(Vj+11⊕Wj+11)⊗(Vj+12⊕Wj+12)
=
(
V
j
+
1
1
⊗
V
j
+
1
2
)
⊕
(
V
j
+
1
1
⊗
W
j
+
1
2
)
⊕
(
V
j
+
1
2
⊗
W
j
+
1
1
)
⊕
(
W
j
+
1
1
⊗
W
j
+
1
2
)
=(V_{j+1}^1\otimes V_{j+1}^2)\oplus(V_{j+1}^1\otimes W_{j+1}^2)\oplus(V_{j+1}^2\otimes W_{j+1}^1)\oplus(W_{j+1}^1\otimes W_{j+1}^2)
=(Vj+11⊗Vj+12)⊕(Vj+11⊗Wj+12)⊕(Vj+12⊗Wj+11)⊕(Wj+11⊗Wj+12)
于是
W j + 1 = ( V j + 1 1 ⊗ W j + 1 2 ) ⊕ ( V j + 1 2 ⊗ W j + 1 1 ) ⊕ ( W j + 1 1 ⊗ W j + 1 2 ) W_{j+1}=(V_{j+1}^1\otimes W_{j+1}^2)\oplus(V_{j+1}^2\otimes W_{j+1}^1)\oplus(W_{j+1}^1\otimes W_{j+1}^2) Wj+1=(Vj+11⊗Wj+12)⊕(Vj+12⊗Wj+11)⊕(Wj+11⊗Wj+12)
即小波空间由三部分组成。
3 ◯ φ ( x , y ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) , ψ 1 ( x , y ) = φ 1 ( x ) ψ 2 ( y ) , ψ 2 ( x , y ) = ψ 1 ( x ) φ 2 ( y ) , ψ 3 ( x , y ) = \textcircled{3}\varphi(x,y)=\varphi_{1}\left(x\right)\varphi_{2}(y),\psi^{1}(x,y)=\varphi_{1}(x)\psi_{2}(y),\psi^{2}(x,y)=\psi_{1}(x)\varphi_{2}(y),\psi^{3}(x,y)= 3◯φ(x,y)=φ1(x)φ2(y),ψ1(x,y)=φ1(x)ψ2(y),ψ2(x,y)=ψ1(x)φ2(y),ψ3(x,y)=
ψ 1 ( x ) ψ 2 ( y ) \psi_1(x)\psi_2(y) ψ1(x)ψ2(y),其中 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)是尺度函数 , ψ i ( x , y ) , i = 1 , 2 , 3 ,\psi^i(x,y),i=1,2,3 ,ψi(x,y),i=1,2,3 为小波函数。一维双尺度方程和对
应滤波器为
φ
1
(
x
)
=
2
∑
n
∈
Z
h
n
1
φ
1
(
2
x
−
n
)
,
H
1
(
ω
1
)
=
1
2
∑
n
∈
Z
h
n
1
e
−
i
ω
1
\varphi_1\left(x\right)=\sqrt{2}\sum_{n\in\mathbb{Z}}h_n^1\varphi_1\left(2x-n\right),H_1\left(\omega_1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}h_n^1\:\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_1}
φ1(x)=2n∈Z∑hn1φ1(2x−n),H1(ω1)=21n∈Z∑hn1e−iω1
ψ
1
(
x
)
=
2
∑
n
∈
Z
g
n
1
φ
1
(
2
x
−
n
)
,
G
1
(
ω
1
)
=
1
2
∑
n
∈
Z
g
n
1
e
−
i
ω
1
\psi_1\left(x\right)=\sqrt{2}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\:g_n^1\:\varphi_1\left(2x-n\right),G_1\left(\omega_1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\:g_n^1\:\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_1}
ψ1(x)=2n∈Z∑gn1φ1(2x−n),G1(ω1)=21n∈Z∑gn1e−iω1
φ
2
(
y
)
=
2
∑
n
∈
Z
h
n
2
φ
2
(
2
y
−
m
)
,
H
2
(
ω
2
)
=
1
2
∑
m
∈
Z
h
m
2
e
−
i
ω
ω
2
\varphi_{2}\left(y\right)=\sqrt{2}\sum_{n\in Z}h_{n}^{2}\:\varphi_{2}\left(2y-m\right),H_{2}\left(\omega_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{m\in Z}h_{m}^{2}\:\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\omega_{2}}
φ2(y)=2n∈Z∑hn2φ2(2y−m),H2(ω2)=21m∈Z∑hm2e−iωω2
b
2
(
y
)
=
2
∑
n
∈
Z
g
m
2
φ
2
(
2
y
−
m
)
,
G
2
(
ω
2
)
=
1
2
∑
m
∈
Z
g
m
2
e
−
i
m
ω
2
b_{2}\left(y\right)=\sqrt{2}\sum_{n\in\mathbf{Z}}\:g_{m}^{2}\:\varphi_{2}\left(2y-m\right),G_{2}\left(\omega_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{m\in\mathbf{Z}}\:g_{m}^{2}\:\mathrm{e}^{-\mathrm{i}m\omega_{2}}
b2(y)=2n∈Z∑gm2φ2(2y−m),G2(ω2)=21m∈Z∑gm2e−imω2
对应的张量积双尺度方程为
o ( x , y ) = 2 ∑ i = m h m , n φ ( 2 x − n , 2 y − m ) , H ( ω 1 , ω 2 ) = 1 2 ∑ i = m h m , n e − i ( m w 1 + n w 2 ) o(x,y)=2\sum_{i=m}h_{m,n}\varphi\left(2x-n,2y-m\right),H\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)=\frac{1}{2}\sum_{i=m}h_{m,n}\mathrm{~e}^{-i(mw_{1}+nw_{2})} o(x,y)=2∑i=mhm,nφ(2x−n,2y−m),H(ω1,ω2)=21∑i=mhm,n e−i(mw1+nw2)
ψ 1 ( x , y ) = 2 ∑ m = − ∞ g m , n 1 φ ( 2 x − n , 2 y − m ) , G 1 ( ω 1 , ω 2 ) = 1 2 ∑ m = − ∞ g m , n 1 e − i ( m ω 1 + n w 2 ) \psi^1(x,y)=2\sum_{m=-\infty}g_{m,n}^1\varphi\left(2x-n,2y-m\right),G^1\left(\omega_1,\omega_2\right)=\frac12\sum_{m=-\infty}g_{m,n}^1\mathrm{~e}^{-i(m\omega_1+nw_2)} ψ1(x,y)=2∑m=−∞gm,n1φ(2x−n,2y−m),G1(ω1,ω2)=21∑m=−∞gm,n1 e−i(mω1+nw2)
ψ 2 ( x , y ) = 2 ∑ m , n ∈ Z g m , n 2 φ ( 2 x − n , 2 y − m ) , G 2 ( ω 1 , ω 2 ) = 1 2 ∑ m , n ∈ Z g m , n 2 e − i ( m ω 1 + n ω 2 ) \psi^{2}\left(x,y\right)=2\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}g_{m,n}^{2}\varphi\left(2x-n,2y-m\right),G^{2}\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)=\frac{1}{2}\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}g_{m,n}^{2}\:\mathrm{e}^{-i(m\omega_{1}+n\omega_{2})} ψ2(x,y)=2m,n∈Z∑gm,n2φ(2x−n,2y−m),G2(ω1,ω2)=21m,n∈Z∑gm,n2e−i(mω1+nω2)
ψ
3
(
x
,
y
)
=
2
∑
n
,
n
∈
Z
g
n
,
n
3
φ
(
2
x
−
n
,
2
y
−
m
)
,
G
3
(
ω
1
,
ω
2
)
=
1
2
∑
m
,
n
∈
Z
g
m
,
n
3
e
−
i
(
m
ω
1
+
n
ω
2
)
\psi^3(x,y)=2\sum_{n,n\in\mathbb{Z}}g_{n,n}^3\varphi\left(2x-n,2y-m\right),G^3\left(\omega_1,\omega_2\right)=\frac{1}{2}\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}g_{m,n}^3\:\mathrm{e}^{-i(m\omega_1+n\omega_2)}
ψ3(x,y)=2n,n∈Z∑gn,n3φ(2x−n,2y−m),G3(ω1,ω2)=21m,n∈Z∑gm,n3e−i(mω1+nω2)
则对应滤波器之间的关系：
H
(
ω
1
,
ω
2
)
=
H
1
(
ω
1
)
H
2
(
ω
2
)
H\left(\omega_1,\omega_2\right)=H_1\left(\omega_1\right)H_2\left(\omega_2\right)
H(ω1,ω2)=H1(ω1)H2(ω2)
G
1
(
ω
1
,
ω
2
)
=
H
1
(
ω
1
)
G
2
(
ω
2
)
G^1\left(\omega_1,\omega_2\right)=H_1\left(\omega_1\right)G_2\left(\omega_2\right)
G1(ω1,ω2)=H1(ω1)G2(ω2)
G
2
(
ω
1
,
ω
2
)
=
G
1
(
ω
1
)
H
2
(
ω
2
)
G^2\left(\omega_1,\omega_2\right)=G_1\left(\omega_1\right)H_2\left(\omega_2\right)
G2(ω1,ω2)=G1(ω1)H2(ω2)
G
3
(
ω
1
,
ω
2
)
=
G
1
(
ω
1
)
G
2
(
ω
2
)
G^3\left(\omega_1,\omega_2\right)=G_1\left(\omega_1\right)G_2\left(\omega_2\right)
G3(ω1,ω2)=G1(ω1)G2(ω2)
{
h
m
,
n
=
h
n
1
h
m
2
,
g
m
,
n
1
=
h
n
1
g
m
2
,
g
m
,
n
2
=
g
n
1
h
m
2
,
g
m
,
n
3
=
g
n
1
g
m
2
\begin{cases}h_{m,n}=h_n^1h_m^2,g_{m,n}^1=h_n^1g_m^2,\\g_{m,n}^2=g_n^1h_m^2,g_{m,n}^3=g_n^1g_m^2\end{cases}
{hm,n=hn1hm2,gm,n1=hn1gm2,gm,n2=gn1hm2,gm,n3=gn1gm2
4 ◯ \textcircled{4} 4◯尺度函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y) 的平移伸缩族{ ⟨ φ j , k , m ( x , y ) ⟩ k , m \left\langle\varphi_j,k,m(x,y)\right\rangle_{k,m} ⟨φj,k,m(x,y)⟩k,m 是 V j V_j Vj 的标准正交基，
⟨ ψ j , k , m 1 ( x , y ) , ψ j , k , m 2 ( x , y ) , ψ j , k , m 3 ( x , y ) ⟩ k , m \langle\psi_{j,k,m}^{1}(x,y),\psi_{j,k,m}^{2}(x,y),\psi_{j,k,m}^{3}(x,y)\rangle_{k,m} ⟨ψj,k,m1(x,y),ψj,k,m2(x,y),ψj,k,m3(x,y)⟩k,m 是 W j W_j Wj 的标准正交基。
二维函数的正交小波分解；对 f ( x , y ) ∈ L 2 ( R 2 ) f(x,y)\in L^2(R^2) f(x,y)∈L2(R2),有
f
(
x
,
y
)
=
∑
j
=
−
∞
∞
[
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
1
ψ
j
,
k
,
m
1
(
x
,
y
)
+
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
2
ψ
j
,
k
,
m
2
(
x
,
y
)
+
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
3
ψ
j
,
k
,
m
3
(
x
,
y
)
]
f(x,y)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}[\sum_{k,m\in\mathcal{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^{1}\psi_{j,k,m}^{1}(x,y)+\sum_{k,m\in\mathcal{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^{2}\psi_{j,k,m}^{2}(x,y)+\sum_{k,m\in\mathcal{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^{3}\psi_{j,k,m}^{3}(x,y)]
f(x,y)=∑j=−∞∞[∑k,m∈Zdj,k,m1ψj,k,m1(x,y)+∑k,m∈Zdj,k,m2ψj,k,m2(x,y)+∑k,m∈Zdj,k,m3ψj,k,m3(x,y)]
由正交性知
d j , k , m 1 = ∫ R 2 f ( x , y ) ψ j , k , m 1 ( x , y ) ‾ d x d y d j , k , m 2 = ∫ R 2 f ( x , y ) ψ j , k , m 2 ( x , y ) ‾ d x d y d j , k , m 3 = ∫ R 2 f ( x , y ) ψ j , k , m 2 ( x , y ) ‾ d x d y \mathrm{d}_{j,k,m}^{1}=\int_{R^{2}}f(x,y)\:\overline{{\psi_{j,k,m}^{1}(x,y)}}\:\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\\mathrm{d}_{j,k,m}^{2}=\int_{R^{2}}f(x,y)\:\overline{{\psi_{j,k,m}^{2}(x,y)}}\:\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\\mathrm{d}_{j,k,m}^{3}=\int_{R^{2}}f(x,y)\:\overline{{\psi_{j,k,m}^{2}(x,y)}}\:\mathrm{d}x\mathrm{d}y dj,k,m1=∫R2f(x,y)ψj,k,m1(x,y)dxdydj,k,m2=∫R2f(x,y)ψj,k,m2(x,y)dxdydj,k,m3=∫R2f(x,y)ψj,k,m2(x,y)dxdy
二维函数的通近性质：
∃
V
J
0
\exists V_{J_0}
∃VJ0 使得
f
(
x
,
y
)
∈
V
J
0
f(x,y)\in V_{J_0}
f(x,y)∈VJ0,不妨设KaTeX parse error: Double subscript at position 4: V_J_̲0 为
V
0
V_0
V0,则逼近性质为
f
(
x
,
y
)
=
f
0
(
x
,
y
)
=
f
1
(
x
,
y
)
+
g
1
(
x
,
y
)
=
f
2
(
x
,
y
)
+
g
2
(
x
,
y
)
+
g
1
(
x
,
y
)
=
⋯
=
f(x,y)=f_0(x,y)=f_1(x,y)+g_1(x,y)=f_2(x,y)+g_2(x,y)+g_1(x,y)=\cdots=
f(x,y)=f0(x,y)=f1(x,y)+g1(x,y)=f2(x,y)+g2(x,y)+g1(x,y)=⋯=
f
j
(
x
,
y
)
+
g
J
(
x
,
y
)
+
g
J
−
1
(
x
,
y
)
+
⋯
+
g
1
(
x
,
y
)
f_j(x,y)+g_J(x,y)+g_{J-1}(x,y)+\cdots+g_1(x,y)
fj(x,y)+gJ(x,y)+gJ−1(x,y)+⋯+g1(x,y)
其中，
f
j
(
x
,
y
)
∈
V
J
,
g
J
(
x
,
y
)
∈
W
J
f_j(x,y)\in V_J,g_J(x,y)\in W_J
fj(x,y)∈VJ,gJ(x,y)∈WJ。
从而有
f
(
x
,
y
)
=
∑
k
,
m
∈
Z
c
j
,
k
,
m
φ
j
,
k
,
m
(
x
,
y
)
+
∑
j
=
1
j
[
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
1
ψ
j
,
k
,
m
1
(
x
,
y
)
+
f(x,y)=\sum_{k,m\in\mathbb{Z}}c_{j,k,m}\varphi_{j,k,m}(x,y)+\sum_{j=1}^{j}\Big[\sum_{k,m\in\mathbb{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^{1}\psi_{j,k,m}^{1}(x,y)+
f(x,y)=k,m∈Z∑cj,k,mφj,k,m(x,y)+j=1∑j[k,m∈Z∑dj,k,m1ψj,k,m1(x,y)+
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
2
ψ
j
,
k
,
m
2
(
x
,
y
)
+
∑
k
,
m
∈
Z
d
j
,
k
,
m
3
ψ
j
,
k
,
m
3
(
x
,
y
)
]
\sum_{k,m\in\mathbf{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^2\:\psi_{j,k,m}^2(x,y)+\sum_{k,m\in\mathbf{Z}}\mathrm{d}_{j,k,m}^3\:\psi_{j,k,m}^3(x,y)\:\Big]
k,m∈Z∑dj,k,m2ψj,k,m2(x,y)+k,m∈Z∑dj,k,m3ψj,k,m3(x,y)]
式中
c j , k , m = ∫ R 2 f ( x , y ) φ j , k , m ( x , y ) ‾ d x d y c_{j,k,m}=\int_{R^2}f(x,y)\:\overline{\varphi_{j,k,m}(x,y)}\:\mathrm{d}x\mathrm{d}y cj,k,m=∫R2f(x,y)φj,k,m(x,y)dxdy
三、一维信号小波滤波器处理实例
原始信号如下图所示：
对该原始信号进行分解，分别用db3小波进行低通和高通分解，得到分解后的信号如下图所示：
把小波函数转换成Haar小波之后，得到的滤波结果如下图所示：
对比两分解图像可以看出，Haar小波在处理光滑函数时会带来尖刺，连续性好的db3小波会克服这一点；而Haar小波的间断性在处理方波时会有优势。
在多分辨率的框架之下，尺度函数、小波函数都满足各自的双尺度方程，其中对应的低通、高通滤波器是工程实践中最为常用的，是小波分析理论与实践结合的契合点。
工程中常用的滤波器有Sobel算子、Prewitt算子、Laplace算子等，小波滤波器有很多，分析各种算子的不同特色。
四、Matlab程序获取与验证
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