一文读懂拟合法

拟合法

如果已知函数f(x)在若干点$x_i(i=1,2,\dots ,n)$处的值$y_i$,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。
但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点$(x_i,y_i)$,就会使曲线保留着一切测试误差。为了尽量减少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小，这就提出了曲线拟合的最小二乘法。

插值法和拟合法的区别
插值法是在已知一组离散数据点的情况下，构建一个函数，该函数精确通过所有已知数据点，用于在已知数据范围内估计未知值。插值函数在已知点上没有误差。

拟合法（或称曲线拟合）是在已知数据点的基础上，建立一个函数模型，使其尽可能接近所有数据点，但不要求精确通过每个点。拟合法考虑了数据中的误差或噪声。

拟合法的一般形式：给定n个数据点$(x_i，y_i)$, 寻找一个函数f(x)，使得：
${\sum }_{i=1}^n||f(x_i)-y_i||$最小

最小二乘法

是一种用于拟合数据的统计方法。它的目标是找到一条曲线或者函数，使得这条曲线和原始数据点的距离之和最小。

在最小二乘法中，我们假设数据点可以通过一个线性函数来描述，即 y = ax + b。然后我们通过计算每个数据点到这个直线的距离来确定最佳的参数 a 和 b。

具体步骤如下：

1. 假设线性函数为 y = ax + b，并确定参数 a 和 b 的初值。
2. 计算每个数据点到直线的垂直距离，也就是误差。
3. 将所有误差的平方相加得到总误差。
4. 调整参数 a 和 b 的值，使得总误差最小。
5. 重复步骤 2-4，直到达到满意的拟合效果。

最小二乘法可以应用于各种拟合问题，不仅限于线性函数。它也可以用于拟合多项式函数、指数函数、对数函数等。在实际应用中，最小二乘法常用于回归分析、数据拟合、信号处理等领域。

最小二乘法的优点是可以得到一个最优拟合曲线或函数，能够较好地描述数据的分布情况。然而，最小二乘法也有一些限制，比如对于非线性问题，最小二乘法可能无法找到最佳的拟合曲线。

曲线拟合

设函数y=f(x)在n个点的观测数据为：
求一个简单的近似函数$\phi (x)$，使之“最好”地逼近$f(x)$ ，而不必满足插值原则。这时没必要取$\phi (x_i)=y_i$, 而要使 ${\delta }_i=\phi (x_i)-y_i$ 总体上尽可能地小。这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，称函数$y=\phi (x)$为经验公式或拟合曲线。

一般情况下，我们使用${\sum }_{i=1}^n(\phi (x_i)-y_i{)}^2$作为准则。

线性拟合

对给定的一组数据$(x_i,y_i)(i=1,2,...,n)$，设拟合函数为$y=a_{1}x+a_0$
即求使$F(a_0,a_1)={\sum }_{i=1}^n(\phi (x_i)-y_i{)}^2$有最小值的$a_0$和$a_1$的值.
分别对$a_0,a_1$求偏导,得:

解得$a_0,a_1$ ，代入$y=a_{1}x+a_0$即可。

m次多项式拟合

对给定的一组数据$(x_i,y_i)(i=1,2,...,n)$，设拟合函数为$y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_m{x}^m$
分别对$a_k$求偏导,得:

非线性拟合

非线性拟合时候只需要将非线性函数通过一些换元，取对数等方法变换一下即可。
下面举一个具体的例子

常用的非线性曲线：

1. 双曲线
   

2. 幂指数曲线
   

3. 指数曲线
   

4. 倒指数曲线
   
   

5. 对数曲线
   

6. S型曲线
   

7. 多项式曲线
   

应用

应用1：噪声水平建模

应用2：白平衡矫正

应用场景总结