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第四十三天|动态规划|子序列| 300.最长递增子序列，674. 最长连续递增序列，718. 最长重复子数组

article 2025/1/7 18:30:34

300.最长递增子序列

674. 最长连续递增序列

动态规划

动态规划状态压缩优化版

贪心算法（更简单）

718. 最长重复子数组

动态规划（相对易理解版本）

动态规划优化版--滚动数组

拓展

隔了几天没刷题了，感觉今天的三道题不看题解的情况下有点难度。

300和674总结：

不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关

300（两层for循环）674（一层for循环即可）

300.最长递增子序列

本题的递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);比较重要，我自己做的时候没想到利用两层for循环，因此一直有点 bug A不出来。

dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。所以默认习惯从前向后遍历。

遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

由于最后得到的结果不一定是dp[nums.length - 1]，因为最长子序列不一定包含以最后一个元素结尾，因此在for循环中用result做记录。

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n)

    class Solution {
        public int lengthOfLIS(int[] nums) {
            if (nums.length == 1) return 1;
            int[] dp = new int[nums.length];
            int result = 1;
            Arrays.fill(dp, 1); // 初始化所有dp为1
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (nums[i] > nums[j]) {
                        dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);
                    }
                }
                result = Math.max(result, dp[i]);
            }
            return result;
        }
    }

674. 最长连续递增序列

动态规划

做了300之后674就很简单了，区别只在于连续。

确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

确定递推公式

dp[i] = dp[i - 1] + 1;

本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

    class Solution {
        public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
            if (nums.length == 1) return 1;
            int[] dp = new int[nums.length];
            dp[0] = 1;
            int result = 1;
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                if (nums[i] > nums[i - 1]) {
                    dp[i] = dp[i - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i] = 1;
                }
                result = Math.max(result, dp[i]);
            }
            return result;
        }
    }

动态规划状态压缩优化版

    class Solution {
        public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
            // 动态规划状态压缩
            // 记录以 前一个元素结尾的最长连续递增序列的长度 和 以当前 结尾的
//            if (nums.length == 1) return 1;
//            int beforeOneMaxLen = 1, currentMaxLen = 0; // 初始化
//            int result = 1;
//            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
//                if (nums[i] > nums[i - 1]) {
//                    currentMaxLen = beforeOneMaxLen + 1;
//                } else {
//                    currentMaxLen = 1;
//                }
//                beforeOneMaxLen = currentMaxLen;
//                result = Math.max(result, currentMaxLen);
//            }
//            return result;
            // 简化版
            int beforeOneMaxLen = 1, currentMaxLen = 0;
            int result = 1;
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                currentMaxLen = nums[i] > nums[i - 1] ? beforeOneMaxLen + 1 : 1;
                beforeOneMaxLen = currentMaxLen;
                result = Math.max(result, currentMaxLen);
            }
            return result;
        }
    }

贪心算法（更简单）

思路：遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

    class Solution {
        public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
            // 贪心法
            int result = 1;
            int count = 1;
            for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
                if (nums[i] > nums[i - 1]) {
                    count++;
                } else {
                    count = 1;
                }
                if (count > result) {
                    result = count;
                }
            }
            return result;
        }
    }

718. 最长重复子数组

动态规划（相对易理解版本）

用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

（特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是以A[i-1]为结尾的字符串）

此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。

确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}

举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
空间复杂度：O(n × m)

    class Solution {
        public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
            // 动态规划
            int result = 0;
            int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
            for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
                for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                    if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                        result = Math.max(result, dp[i][j]);
                    }
                }
            }
            return result;
        }
    }

动态规划优化版--滚动数组

dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。

也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。

时间复杂度： $O(n × m)$ ，n 为A长度，m为B长度
空间复杂度： $O(m)$

    class Solution {
        public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
            // 动态规划优化版--滚动数组
            int result = 0;
            int[] dp = new int[nums2.length + 1];
            for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
                for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
                    if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                        dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                    } else {
                        dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
                    }
                    result = Math.max(result, dp[j]);
                }
            }
            return result;
        }
    }

拓展

前面讲了 dp数组为什么定义：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

我就定义dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

当然可以，就是实现起来麻烦一些。

如果定义 dp[i][j]为以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1，因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。

这种写法一定要多写一段初始化的过程。

而且为了让 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j]; 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 && i > 0 && j > 0的判断。

C++版本代码：

// 版本三
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;

        // 要对第一行，第一列经行初始化
        for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) if (nums1[i] == nums2[0]) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) if (nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;

        for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i] == nums2[j] && i > 0 && j > 0) { // 防止 i-1 出现负数
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};

第四十三天的总算是结束了，直冲Day44！

查看全文

http://www.kler.cn/a/468804.html