A second-price auction
第二价格密封拍卖（A second - price auction）是一种常见的拍卖形式，以下是一个用收益矩阵（Payoff Matrix）来说明第二价格密封拍卖的例子：
假设有三个竞拍者：A、B、C，他们对一件古董花瓶进行竞拍，各自的估价分别为：A的估价是800元，B的估价是600元，C的估价是500元。
在第二价格密封拍卖中，每个竞拍者秘密提交自己的出价，出价最高者赢得拍卖，但支付的价格是第二高的出价。
假设他们可能的出价策略及相应的收益矩阵如下：
| 竞拍者策略组合 | A出价500元 | A出价600元 | A出价800元 |
|---|---|---|---|
| B出价400元，C出价300元 | A以500元赢得，收益为800 - 500 = 300元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以600元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以800元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 |
| B出价500元，C出价400元 | A以500元赢得，收益为800 - 500 = 300元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以600元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以800元赢得，收益为800 - 500 = 300元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 |
| B出价600元，C出价400元 | A以600元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A、B出价相同，假设A随机赢得，收益为800 - 600 = 200元，B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以800元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 |
| B出价600元，C出价500元 | A以600元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A、B出价相同，假设A随机赢得，收益为800 - 600 = 200元，B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 | A以800元赢得，收益为800 - 600 = 200元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 |
| B出价700元，C出价500元 | B以700元赢得，A未赢得，收益为0；B收益为600 - 600 = 0；C未赢得，收益为0 | B以700元赢得，A未赢得，收益为0；B收益为600 - 600 = 0；C未赢得，收益为0 | A以800元赢得，收益为800 - 700 = 100元；B未赢得，收益为0；C未赢得，收益为0 |
在这个例子中可以看到，对于每个竞拍者来说，按照自己的真实估价出价是一个弱占优策略。比如A按照自己800元的估价出价，无论其他竞拍者如何出价，A都能在自己可以接受的收益范围内参与拍卖，并且不会因为出价过高或过低而遭受明显的损失或错过赢得拍卖的机会。而对于B和C也是类似的道理，按照自己的真实估价出价能够使他们在拍卖中获得相对合理的结果。
在上述第二价格密封拍卖的例子中，其均衡结构是占优策略均衡。
占优策略是指无论其他参与者采取什么策略，对某一参与者来说都是最优的策略。在第二价格密封拍卖中，每个竞拍者的占优策略是按照自己对物品的真实估价出价。
以竞拍者A为例，无论B和C出价多少，A按800元的真实估价出价都是最优选择。如果A出价低于800元，可能会导致其失去以合理价格赢得拍卖的机会，如在B出价700元，C出价500元的情况下，A若出价低于700元就会失去赢得拍卖的机会，而按800元出价就能赢得拍卖且获得100元收益；如果A出价高于800元，虽然可能赢得拍卖，但支付价格可能会高于其真实估价，从而降低或失去收益，如A出价900元，在其他情况不变时，虽然能赢得拍卖，但收益变为800 - 700 = 100元，与出价800元时相同，若第二高的出价高于800元，A的收益就会变为负。同理，B和C按照自己的真实估价出价也是最优的。
当所有竞拍者都采取按真实估价出价这一占优策略时，就达到了占优策略均衡。这种均衡是稳定的，因为没有竞拍者有动机去改变自己的策略，无论其他竞拍者如何行动，每个竞拍者按真实估价出价都是能使自己获得最大期望收益的策略。