概率论常用的分布公式
01 常见离散型分布及其概率分布、期望和方差公式
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伯努利分布
- 概率分布：
- 期望： E(X)=p
- 方差：D(X)=p(1−p)
- 概率分布：
-
二项分布
- 概率分布：
- 期望：E(X)=np
- 方差： D(X)=np(1−p)
- 表示方法：X∼B(n,p)
- 概率分布：
-
泊松分布
- 概率分布：
- 期望：E(X)=λ
- 方差： D(X)=λ
- 表示方法：X∼P(λ)
- 概率分布：
-
几何分布
- 概率分布：
- 期望：
- 方差：
- 概率分布：
-
超几何分布
- 概率分布：
- 期望：
- 方差：
- 表示方法：X∼h(n,N,M)
- 概率分布：
-
单点分布
- 概率分布：P{x=a} = 1
| 分布名称 | 概率分布 | 期望公式 | 方差公式 |
|---|---|---|---|
| 0-1分布 | P(X = 1) = p, P(X = 0) = q (q = 1 - p) | E(X) = p | Var(X) = pq |
| 二项分布 | P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k) (k = 0, 1,..., n) | E(X) = np | Var(X) = npq |
| 泊松分布 | P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! (k = 0, 1, 2,...) | E(X) = λ | Var(X) = λ |
| 几何分布 | P(X = k) = q^(k-1) * p (k = 1, 2, 3,...) | E(X) = 1/p | Var(X) = (1-p)/p^2 |
| 超几何分布 | P(X = k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n) (k = 0, 1,..., min(M, n)) | E(X) = (nM)/N | Var(X) = (nM(N-M)(N-n))/(N^2(N-1)) |
02 常见的连续型分布包括以下几种：
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均匀分布
- 概率密度函数：
- 期望：
- 方差：
- 概率密度函数：
-
正态分布
- 概率密度函数：
- 期望：E(X)=μ
- 方差： Var(X)=σ^2
- 标准化公式为：
- 表示方法：N(μ,σ^2)
- 概率密度函数：
-
指数分布
- 概率密度函数： f(x)=λexp(−λx) ，其中 x≥0
- 期望： E(X)=1/λ
- 方差： Var(X)=1/λ^2
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伽马分布
- 概率密度函数：
- 期望：E(X)=α/λ
- 方差： Var(X)=α/λ^2
- 概率密度函数：
-
贝塔分布
- 概率密度函数：
- 期望： E(X)=a/(a+b)
- 方差：
- 概率密度函数：
-
卡方分布
- 概率密度函数：
- 期望： E(X)=k
- 方差： Var(X)=2k
- 概率密度函数：
- 柯西分布
- 概率密度函数：
- 期望：不存在
- 方差：不存在
- 概率密度函数：
-
对数正态分布
- 概率密度函数：
- 期望：
- 方差：
- 概率密度函数：
-
韦布尔分布
- 概率密度函数：
- 期望：
- 方差：
- 概率密度函数：
| 分布名称 | 概率密度函数 | 表示方法 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|---|
| 正态分布 | N(μ,σ^2) | μ | ||
| 均匀分布 | U(a,b) | |||
| 指数分布 | Exp(λ) | |||
| 伽玛分布 | Γ(r,λ) | |||
| 贝塔分布 | B(α,β) | |||
| 对数正态分布 | LN(μ,σ^2) | |||
| 韦布尔分布 | W(k,λ) |