当前位置：首页 > article >正文

高等数学学习笔记 ☞ 函数的求导法则

article 2025/1/9 19:48:34

1. 函数和差积商的求导法则

设 $u=u(x),v=v(x)$ 均可导，则：

（1） $({u\pm v})'={u}'\pm {v}'$ 。（2） $({Cu})'=C{u}'$ ，其中 $C$ 为常数。

（3） $({uv})'={u}'v+ u{v}'$ 。 $\Rightarrow$ $({uvw})'={u}'vw+ u{v}'w+ uv{w}'$ 。（4） $({\frac{u}{v}})'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$ ，其中 $v\neq 0$ 。

2. 反函数的求导法则

备注：

①：函数与其反函数表示的都是同样两个集合之间的同样的对应关系，只不过这个对应过程是反过来的。反函数真正“反”的是

对应关系，而不是变量符号。

②：反函数求导时，需要保证函数与其反函数的式子中所使用的变量符号相同，同时表示的集合也要相同，即 $x$ 一定表示 $x$ 所在

的集合， $y$ 一定表示 $y$ 所在的集合，故对反函数求导时需要用本义反函数。

$eg:y =sinx\rightarrow x=arcsiny$ ； $eg:x =siny\rightarrow y=arcsinx$ 。

反函数的求导法则：如果函数 $x = f(y)$ 在区间 $I_{y}$ 内单调、可导且 ${f}'(y)\neq 0$ ，那么它的本义反函数 $y= f^{-1}(x)$ 在区间

$I_{x}=\left \{ x|x=f(y),y\in I_{y} \right \}$ 内也可导，且 ${[f^{-1}(x)]}' =\frac{1}{{f}'(y)}$ 或 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ 。

简要描述：本义反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。

3. 复合函数的求导法则

复合函数的求导法则：设复合函数 $y = f[g(x)]$ ,其中 $y = f(u),u=g(x)$ ,如果 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导, $y=f(u)$ 在 $g(x)$ 处可导,

则 $y = f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导。记作： ${f}'[g(x)]={f}'(u){g}'(x)$ 或者 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$ 。

简要描述：复合函数求导类似剥洋葱，从外层开始求导(内部看成一个整体)，一层一层往里求导，一直到最里层，然后将每一项

求导结果乘到一起。如： ${[(sinx)^{2}]}' = 2sinx*cosx$ 。

4. 高阶导数的求导法则

（1）高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

（2）一般而言：一阶导：记作 ${y}'$ 或者 $\frac{dy}{dx}$ ；二阶导：记作 ${y}'{}'$ 或者 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ；三阶导：记作 ${y}'{}'{}'$ 或者 $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ ；四阶导：记作 $y^{(4)}$ 或者 $\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ ；...

$n$ 阶导：记作 $y^{(n)}$ 或者 $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ 。

备注：

①： $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}$ 。 ②： $y=lnx\Rightarrow y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n}}$ 。

③： $y=sinx\Rightarrow y^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi}{2})$ 。 ④： $y=cosx\Rightarrow y^{(n)}=cos(x+n\frac{\pi}{2})$ 。

小贴士：

①：排列数： $A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$ 。组合数： $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 。 $0!=1$ 。

②：二项式展开式： $(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}b^{0}+C_{n}^{1}a^{n-1}b^{1}+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+...+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}$ 。

③：莱布尼茨公式： $(uv)^{(n)}=C_{n}^{0}u^{(n)}v^{(0)}+C_{n}^{1}u^{(n-1)}v^{(1)}+C_{n}^{2}u^{(n-2)}v^{(2)}+...+C_{n}^{n}u^{(0)}v^{(n)}$ 。

5. 隐函数的求导法则

（1）显函数与隐函数的定义：

①：显函数：能够直接的表达出因变量与自变量的关系的函数，即形如 $y = f(x)$ 的函数，如 $y=x+1$ 。

②：隐函数：不能够直接的表达出因变量与自变量的关系的函数，即形如 $f(x,y)=0$ 的函数，如 $x^{2}+y^{2}=1$ 。

（2）隐函数的求导法则：第一步：要明确是对哪个变量求导或者说谁是谁的函数；第二步：等号两边同时对变量求导。

求导时注意：若 $y$ 是 $x$ 的函数，对 $y$ 的表达式进行求导时，要按照复合函数的方法求导。

求导的结果： $x$ 和 $y$ 可以同时存在，若 $y$ 可替换，一般都将 $y$ 替换掉，故隐函数求导结果可能不唯一。

备注：举例说明，已知隐函数： $e^{y}+xy+e=0$ ，对 $x$ 求导：

首先等号两边同时对 $x$ 求导： $e^{y}*\frac{dy}{dx}+y+x*\frac{dy}{dx}=0$ ；然后进行整理： $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{e^{y}+x}(e^{y}+x\neq 0)$ 。

小贴士：对于幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$ 求导和特别复杂的分式形式的函数求导，一般采用对数求导法，即：

第一步：方法1：将 $y = u(x)^{v(x)}$ 转化为 $lny = lnu(x)^{v(x)}$ ；方法2：将 $y = u(x)^{v(x)}$ 转化为 $y = e^{lnu(x)^{v(x)}}$ 。

第二步：等号两边同时对 $x$ 求导。

第三步：对求导结果进行整理。

6. 参数方程的求导法则

（1）参数方程的简要描述：函数 $y = f(x)$ 中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ ，这两个人闹矛盾了，需要找一个中间人参数 $t$ 来做沟通的桥梁，即：

$y = f(x)\overset{t}{\rightarrow}\left\{\begin{matrix} x = \phi (t)\\ y = \psi (t) \end{matrix}\right.$ ，

此时，上述方程组就是函数 $y = f(x)$ 对应的参数方程。

（2）参数方程的求导法则：

①：一阶求导： $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }'(t)}{{\phi }'(t)}$ 。

②：二阶求导： $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt}=\frac{{[\frac{{\psi }'(t)}{{\phi }'(t)}]}'}{{\phi}' (t)}$ 。