fft分析数据求bode图原理

快速傅里叶变换（FFT）原理
 
- FFT是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。DFT的定义为X(k)=\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}，其中x(n)是离散时间序列（输入信号），N是序列的长度，k表示频率索引，j=\sqrt{- 1}。
- FFT通过利用DFT计算中的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N\log N)，大大提高了计算效率。它能够将时域信号转换为频域信号，揭示信号中包含的不同频率成分及其幅度和相位信息。
- 例如，对于一个由多个正弦波叠加而成的信号，FFT可以将其分解为各个正弦波对应的频率分量，每个频率分量的幅度表示该频率成分在原始信号中的强度，相位表示该频率成分的起始位置。
Bode图原理
- Bode图由幅值图和相位图组成，用于描述线性时不变（LTI）系统的频率响应特性。
- 幅值图：对于一个LTI系统，其频率响应函数H(j\omega)的幅值\vert H(j\omega)\vert表示输入信号中频率为\omega的正弦分量经过系统后，输出正弦分量幅值与输入正弦分量幅值之比。在Bode图中，幅值通常以分贝（dB）为单位，即20\log_{10}\vert H(j\omega)\vert。这样可以将乘法运算转换为加法运算，方便在对数坐标上绘制和分析。
- 相位图：频率响应函数H(j\omega)的相位\angle H(j\omega)表示输入信号中频率为\omega的正弦分量经过系统后，输出正弦分量相对于输入正弦分量的相位延迟（或超前）。在Bode图中，相位通常以度为单位绘制。
- Bode图的横坐标是频率\omega，通常采用对数坐标，这是因为LTI系统的频率响应在对数频率坐标下往往具有更简单的规律，例如，许多系统的幅值响应在对数频率坐标下可能呈现出直线段（如低频段的斜率为0的直线、高频段斜率为 - 20dB/decade的直线等），便于分析系统的频率特性，如系统的带宽、增益、相位裕度等。
利用FFT分析数据求Bode图的联系
- 当我们有一个系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)时，通过对它们进行FFT得到X(j\omega)和Y(j\omega)，那么系统的频率响应函数H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}。
- 利用FFT计算得到的H(j\omega)，我们可以分别计算其幅值\vert H(j\omega)\vert和相位\angle H(j\omega)，然后按照Bode图的绘制要求（幅值用dB表示，频率用对数坐标，相位用度表示）绘制出Bode图，从而分析系统的频率响应特性，如系统的增益随频率的变化情况、相位延迟随频率的变化情况等。