AI大模型架构背后的数学原理和数学公式，基于Transformer架构的数学公式有哪些？

大家好，我是微学AI，今天给大家介绍一下大模型架构大部分是基于Transformer架构的研发出来的，背后的数学原理涉及线性代数、概率论、优化理论等。以下是关键数学原理和公式的详细说明及示例。

大模型背后隐藏的数学原理

1. 线性变换（Linear Transformation）

大模型的核心操作之一是线性变换，公式为：
$$\mathbf{y}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$$

• $\mathbf{x}$ 是输入向量（维度 $d_{\text{in}}$）。
• $\mathbf{W}$ 是权重矩阵（维度 $d_{\text{out}}\times d_{\text{in}}$）。
• $\mathbf{b}$ 是偏置向量（维度 $d_{\text{out}}$）。
• $\mathbf{y}$ 是输出向量（维度 $d_{\text{out}}$）。

例子：
假设输入向量 $\mathbf{x}=[1,2,3{]}^{\top }$，权重矩阵 $\mathbf{W}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$，偏置向量 $\mathbf{b}=[0.5,-0.5{]}^{\top }$，则：
$$\mathbf{y}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.5\\ -0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.5\\ -0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4.5\\ 1.5\end{array}\right]$$

2. 位置编码（Positional Encoding）

Transformer模型使用位置编码来注入序列的位置信息，公式为：
$$P{E}_{(pos,2i)}=\sin \left(\frac{pos}{10000^{\frac{2i}{d}}}\right),P{E}_{(pos,2i+1)}=\cos \left(\frac{pos}{10000^{\frac{2i}{d}}}\right)$$

• $pos$ 是位置索引。
• $i$ 是维度索引。
• $d$ 是嵌入维度。

例子：
假设 $pos=1$，$d=4$，则：
$$P{E}_{(1,0)}=\sin \left(\frac{1}{10000^{0/4}}\right)=\sin (1),P{E}_{(1,1)}=\cos \left(\frac{1}{10000^{0/4}}\right)=\cos (1)$$
$$P{E}_{(1,2)}=\sin \left(\frac{1}{10000^{2/4}}\right)=\sin \left(\frac{1}{100}\right),P{E}_{(1,3)}=\cos \left(\frac{1}{10000^{2/4}}\right)=\cos \left(\frac{1}{100}\right)$$

3. 注意力机制（Attention Mechanism）

注意力机制的核心是计算查询（Query）、键（Key）和值（Value）之间的相似度，公式为：
$$\text{Attention}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})=\text{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }}{\sqrt{d_k}}\right)\mathbf{V}$$

• $\mathbf{Q}$ 是查询矩阵（维度 $n\times d_k$）。
• $\mathbf{K}$ 是键矩阵（维度 $m\times d_k$）。
• $\mathbf{V}$ 是值矩阵（维度 $m\times d_v$）。
• $d_k$ 是键的维度。
• $\text{softmax}$ 是归一化函数。

例子：
假设 $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{V}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，$d_k=2$，则：
$$\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
$$\text{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }}{\sqrt{2}}\right)=\text{softmax}\left(\left[\begin{array}{cc}0& 0.707\\ 0.707& 0\end{array}\right]\right)\approx \left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]$$
$$\text{Attention}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 3\end{array}\right]$$

4. 多头注意力机制（Multi-Head Attention）

多头注意力机制通过并行计算多个注意力头来捕捉不同的特征，公式为：
$$\text{MultiHead}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})=\text{Concat}({\text{head}}_1,{\text{head}}_2,\dots ,{\text{head}}_h){\mathbf{W}}^O$$
其中每个注意力头的计算为：
$${\text{head}}_i=\text{Attention}(\mathbf{Q}{\mathbf{W}}_i^Q,\mathbf{K}{\mathbf{W}}_i^K,\mathbf{V}{\mathbf{W}}_i^V)$$

• ${\mathbf{W}}_i^Q,{\mathbf{W}}_i^K,{\mathbf{W}}_i^V$ 是每个头的投影矩阵。
• ${\mathbf{W}}^O$ 是输出投影矩阵。
• $h$ 是注意力头的数量。

例子：
假设 $h=2$，$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{V}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，投影矩阵为：
$${\mathbf{W}}_1^Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],{\mathbf{W}}_1^K=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],{\mathbf{W}}_1^V=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
$${\mathbf{W}}_2^Q=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\mathbf{W}}_2^K=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\mathbf{W}}_2^V=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
则：
$${\text{head}}_1=\text{Attention}(\mathbf{Q}{\mathbf{W}}_1^Q,\mathbf{K}{\mathbf{W}}_1^K,\mathbf{V}{\mathbf{W}}_1^V)=\text{Attention}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})$$
$${\text{head}}_2=\text{Attention}(\mathbf{Q}{\mathbf{W}}_2^Q,\mathbf{K}{\mathbf{W}}_2^K,\mathbf{V}{\mathbf{W}}_2^V)=\text{Attention}(\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right])$$

5. 残差连接（Residual Connection）

残差连接用于缓解梯度消失问题，公式为：
$$\mathbf{y}=\text{Layer}(\mathbf{x})+\mathbf{x}$$

• $\mathbf{x}$ 是输入。
• $\text{Layer}(\mathbf{x})$ 是某一层的输出。

例子：
假设 $\mathbf{x}=[1,2{]}^{\top }$，某一层的输出 $\text{Layer}(\mathbf{x})=[0.5,-0.5{]}^{\top }$，则：
$$\mathbf{y}=[0.5,-0.5{]}^{\top }+[1,2{]}^{\top }=[1.5,1.5{]}^{\top }$$

6. 层归一化（Layer Normalization）

层归一化用于稳定训练过程，公式为：
$$\text{LayerNorm}(\mathbf{x})=\gamma \cdot \frac{\mathbf{x}-\mu }{\sigma }+\beta$$

• $\mathbf{x}$ 是输入向量。
• $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
• $\gamma$ 和 $\beta$ 是可学习的参数。

例子：
假设 $\mathbf{x}=[1,2,3{]}^{\top }$，$\mu =2$，$\sigma =\sqrt{\frac{(1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(3-2{)}^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\gamma =1$，$\beta =0$，则：
$$\text{LayerNorm}(\mathbf{x})=1\cdot \frac{[1,2,3]-2}{\sqrt{\frac{2}{3}}}+0\approx [-1.225,0,1.225]$$

7. GELU激活函数

GELU（Gaussian Error Linear Unit）是一种常用的激活函数，公式为：
$$\text{GELU}(x)=x\cdot \Phi (x)$$
其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数，近似计算为：
$$\text{GELU}(x)\approx 0.5x\left(1+\tanh \left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(x+0.044715x^3)\right)\right)$$

例子：
假设 $x=1$，则：
$$\text{GELU}(1)\approx 0.5\cdot 1\left(1+\tanh \left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}(1+0.044715\cdot 1^3)\right)\right)\approx 0.841$$

8. Softmax 函数

Softmax 函数用于将向量转换为概率分布，公式为：
$$\text{softmax}(\mathbf{z}{)}_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{z_j}}$$

• $\mathbf{z}$ 是输入向量。
• $z_i$ 是向量的第 $i$ 个元素。

例子：
假设 $\mathbf{z}=[1,2,3{]}^{\top }$，则：
$$\text{softmax}(\mathbf{z})=\left[\frac{e^1}{e^1+e^2+e^3},\frac{e^2}{e^1+e^2+e^3},\frac{e^3}{e^1+e^2+e^3}\right]\approx [0.090,0.245,0.665]$$

9. 损失函数（Loss Function）

大模型通常使用交叉熵损失函数，公式为：
$$\mathcal{L}(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{i=1}^n{y}_i\log ({\hat{y}}_i)$$

• $\mathbf{y}$ 是真实标签（one-hot 编码）。
• $\hat{\mathbf{y}}$ 是模型预测的概率分布。

例子：
假设真实标签 $\mathbf{y}=[0,1,0{]}^{\top }$，模型预测 $\hat{\mathbf{y}}=[0.1,0.7,0.2{]}^{\top }$，则：
$$\mathcal{L}(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-(0\cdot \log (0.1)+1\cdot \log (0.7)+0\cdot \log (0.2))=-\log (0.7)\approx 0.357$$

10. Dropout

Dropout是一种正则化方法，训练时随机丢弃部分神经元，公式为：
$$\mathbf{y}=\mathbf{m}\odot \mathbf{x}$$

• $\mathbf{m}$ 是掩码向量，元素为0或1，概率为 $p$。
• $\odot$ 是逐元素乘法。

例子：
假设 $\mathbf{x}=[1,2,3{]}^{\top }$，$p=0.5$，掩码 $\mathbf{m}=[1,0,1{]}^{\top }$，则：
$$\mathbf{y}=[1,0,1{]}^{\top }\odot [1,2,3{]}^{\top }=[1,0,3{]}^{\top }$$

11. 反向传播（Backpropagation）

反向传播通过链式法则计算梯度，公式为：
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{W}}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{y}}\cdot \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{W}}$$

• $\mathcal{L}$ 是损失函数。
• $\mathbf{y}$ 是模型输出。

例子：
假设 $\mathbf{y}=\mathbf{Wx}$，$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\mathbf{t}{)}^2$，则：
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{W}}=(\mathbf{y}-\mathbf{t})\cdot {\mathbf{x}}^{\top }$$

12. 梯度下降（Gradient Descent）

梯度下降用于优化模型参数，更新公式为：
$$\theta \leftarrow \theta -\eta {\nabla }_{\theta }\mathcal{L}$$

• $\theta$ 是模型参数。
• $\eta$ 是学习率。
• ${\nabla }_{\theta }\mathcal{L}$ 是损失函数对参数的梯度。

例子：
假设损失函数 $\mathcal{L}(\theta )={\theta }^2$，初始参数 $\theta =3$，学习率 $\eta =0.1$，则：
$${\nabla }_{\theta }\mathcal{L}=2\theta =6$$
$$\theta \leftarrow \theta -\eta {\nabla }_{\theta }\mathcal{L}=3-0.1\times 6=2.4$$

13. Adam优化器

Adam优化器结合了动量和自适应学习率，更新公式为：
$${\mathbf{m}}_t={\beta }_1{\mathbf{m}}_{t-1}+(1-{\beta }_1){\nabla }_{\theta }\mathcal{L}$$
$${\mathbf{v}}_t={\beta }_2{\mathbf{v}}_{t-1}+(1-{\beta }_2)({\nabla }_{\theta }\mathcal{L}{)}^2$$
$${\hat{\mathbf{m}}}_t=\frac{{\mathbf{m}}_t}{1-{\beta }_1^t},{\hat{\mathbf{v}}}_t=\frac{{\mathbf{v}}_t}{1-{\beta }_2^t}$$
$${\theta }_t={\theta }_{t-1}-\eta \frac{{\hat{\mathbf{m}}}_t}{\sqrt{{\hat{\mathbf{v}}}_t}+ϵ}$$

• ${\mathbf{m}}_t$ 和 ${\mathbf{v}}_t$ 分别是动量项和二阶动量项。
• ${\beta }_1,{\beta }_2$ 是衰减率。
• $\eta$ 是学习率。
• $ϵ$ 是平滑项。

例子：
假设 ${\nabla }_{\theta }\mathcal{L}=[0.1,-0.2{]}^{\top }$，${\beta }_1=0.9$，${\beta }_2=0.999$，$\eta =0.001$，$ϵ=1e-8$，初始 ${\mathbf{m}}_0={\mathbf{v}}_0=0$，则：
$${\mathbf{m}}_1=0.9\cdot 0+0.1\cdot [0.1,-0.2{]}^{\top }=[0.01,-0.02{]}^{\top }$$
$${\mathbf{v}}_1=0.999\cdot 0+0.001\cdot [0.1^2,(-0.2{)}^2{]}^{\top }=[0.0001,0.0004{]}^{\top }$$
$${\hat{\mathbf{m}}}_1=\frac{[0.01,-0.02{]}^{\top }}{1-0.9^1}=[0.01,-0.02{]}^{\top }$$
$${\hat{\mathbf{v}}}_1=\frac{[0.0001,0.0004{]}^{\top }}{1-0.999^1}=[0.0001,0.0004{]}^{\top }$$
$${\theta }_1={\theta }_0-0.001\cdot \frac{[0.01,-0.02{]}^{\top }}{\sqrt{[0.0001,0.0004{]}^{\top }}+1e-8}\approx {\theta }_0-[0.1,-0.1{]}^{\top }$$

以上是大模型架构背后的核心数学原理和公式。这些公式构成了深度学习模型的基础，并在实际应用中通过高效的数值计算库（如PyTorch、TensorFlow、Paddle）实现。