终极布朗尼盘-论文学习总结（来自美赛2013A题）
文章见资源。
题目
从中可以发现，主要由以下的要求：
- 模型1：热量分布的描述。
- 模型2：选择最优平底锅形状的模型。
论文分析
模型1：多边形烤盘边缘热分布
-
简单分析不均匀的原因：
-
严谨的分析：热传递有三种方式，着重分析金属烤盘的热传递。
-
热传导方程：
-
解方程工具：PDEtool。
-
解得：热平均度（方差） σ \sigma σ与边数m的关系.
-
结论：本 模 型 及 其结 果 合 理 解 释 了 长 方 形 烤 盘边 缘 受 热 不 均 匀 的 问 题 ， 同 时 揭 示 了 烤 盘 形 状 由 多 边 形 向 圆 形 逼 近 时 ， 边 缘 热 分 布 逐 渐平 均 的 变 化 规 律 。
个人收获：
使用方差表示热量的均匀分布的情况。
近似处理：温度恒定。
模型2：布朗尼烤盘优化设计模型
- 确定目标函数：引入烤盘面积剩余率
η
=
1
−
N
A
2
S
\eta =1-\frac{NA}{2S}
η=1−2SNA，其中S是单个烤盘的面积。引入烤盘温度差异程度
σ
=
Σ
n
i
σ
i
σ
0
\sigma=\frac{\Sigma n_i\sigma_i}{\sigma_0 }
σ=σ0Σniσi，这里的
σ
\sigma
σ都进行了归一化。目标函数是
2. 分类讨论：
| 不同情况 | 结论 | 几何约束 | 排布情况 |
|---|---|---|---|
| 情况1，最大化烤盘数目（p=1） | 矩形1 |  |  |
| 情况2：热分布程度最平均（p=0） | 圆形2 |  |   |
| 情况3：一般情况(p ∈ \in ∈(0,1)) | 矩形、正六边形、正八边形 、圆形以及它们的组合3 |  | 略 |
- 基于中心点阵正多边形排布法：
个人收获：
- 分类讨论的思想：排除大边数的那些形状；排除空隙比较大的那些形状。
- 简化的思想：
对于模型2中的基于中心点阵的正多边形算法还不是很理解（因为没有找到对应的matlab或者python代码），有理解比较透彻的小伙伴可以一起讨论。博主比较菜😂。
矩形的烤架，需要用矩形的烤盘，边缘才没有空隙才能让烤盘数目最大。 ↩︎
圆形的受热最均匀。是模型1的结论。
↩︎分类讨论这部分：
↩︎