【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的简洁实现
【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】 ⌈ ⌈ ⌈PyTorch深度学习 ⌋ ⌋ ⌋ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。
文章目录
- 一、初始化模型参数
- 二、重新审视Softmax的实现
- 三、优化算法
- 四、训练
- 小结
在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归的简洁实现 中，我们发现通过深度学习框架的高级API能够使实现线性回归变得更加容易。同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。本节与在【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 中一样，继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
一、初始化模型参数
如我们在【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归 所述，softmax回归的输出层是一个全连接层。因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights);
二、重新审视Softmax的实现
在前面【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 的例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲，这是一件完全合理的事情。然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。
回想一下，softmax函数
y
^
j
=
exp
(
o
j
)
∑
k
exp
(
o
k
)
\begin{aligned}\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\end{aligned}
y^j=∑kexp(ok)exp(oj)，其中
y
^
j
\hat y_j
y^j是预测的概率分布。
o
j
o_j
oj是未规范化的预测
o
\mathbf{o}
o的第
j
j
j个元素。如果
o
k
o_k
ok中的一些数值非常大，那么
exp
(
o
k
)
\exp(o_k)
exp(ok)可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为inf（无穷大），最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的
y
^
j
\hat y_j
y^j。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决这个问题的一个技巧是：在继续softmax计算之前，先从所有
o
k
o_k
ok中减去
max
(
o
k
)
\max(o_k)
max(ok)。这里可以看到每个
o
k
o_k
ok按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：
y
^
j
=
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
exp
(
max
(
o
k
)
)
∑
k
exp
(
o
k
−
max
(
o
k
)
)
exp
(
max
(
o
k
)
)
=
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
∑
k
exp
(
o
k
−
max
(
o
k
)
)
(1)
\begin{aligned} \hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\ & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))} \tag{1} \end{aligned}
y^j=∑kexp(ok−max(ok))exp(max(ok))exp(oj−max(ok))exp(max(ok))=∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok))(1)
在减法和规范化步骤之后，可能有些
o
j
−
max
(
o
k
)
o_j - \max(o_k)
oj−max(ok)具有较大的负值。由于精度受限，
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
\exp(o_j - \max(o_k))
exp(oj−max(ok))将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使
y
^
j
\hat y_j
y^j为零，并且使得
log
(
y
^
j
)
\log(\hat y_j)
log(y^j)的值为-inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。
尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
\exp(o_j - \max(o_k))
exp(oj−max(ok))，而可以直接使用
o
j
−
max
(
o
k
)
o_j - \max(o_k)
oj−max(ok)，因为
log
(
exp
(
⋅
)
)
\log(\exp(\cdot))
log(exp(⋅))被抵消了。
log
(
y
^
j
)
=
log
(
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
∑
k
exp
(
o
k
−
max
(
o
k
)
)
)
=
log
(
exp
(
o
j
−
max
(
o
k
)
)
)
−
log
(
∑
k
exp
(
o
k
−
max
(
o
k
)
)
)
=
o
j
−
max
(
o
k
)
−
log
(
∑
k
exp
(
o
k
−
max
(
o
k
)
)
)
(2)
\begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \tag{2} \end{aligned}
log(y^j)=log(∑kexp(ok−max(ok))exp(oj−max(ok)))=log(exp(oj−max(ok)))−log(k∑exp(ok−max(ok)))=oj−max(ok)−log(k∑exp(ok−max(ok)))(2)
我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
三、优化算法
在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
四、训练
接下来我们调用【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 中定义的训练函数来训练模型。
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。
小结
- 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
- 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。