数据结构(三) 排序/并查集/图

目录

1. 排序

2.并查集

3.图

1.排序:

1.1 概念:

        排序就是将数据按照某种规则进行排列, 具有某种顺序. 分为内排序和外排序.

内排序就是: 将数据放在内存中的排序; 外排序是: 数据太多无法在内存中排序的.

 1.2 插入排序:

        插入排序包含: 直接插入排序和希尔排序.

(1) 直接插入排序:

        (这里图是借用其他博主的), 直接插入排序就是将第i个数值进行和前i数值依次比较, i数值小就一直放到前面, 直到值比他更小或者比完. 时间复杂度是O(N^2). 稳定性: 稳定.

 

void InsertSort(int* a, int n)
{
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        int end = i;
        int tmp = a[end+1];

        while(end >= 0)
        {
            if(tmp < a[end])
            {
                a[end + 1] = a[end];
                end--;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
        a[end + 1] = tmp;
    }
}

 (2) 希尔排序:

        是采用gap进行分割前后数, 第i个数和i+gap个数进行比较如果a[i+gap]小于a[i]就交换.

gap算一趟, gap每次缩小1/2;  进行每趟调整. 时间复杂度是:O(NlogN); 稳定性: 不稳定.

void ShellSort(int* a, int n)
{
    int gap = n;
    while(gap > 1)
    {
        gap = gap / 2;
        for(int i = 0; i < n - gap; i++)
        {
            int end = i;
            int tmp = a[end + gap];
            while(end >= 0)
            {
                if(tmp < a[end])
                {
                    a[end + gap] = a[end];
                    end -= gap; 
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
            a[end + gap] = tmp;
        }
    }
}

1.3 选择排序:

选择排序包括选择排序和堆排序:

(1) 选择排序:

                每趟找到比最小的数, 遍历全数列的那种, 然后进行交换i和最小数值的位置. 时间复杂度是O(N^2); 稳定性: 不稳定.

        还可以依次选两个数, 最大和最小, 放在左边和右边, 进行遍历选择.

void Swap(int* x, int* y)
{
    int tmp = *x;
    *x = *y;
    *y = tmp;
}

void SelectSort(int* a, int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int start = i;
        int min = start;
        while(start < n)
        {
            if(a[start] < a[min])
                min = start;
            start++;
        }
        Swap(&a[i], &a[min]);
    }
}

void SelectSort(int* a, int n)
{
    int left = 0;
    int right = n - 1;
    while(left < right)
    {
        int minIndex = left;
        int maxIndex = left;

        for(int i = left; i <= right; i++)
        {
            if(a[i] < a[minIndex])
                minIndex = i;
            if(a[i] > a[maxIndex])
                maxIndex = i;
        }

        Swap(&a[minIndex], &a[left]);
        if(left == maxIndex)
        {
            maxIndex = minIndex;
        }
        Swap(&a[maxIndex], &a[right]);
        left++;
        right--;
    }
}

(2) 堆排序:

        具体看上一篇博客:数据结构(二)

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;

    while(child < n)
    {
        if(child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
        {
            child++;
        }
        if(a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}


void StackSort(int* a, int n)
{
    for(int i = (n-1-1) / 2; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(a, n, i);
    }

    int end = n - 1;
    while(end)
    {
        Swap(&a[0], &a[end]);
        AdjustDown(a, end, 0);
        end--;
    }
}

 1.4 交换排序:

        交换排序包含冒泡排序和快速排序:

(1) 冒泡排序:

        相邻两个数进行比较, 大的就交换,这样到最后的就一定是最大的数, 下一次只要遍历到这个最大数前一个即可. 时间复杂度是: O(N^2) ; 稳定性: 稳定;

void BubbleSort(int* a, int n)
{
    int end = 0;
    for(end = n - 1; end >= 0; end--)
    {
        int exchange = 0;
        for(int i = 0; i < end; i++)
        {
            if(a[i] > a[i+1])
            {
                Swap(&a[i], &a[i+1]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if(exchange = 0)
            break;
    }
}

 (2) 快速排序:

        时间复杂度就是O(NlogN), 稳定性: 不稳定.

 a.hoare版本

        最左边作为key进行比较的值, 其次就是left和right不断往中间走, right找到小于key的, left找到大于key的, 然后交换right和left; 将left和right相遇的点在进行分治法使用快速排序.

        

void QuickSort1(int* a, int begin, int end)
{
    if(begin >= end)
        return;
    
    int left = begin;
    int right = end;
    int keyi = left;
    while(left < right)
    {
        while(left < right && a[right] >= a[keyi])
        {
            right--;
        }

        while(left < right && a[left] <= a[keyi])
        {
            left++;
        }

        if(left < right)
        {
            Swap(&a[left], &a[right]);
        }
    }
    int meeti = left;
    Swap(&a[keyi], &a[meeti]);

    QuickSort1(a, begin, meeti-1);
    QuickSort1(a,  meeti+1, end);
}

b.挖坑法:

        和上面差别就是把key下标的值取出来了, 但是过程还是和上面一样.

void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
{
    if(begin >= end)
        return;

    int left = begin;
    int right = end;
    int key = a[left];
    while(left < right)
    {
        while(left < right && a[right] >= key)
        {
            right--;
        } 

        a[left] = a[right];
        
        while(left < right && a[left] <= key)
        {
            left++;
        }
        a[right] = a[left];
    }

    int meeti = left;
    a[meeti] = key;
    QuickSort2(a, begin, meeti - 1);
    QuickSort2(a, meeti + 1, end);
}

 c. 前后指针法:

//三数取中;
int GetMidIndex(int* a, int left, int right)
{
    int mid = left + (right - left) / 2;

    if(a[mid] > a[left])
    {
        if(a[mid] < a[right])
            return mid;
        else if(a[left] > a[right])
            return left;
        else
            return right;
    }
}

void QuickSort3(int* a, int begin, int end)
{
    if(begin >= end)
        return;

    int minIndex = GetMidIndex(a, begin, end);
    Swap(&a[begin], &a[minIndex]);

    int prev = begin;
    int cur = begin + 1;
    int keyi = begin;
    while(cur <= end)
    {
        if(a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)
        {
            Swap(&a[prev], &a[cur]);
        }
        cur++;
    }

    int meeti = prev;
    Swap(&a[keyi], &a[meeti]);

    QuickSort3(a, begin, meeti-1);
    QuickSort3(a, meeti + 1, end);
}

1.5 归并排序:

        归并排序是采用分治的方法, 将数据对半分开, 使用额外的空间进行收集对半开的数组之间的比较大小的数据. 时间复杂度是O(NlogN); 稳定性: 不稳定.

void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp)
{
    if(left >= right)
        return;
    
    int mid = left + (right - left) / 2;
    _MergeSort(a, left, mid, tmp);
    _MergeSort(a, mid+1, right, tmp);
    int begin1 = left, end1 = mid;
    int begin2 = mid + 1, end2 = right;

    int i = left;
    while(begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
    {
        if(a[begin1] < a[begin2])
            tmp[i++] = a[begin1++];
        else
            tmp[i++] = a[begin2++];
    }

    while(begin1 <= end1)
        tmp[i++] = a[begin1++];
    
    while(begin2 <= end2)
        tmp[i++] = a[begin2++];
    
    for(int j = left; j <= right; j++)
        a[j] = tmp[j];

}

void MergeSort(int* a, int n)
{
    int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    if(tmp == nullptr)
    {
        printf("malloc fail\n");
        exit(-1);
    }
    _MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);
    free(tmp);
}

 1.6 计数排序:

        采用计数每个元素出现的次数, 以及最小值和最大值记录, 利用额外空间记录每个元素出现次数, 然后再将原来数组进行额外数组的替换.

void CountSort(int* a, int n)
{
    int min = a[0];
    int max = a[0];

    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(a[i] < min)
            min = a[i];
        if(a[i] > max)
            max = a[i];
    }

    int range = max - min + 1;
    int* count = (int*)calloc(range, sizeof(int));
    if(count == nullptr)
    {
        printf("malloc fail!");
        exit(-1);
    }

    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        count[a[i] - min]++;
    }

    int i = 0;
    for(int j = 0; j < range; j++)
    {
        while(count[j]--)
        {
            a[i++] = j + min;
        }
    }
    free(count);
}

2. 并查集:

2.1 概念:

        由于不同元素但是又属于某种集合的数据, 存储使用到并查集合. 元素属于某种集合是按照某种规则来分类的. 需要查询某个元素, 需要找到对应集合去寻找.

        下标对应的就是集合编号, 里面的值对应这个元素属于哪个集合里的. 如果值为负数代表这个集合|拥有的元素数目|-1.

 2.2 并查集实现:

(1) 并查集结构:

        就是采用数组即可.

private:
    vector<int> _ufs;

(2) 初始化并查集:

        刚开始每个元素都是-1, 为根结点.

 //初始化并查集:刚开始都是-1.
    UnionFindSet(int n)
        :_ufs(n, -1)
    {}

(3) 查找元素的集合结点:

        遍历到负数的结点就是集合结点. 返回下标即可.

//查找元素所在集合:
    int FindRoot(int x)
    {
        int parent = x;
        //遍历到值为负数就是根结点.
        while(_ufs[parent] >= 0)
        {
            //不停迭代下标查询.
            parent = _ufs[parent];
        }
        return parent;
    }

 //递归方法查找;
    int _FindRoot(int x)
    {
        return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);
    }

(4) 检查两个元素是否在一个集合:

        只要检查两个结点是否是同一个集合结点即可.

 //判断两个元素是否在同一个集合中.
    bool InSameSet(int x1, int x2)
    {
        //检查两个元素根结点是否同一个即可.
        return FindRoot(x1)  == FindRoot(x2); 
    }

(5) 两个结点合并:

        首先找到两个元素结点的集合结点, 如果在一个集合里面就不用插入了, 不是的话, 将parent1作为元素个数大的集合, parent2进行合并到parent1里面. 然后改变parent1值的个数以及parent2集合的新集合结点.

//合并两个元素所在集合.
    bool UnionSet(int x1, int x2)
    {
        int parent1 = FindRoot(x1); int parent2 = FindRoot(x2);
        if(parent1 == parent2)
            return false;
        
        if(_ufs[parent1] > _ufs[parent2])
        {
            swap(parent1, parent2);
        }

        _ufs[parent1] += _ufs[parent2];
        _ufs[parent2] = parent1;
        return true;
    }

(6) 计算集合个数:

//查询集合里面的个数:
    int GetNum()
    {
        int count = 0;
        for(const int& val : _ufs)
        {
            if(val < 0)
                count++;
        }
        return count;
    }

(7) 压缩路径:

        在查找数据的时候就进行压缩路径, 找到该元素的集合结点, 以及它的父结点, 然后进行将这个结点一条路的元素都直接插入到集合结点里面. 而且一般使用于数据量比较大的时候.

//查找元素所在集合:
    //在查找集合结点的时候进行压缩.
    //+压缩路径:
    int FindRoot(int x)
    {
        int root = x;
        //遍历到值为负数就是根结点.
        while(_ufs[root] >= 0)
        {
            //不停迭代下标查询.
            root = _ufs[root];
        }

        while(_ufs[x] >= 0)
        {
            int parent = _ufs[x];
            _ufs[x] = root;
            x = parent;
        }
        return root;
    }

//递归方法查找 + 压缩;
    int _FindRoot(int x)
    {
        //return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);
        int parent = x;
        if(_ufs[x] >= 0)
        {
            parent = _FindRoot(_ufs[x]);
            _ufs[x] = parent;
        }
    }

(8) 元素编号和用户输入问题:

        用户一般不会输入数字编号, 可能会输入关键词, 这时候模板函数解决. 以及使用关键词和集合进行互相关联的方法, 就可以解决了.

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <utility>
#include <unordered_map>
using namespace std;
template<class T>
class UnionFindSet
{
public:
    //初始化并查集:刚开始都是-1.
    UnionFindSet(const vector<T>& v)
        :_ufs(v.size(), -1)
    {
        for (int i = 0; i < v.size(); i++)
        {
            _indexMap[v[i]] = i;
        }
    }

    //查找元素所在集合:
    //在查找集合结点的时候进行压缩.
    //+压缩路径:
    int FindRoot(const T& x)
    {
        int root = _indexMap[x];
        //遍历到值为负数就是根结点.
        while (_ufs[root] >= 0)
        {
            //不停迭代下标查询.
            root = _ufs[root];
        }

        //一般数据量少不需要压缩.
        // while(_ufs[x] >= 0)
        // {
        //     int parent = _ufs[x];
        //     _ufs[x] = root;
        //     x = parent;
        // }
        return root;
    }

    //递归方法查找 + 压缩;
    // int _FindRoot(int x)
    // {
    //     //return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);
    //     int parent = x;
    //     if(_ufs[x] >= 0)
    //     {
    //         parent = _FindRoot(_ufs[x]);
    //         _ufs[x] = parent;
    //     }
    // }

    //判断两个元素是否在同一个集合中.
    bool InSameSet(const T& x1, const T& x2)
    {
        //检查两个元素根结点是否同一个即可.
        return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
    }

    //合并两个元素所在集合.
    bool UnionSet(const T& x1, const T& x2)
    {
        int parent1 = FindRoot(x1); int parent2 = FindRoot(x2);
        if (parent1 == parent2)
            return false;

        if (_ufs[parent1] > _ufs[parent2])
        {
            swap(parent1, parent2);
        }

        _ufs[parent1] += _ufs[parent2];
        _ufs[parent2] = parent1;
        return true;
    }


    //查询集合里面的个数:
    int GetNum()
    {
        int count = 0;
        for (const int& val : _ufs)
        {
            if (val < 0)
                count++;
        }
        return count;
    }


private:
    vector<int> _ufs;
    //原来标记数据T的处于哪个集合里面.
    unordered_map<T, int> _indexMap;
};

int main() {
    vector<string> v = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "田七", "周八", "吴九" };
    UnionFindSet<string> ufs(v);
    cout << ufs.GetNum() << endl; //7

    ufs.UnionSet("张三", "李四");
    ufs.UnionSet("王五", "赵六");
    cout << ufs.GetNum() << endl; //5

    ufs.UnionSet("张三", "赵六");
    cout << ufs.GetNum() << endl; //4

    return 0;
}

3. 图

3.1 概念:

        由顶点的集合与顶点之间的关系数据结构,  G = (V， E); V就是顶点集合, E是边的集合.

图分为有向图和无向图, 边是有方向的就是有向图.

概念:

       (1) 完全图: 无向完全图: 任意两个顶点之间有且只要一条边,  那么n个顶点就一共有

n*(n-1)/2; 有向完全图: 任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边, n个顶点就是n*(n-1)条边.

       (2) 领接顶点: 一条边的两个相关连的顶点. 

       (3) 顶点的度: 与顶点相连的边的个数. 包含有入度(指向顶点的边)和出度(指出顶点的边).

       (4) 路径: 从顶点i到顶点j的一组边的集合.

       (5) 路径的长度: 不带权重的就是边的个数, 带权重就是边的权重的总和.

       (6) 简单路径和回路: 路径的结点都不会重复就是简单路径, 回路就是第一个顶点和最后一个结点重合就是回路.

       (8) 子图: 顶点和边包含于原图:

        (9) 连通图: 在无向图中任意一个结点都是相连的.

        (10) 强连通图: 在有向图中, 如果顶点i到顶点j有一条路径, 那么j到i也有.

        (11) 生成树: 连通图的最小连接子图. n个顶点那么就有n-1条边.

 3.2 图的结构:

        图由于只要描述顶点以及顶点之间的边即可, 保持顶点用数组即可, 但是边就需要临界矩阵了.

 3.3 邻接矩阵:

        表示两个顶点是否相连, 用0/1表示的. 邻接矩阵是二维数组. 先用一个一维数组进行保存顶点, 然后用二维数组进行保存边. 可以发现无向图的邻接矩阵是对称边界线的. 但是有向图就是不一定是对称的. 如果边有权重就用权重代替, 没有就是无穷代表.

 3.4 邻接矩阵实现:

(1) 邻接矩阵结构:

        使用_vertexs数组填写顶点的集合, V代表结点的关键词(没有具体类型使用到模板),  _vIndexMap填写的是顶点映射的下标(方便进行边关系的处理), _matrix就是一个二维的邻接矩阵(0/1表示关系).

namespace Matrix
{
    //V是记录结点关键词, W是记录结点关系, 邻接矩阵边初始都是最大值. Direction标志有向无向.
    template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
    class Graph
    {
    private:
        vector<V> _vertexs;//顶点集合;
        unordered_map<V, int> _vIndexMap; //顶点映射的下标;
        vector<vector<W>> _matrix; //邻界矩阵.
    };

}

(2) 初始化:

        _vertexs初始化将传递来的顶点信息进行插入, _matrix是矩阵的大小的初始化. 以及_vIndexMap将顶点进行对应映射.

        Graph(const V* vertexs, int n)
            //初始化顶点集合以及邻接矩阵.
            :_vertexs(vertexs, vertexs + n)
            ,_matrix(n, vector<int>(n, MAX_W))
        {
            //建立顶点映射.s
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                _vIndexMap[vertexs[i]] = i;
            }
        }

(3) 获取顶点下标:

        顶点的对应关系都是存储在_vIndexMap里面使用顶点关键词进行查询即可找到对应下标. 如果没有就是不存在这个结点.

        int getVertexIndex(const V& v)
        {
            auto iter = _vIndexMap.find(v);
            if(iter != _vIndexMap.end())
            {
                return iter->second;
            }
            else
            {
                throw invalid_argument("不存在的结点");
                return -1;
            }
        }

(4) 连接顶点:

        首先要获得两个顶点的下标, 然后将这两个下标在_matrix邻接表中填写对应权重即可.

        //src和dest进行连接.
        void addEdge(const V& src, const V& dest, const W& weight)
        {
            //先获取两个顶点的下标.
            int srci = getVertexIndex(src);
            int desti = getVertexIndex(dest);

            if(Direction == false)
            {
                _matrix[desti][srci] = weight;
            }
        }

(5) 打印:

        首先打印顶点以及对应的下标信息, 其次就是打印邻接表_matrix的数据, 没有连接的用*表示, 连接打印其中权重.

        void print()
        {
            //记录结点数:
            int n = _vertexs.size();

            //先打印结点关键词对应映射关系:
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                cout << "[" << i "]->" << _vertexs[i] << endl;
            }
            cout << endl;

            cout << " ";
            for(int i = 0; i < 0; i++)
            {
                printf("%4d", i);
            }
            cout << endl;
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                cout << i << " ";
                for(int j = 0; j < n; j++)
                {
                    //如果没有顶点相连接.打印*
                    if(_matrix[i][j] == MAX_W)
                    {
                        printf("%4c", '*');
                    }
                    else
                    {
                        //打印顶点之间的权重.
                        printf("%4d", _matrix[i][j]);
                    }
                }
                cout << endl;
            }
            cout << endl;
        }

(6) 邻接矩阵的优缺点:

        邻接矩阵可以很清楚看到两个顶点的连接情况, 但是不好统计一个顶的路径. 而且在边比较少的情况还有点浪费空间.

 3.5 邻接表:

        使用数组表示顶点集合, 链表表示边.

 3.6 邻接表实现:

(1) 结构:

        实现每个边需要存放目标顶点下标, 以及权重还有下个顶点指针. 图中包含顶点信息, 顶点映射, 以及邻接表(就是将顶点下标, 权重, 下一个顶点指针的指针数组).

namespace LinkTable
{
    template<class W>
    struct Edge
    {
        //int _srci; //源顶点下标;
        int _desti;//目标顶点下标.
        W _weight; //边权重;
        Edge<W>* _next; // 连接指针;

        Edge(int desti, const W& weight)
            :_desti(desti)
            ,_weight(weight)
            ,_next(nullptr)
        {}
    };


    template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
    class Graph
    {
        typedef Edge<W> Edge;
    private:
        vector<V> _vertexs;
        unordered_map<V, int> _vIndexMap;
        vector<Edge*> _LinkTable;
    };
} 

 (2) 初始化:

        将顶点数据进行拷贝以及初始化邻接表, 以及对应顶点映射关系.

Graph(const V* vertexs, int n)
            :_vertexs(vertexs, vertexs + n)
            ,_LinkTable(n, nullptr)
        {
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                _vIndexMap[vertexs[i]] = i;
            }
        }

(3) 找到顶点的下标:

        和邻接矩阵查找方式一样.

        int getVertexIndex(const V &v)
        {
            auto iter = _vIndexMap.find(v);
            if (iter != _vIndexMap.end())
            {
                return iter->second;
            }
            else
            {
                throw invalid_argument("不存在的结点");
                return -1;
            }
        }

(4) 顶点连接:

        首先找到两个顶点的下标, new一个新结点, 这个邻接表对应srci对应下标赋值给下标, 以及也要给邻接表挂结点. 如果是无向图还需要将目标顶点进行挂在对应邻接表中.

        int addEdge(const V& src, const V& dest, const W& weight)
        {
            int srci = getVertexIndex(src);
            int desti = getVertexIndex(dest);

            Edge* sdEdge = new Edge(desti, weight);
            sdEdge->_next = _LinkTable[srci];
            _LinkTable[srci] = sdEdge;

            if(Direction == false)
            {
                Edge* dsEdge = new Edge(srci, weight);
                dsEdge->_next = _LinkTable[desti];
                _LinkTable[desti] = dsEdge;
            }
        }

(5) 打印:

        先打印顶点下标和顶点, 然后取出邻接表的元素进行结点的遍历查询打印.

        void print()
        {
            int n = _vertexs.size();

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i];
                cout << endl;
            }
            cout << endl << endl;

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                Edge* cur = _LinkTable[i];
                cout << "[" << i << ":" << _vertexs[i] << "]->";

                while (cur)
                {
                    //先打印目标顶点下标, 目标顶点, 还有权重. 
                    cout << "[" << cur->_desti << ":" << _vertexs[cur->_desti] << ":" << cur->_weight << "]->";
                    cur = cur->_next;
                }
                cout << "nullptr";
                cout << endl;
            }
        }

 3.7 图的遍历:

(1) 广度优先遍历:

        根据图的一层层进行遍历查询.

        先找到对应顶点的下标, 创建队列, 和数组标记遍历的顶点, 然后遍历顶点队列, 如果邻接矩阵相连并且没有遍历过就进行查询.

        void bfs(const V& src)
        {
            //先找到对应的下标;
            int srci = getVertexIndex(src);
            queue<int> q;
            //原来标记是否遍历过的顶点.
            vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

            q.push(srci);
            visited[srci] = true;


            while(!q.empty())
            {
                int front = q.front();
                q.pop();
                cout << _vertexs[front] << " ";
                for(int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
                {
                    //判断相连并且没有遍历过.
                    if(_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
                    {
                        q.push(i);
                        visited[i] = true;
                    }
                }
                cout << endl;
            }
        }

 (2) 深度优先遍历:

        

        void _dfs(int srci, vector<bool>& visited)
        {
            cout << _vertexs[srci] << " ";
            visited[srci] = true;
            for(int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
            {
                if(_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i]== false)
                {
                    _dfs(i, visited);
                }
            }
        }


        void dfs(const V& src)
        {
            int srci = getVertexIndex(src);
            vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

            _dfs(srci, visited);
            cout << endl;
        }

3.8 最小生成树:

        1. 只能使用图中的边来构造最小生成树 2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点 3. 选用的n-1条边不能构成回路;

(1) Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法)

        使用贪心算法, 先选择最短的路径进行连接顶点, 然后也要判断不能成环.

        记录边使用Edge来记录源顶点和目的顶点, 然后就是使用优先级队列将所有边插入, 进行建立小堆. 还要借助并查集进行检查是否为环, 首先两个边不在同一个集合, 其次将边顶点进行合并, 增加最小生成树的边, 以及最后是否选择边为n-1来判断可以成最小生成树不.

        struct Edge
        {
            int _srci;
            int _desti;
            W _weight;
            Edge(int srci, int desti, const W& weight)
                :_srci(srci)
                ,_desti(desti)
                ,_weight(weight)
            {}

            bool operator>(const Edge& edge) const
            {
                return _weight > edge._weight;
            }
        };


        //强制生成默认构造;
        Graph() = default;

        //最小生成树, 最后返回权重.
        W Kruskal(Graph<V, W, MAX_W, Direction>& minTree)
        {
            int n = _vertexs.size();

            //设置最小生成树的顶点集合;
            minTree._vertexs = _vertexs;
            //设置最小生成树的顶点映射;
            minTree._vIndexMap = _vIndexMap;
            //设置最小生成树邻接矩阵的大小.
            minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));

            priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minHeap;

            //将所有边放到优先级队列中;
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                //只用遍历一般矩阵, 因为无向图的对称.
                for(int j = 0; j < i; j++)
                {
                    if(_matrix[i][j] != MAX_W)
                    {
                        minHeap.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
                    }
                }
            }

            n个顶点的并查集;
            UnionFindSet ufs(n);
            int count = 0;//选择边的个数;
            W totalWeight = W();//总权重;

            while(!minHeap.empty() && count < n-1)
            {
                //取出优先级队列的最小的边;
                Edge minEdge = minHeap.top();
                minHeap.pop();
                int srci = minEdge._srci;
                int desti = minEdge._desti;
                W weight = minEdge._weight;

                //两个边不属于一个集合.
                if(!ufs.InSameSet(srci, desti))
                {
                    minTree.addEdge(srci, desti, weight);
                    //合并两个顶点.
                    ufs.UnionSet(srci, desti);
                    count++;
                    totalWeight += weight;
                    cout << "选边: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;
                }
                else
                {
                    cout << "成环: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;
                }
            }
            if(count == n - 1)
            {
                cout << "构建最小生成树成功" << endl;
                return totalWeight;
            }
            else
            {
                cout << "无法构成最小生成树" << endl;
                return W();
            }
        }

 (2) Prim算法（普里姆算法）

        先选顶点在进行贪心遍历.

        首先设置最小生成树的顶点集合, 顶点映射, 邻接矩阵. 找到开始start顶点的下标, 使用forest进行记录顶点使用情况, 优先级队列minheap进行记录边的使用, 将所有边插入minHeap; 遍历优先级队列的边, 以及将顶点srci和desti进行连接, 标志一下这个位置以及选过了,, 接着就是判断是否进行使用n-1条边.

        W Prim(Graph<V, W, MAX_W, Direction>& minTree, const V& start)
        {
            int n = _vertexs.size();

            //设置最小生成树的顶点集合;
            minTree._vertexs = _vertexs;
            //设置最小生成树的顶点映射;
            minTree._vIndexMap = _vIndexMap;
            //设置最小生成树邻接矩阵的大小.
            minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));

            int starti = getVertexIndex(start);
            vector<bool> forest(n, false);
            forest[starti] = true;
            priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minHeap;

            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                if(_matrix[starti][i] != MAX_W)
                {
                    minHeap.push(Edge(starti, i, _matrix[starti][i]));
                }
            }

            int count = 0;
            W totalWeight = W();
            while(!minHeap.empty() && count < n - 1)
            {
                Edge minEdge = minEdge.top();
                minHeap.pop();
                int srci = minEdge._srci, desti = minEdge._desti;
                W weight = minEdge._weight;

                if(forest[desti] == false)
                {
                    for(int i = 0; i < n; i++)
                    {
                        if(_matrix[desti][i] != MAX_W && forest[i] == false)
                        {
                            minHeap.push(Edge(desti, i, _matrix[desti][i]));
                        }
                    }
                    minTree._addEdge(srci, desti, weight);
                    forest[desti] = true;
                    totalWeight += weight;
                    cout << "选边: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;
                }
                else
                {
                    cout << "成环" << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;
                }
            }
            if(count == n - 1)
            {
                cout << "构建最小生成树成功" << endl;
                return totalWeight;
            }
            else
            {
                cout << "无法构建最小生成树" << endl;
                return W();
            }
        }

3.9 最短路径:

(1) Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）

         void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath)
        {
            int n = _vertexs.size();
            int srci = getVertexIndex(src);
            //各个顶点权重初始化;
            dist.resize(n, MAX_W);
            //顶点的前驱初始值.
            parentPath.resize(n, -1);

            dist[srci] = W();//源顶点权重设置;
            vector<bool> S(n, false);//使用过顶点数组;
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                //最小权重;
                W minW = MAX_W;
                //最小权重的顶点;
                int u = -1;
                for(int j = 0; j < n; j++)
                {
                    //顶点没有使用过并且它的权重小于最小权重;
                    if(S[j] == false && dist[j] < minW)
                    {
                        //改变最小权重和最小权重的结点;
                        minW = dist[j];
                        u = j;
                    }
                }
                S[u] = true;

                //对连接出去的顶点进行松弛更新;
                for(int b = 0; v < n; v++)
                {
                    //如果u顶点到v顶点相连, 并且v顶点没有使用过, 其次就是最小权重数组dist的u顶点+权重u到v小于最小权重dist的v顶点;
                    //就改变dist的v顶点的最小权重, 并且建立一下上一个顶点.
                    if(S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v])
                    {
                        dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];
                        parentPath[v] = u;
                    }
                }
            }
        }

        void printShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& parentPath)
        {
            int n = _vertexs.size();
            int srci = getVertexIndex(src);

            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                vector<int> path;
                int cur = i;
                //cur从结点开始向前遍历找上一个顶点.
                while(cur != -1)
                {
                    path.push_back(cur);
                    cur = parentPath[cur];
                }
                revese(path.begin(), path.end());

                //打印顶点元素, 以及路径的权重.
                for(int j = 0; j < path.size(); j++)
                {
                    cout << _vertexs[path[j]] << "->";
                }
                cout << "路径的权重: " << dist[i] << " " <<endl;
            }
        }

(2) Bellman-Ford算法（贝尔曼福特算法）

        先获得src顶点的下标, 将权重数组dist以及前结点数组parentpath进行初始化. 如果顶点i与顶点i和j之间的权重之和小于dist[i,j]就更新权重数组.以及前结点数组. 如果继续更新还可以找到最小路径就是负权重, 无法进行计算最小路径.

        void BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath)
        {
            int n = _vertexs.size();
            int srci = getVertexIndex(src);
            dist.resize(n, MAX_W);
            parentPath.resize(n, -1);

            dist[srci] = W();
            for(int k = 0; k < n - 1; k++)
            {
                bool update = false;
                for(int i = 0; i < n; i++)
                {
                    for(int j = 0; j < n; j++)
                    {
                        if(_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
                        {
                            dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
                            parentPath[j] = i;
                            update = true;
                        }
                    }
                }
                if(update == false)
                {
                    break;
                }
            }

            //如果n-1轮还可以更新就是带有负权重.
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                for(int j = 0; j < n; j++)
                {
                    if(_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
                    {
                        //带负权重无法计算出最小路径.
                        return false;
                    }
                }
            }
            return true;
        }

(3) Floyd-Warshall算法（弗洛伊德算法）

        vvDist进行顶点i到顶点j的二维数组, vvparentPath记录前一个顶点. 首先将顶点相连的权重全部插入vvDist里面, 其次就是当i==j就是顶点到自己的. 然后如果顶点i到顶点k以及顶点k到顶点j的权重小于顶点i到j就进行更新vvDist以及vvparentPath.

        void FloydWarshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvparentPath)
        {
            int n = _vertexs.size();
            vvDist.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));
            vvparentPath.resize(n, vector<int>(n, -1));

            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                for(int j = 0; j < n; j++)
                {
                    if(_matrix[i][j] != MAX_W)
                    {
                        vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
                        vvparentPath[i][j] = i;
                    }
                    if(i == j)
                    {
                        vvDist[i][j] = W();
                    }
                }
            }

            for(int k = 0; k < n; k++)
            {
                for(int i = 0; i < n; i++)
                {
                    for(int j = 0; j < n; j++)
                    {
                        if(vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W 
                        && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])
                        {
                            vvDist[i][j]= vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
                            vvparentPath[i][j] = vvparentPath[k][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }