浅谈微积分与e^x理解

【全文大纲】 : https://blog.csdn.net/Engineer_LU/article/details/135149485

一) 背景

• 微积分（Calculus）‌是数学中的一个基础学科，主要研究函数的微分（Differentiation）和积分（Integration）及其应用。微积分包括微分学和积分学两部分，分别研究函数在某一点的瞬时变化率和在一段区间内的累积变化量‌

• 微分学研究函数在某一点的瞬时变化率，主要包括极限理论、导数和微分等内容。导数描述了函数在某一点的斜率或变化率，可以用于求解最大值、最小值和拐点等问题。微分则是导数的另一种表达方式，用于描述函数在某点的微小变化量‌

• 积分学研究函数在一段区间内的累积变化量，主要包括定积分和不定积分等内容。定积分用于计算曲线的长度、面积、体积等，而不定积分则是求定积分的逆运算。积分在物理和工程中有广泛应用，例如计算物体的质量、速度等‌

• 微积分的历史可以追溯到17世纪，由艾萨克·牛顿和莱布尼茨独立发明。微积分的思想在古代已有萌芽，例如古希腊的泰勒斯和阿基米德的研究工作。现代微积分广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域，是现代科学和技术的基础‌

• 以下开展的规律与理解为个人思考总结而得，若有错误，欢迎指正，谢谢大家

二) 微分，积分之间的关系

    1. 当变量在底数，指数是常数时，求导规律为

    $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

    2. 当变量在底数，指数是常数时，积分规律为

    $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

    3. 当变量在指数，底数是常数时，微分规律为

    $\frac{d}{dt}{e}^{ax}=a{e}^{ax}$

    4. 当变量在指数，底数是常数时，积分规律为

    $\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}$

    总结 : 微积分里有一个概念，积分与微分是逆运算的关系，而以变量在指数时，这句话就直接体现出来了，原函数 $e^{ax}$ 乘系数a为导数，除系数a为积分，因此为逆运算的关系，这里以导数，原函数，积分来分析

三) 链式法则

    1. 链式法则的意义在于对任何一个函数求导，都可以从从外层到内层，一层一层求导，从而得出整个原函数的导数，如果 $y=f(g(x))$ 那么 :

    $\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dg}\ast \frac{dg}{dx}$

    2. 或者用符号来表示 :

    $\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x)\ast g^{\prime }(x))$

    3. 应用到多个层级的复合函数

    $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(h(x))\ast g^{\prime }(h(x)))\ast h^{\prime }(x)$

    4. 应用到更多复合函数

    $\frac{dy}{dx}=f_1^{\prime }(f_2^{\prime }(...(fn(x))))\ast f_2^{\prime }(f3(...(f_n(x))))......(f_n^{\prime }(x))$

    总结 : 基于步骤1，2可以总结出链式法则可以从外层到内层逐层求导，最后全部乘在一起，得到整个原函数的导数，那么当知道原函数导数，也可以用几层的导数来求出某一层的导数

四) 关于 $e^x$ 的理解

    1 . $e^x$很神奇，因为它的导数和积分都是自身，属于天选了，在这方规则下，冥冥之中 $e^x$ 为天地宇宙的自然规律，$e$ 也被称之为自然常数，$e$ 用数学来描述则是 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 当n趋向于无穷，则该式子的结果被定义为 $e$，若用生活中的例子表示 $e$，则有个恰当的例子，也就是复利，假设银行存定期一年的利率是100%，当然，实际银行不会给这么高的利率，这里只是假设，而银行允许你中途取出再存入，那么存半年的利率就是50%，也就是说你存100块，半年后加上利息是150块后再存入，直到再过半年，那么此时150*1.5=225，可以明显看到如果银行允许你重复取出再存入不重新调整利率的话，那么存半年会比存一年多了25块，那么如果我每天都这样存进去又拿出来再存进去呢，那么结果将是 $(1+\frac{1}{365}{)}^{365}\approx 2.71456$， 这里明显看到n从2到365，结果增长的速度会随着n的增加而减小，当n趋向于无穷时，结果 ≈ 2.718281828459，是个无限不循环小数，按生活中例子来再分析一下思想，是什么限制了这个结果，个人理解是一开始的100%利率，也就是说在规定时间内产生100%的效益这个条件本身就是限制后面结果的根源，而我们的世界，每样事情都有时间周期，都有效益的上限，周期是未知，上限被认为是100%，因此 $e$ 与很多发展的规律都息息相关

    2 . 上面说了那么多解释了 $e$ 的由来，那么 $e^x$ 又是怎么回事？ 先用数学证明一下为什么 $e^x$ 的导数与积分都是自身 :

      $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

    3 . 对于$f(x)=e^x$，代入得 :

      $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}$

    4 . 基于指数法则 $e^{x+\Delta x}=e^x{e}^{\Delta x}$ ，所以 :

      $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^x{e}^{\Delta x}-e^x}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$

    5 . 由于$e^x$是常数，能够提到外面 ，所以 :

      $f^{\prime }(x)=e^x{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

    6 . 现在需要证明这个极限。可以利用 $e^x$ 在 x=0 处的泰勒展开式 或者看其改点加速度变化趋势其实是一样，所以 :

      ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$

    7 . 基于步骤6得到后段极限求出是1，所以$e^x$的导数是自身 :

      $f^{\prime }(x)=e^x\ast 1=e^x$

    8 . 接下来求$e^x$积分, 定义如下：

      $\int e^{x}dx$

    9. 根据定积分的基本性质，因为刚刚已经证明$e^x$的导数是自身，则用反向求导法展示为：

      $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

    10 . 因此，积分$\int e^{x}dx$的结果如下，其中C是常数 :

      $\int e^{x}dx=e^x+C$

    总结 . 上面通过求极限的思路证明$e^x$的导数和积分是自身，总结是其极限变化趋势一致，因此极限相约得1，那么重点就是其极限变化趋势一致，有一种体会，$e$在多维度下合成的增长速度或存在痕迹与原个体当下一样，那么冥冥之中过去，现在…亦是未来，合成在一起的我与平行时空合体的我是同一个我，这里有一种道，待有缘人理解…，冥冥中中万物归源

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