2025美赛数学建模A题：解题的长期磨损——思路+代码+模型：

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2025 MCM 问题 A: 阶梯的长期磨损

石头是坚定持久的象征，雕刻的岩石由于其耐磨性被用作建筑材料。尽管其耐用性很强，石头并非不受磨损的影响。唯一比它更坚韧的，可能就是人类的坚持不懈。

图1: 长时间使用后磨损不均的阶梯实例。

用于建造阶梯的石材和其他材料会遭受持续的长期磨损，而磨损可能是不均匀的。例如，极为古老的庙宇和教堂可能会有阶梯，其中踏步的中心部分比两侧磨损得更严重，踏步的顶部不再平整，可能会呈现弯曲的形态。由于这些结构的性质，这些建筑物往往长时间由人们居住，但是在特定地点的人的存在往往早于建筑物的建设。这可能使得准确确定结构建造的年代变得困难。

情况变得更加复杂的是，当一个结构的建设经过了非常长时间，进行过翻修，并且随着时间的推移不断增加新部分时，也很难准确判断建筑的年代。

你的团队需要为考古学家提供指导，帮助他们从一组磨损的阶梯中提取信息。这些阶梯可能由不同的材料建成，例如石材或木材。此外，可能会有一个大致的建造年代估算，然而，确切的年代可能很难获得。历史记录中可能无法清晰地指出每个时期建筑中的阶梯是何时建造的。

除了年代，考古学家可能还对阶梯使用的交通模式感兴趣。例如，人在同一时间是同时上下楼梯，还是有某个方向的流动更为常见？考古学家可能还想了解楼梯的使用频率。例如，是否在短时间内有大量的人使用，还是在很长时间里只有少数人使用？

你的团队需要开发一个模型，能够根据磨损模式判断出基本结论。你的模型应该提供以下问题的基本预测：

• 阶梯使用的频率如何？
• 是否存在某种特定方向的偏好？
• 同时使用阶梯的人数是多少？（例如，是否有两个人并肩爬楼，还是单列行进？）

你可以假设考古学家可以接触到相关结构，并能够获得你团队认为重要的测量数据。测量必须以非破坏性方式进行，成本要相对较低，而且测量可以由一个小团队通过最少的工具完成。你应该明确所需的测量内容。

有一些问题可能更难以解答。假设存在一个年代估算，并且了解了楼梯使用的方式和结构内日常生活的模式，请确定如何为以下问题提供指导：

• 磨损与现有信息一致吗？
• 楼梯的年代是多少？这个估算的可靠性如何？
• 进行了哪些修复或翻修工作？
• 能否确定材料的来源？例如，如果使用了石材，磨损是否符合考古学家认为的原始采石场的材料，或者如果使用了木材，磨损是否与假设使用的树木的年龄和类型一致？

• 关于使用楼梯的人员数量可以得出哪些信息？是否在短时间内有大量的人使用楼梯，还是在更长时间内只有少数人使用楼梯？

你的PDF解决方案文件不超过25页，应该包括：

• 一页的总结表
• 目录
• 完整的解决方案
• 参考文献
• AI使用报告（如果使用AI，该部分不计算在25页限制内）