2025数学建模美赛|E题成品论文

E题

摘要

随着农业的发展，生态平衡问题成为农业生产中的重要研究课题。本文针对农业生态系统中的问题，基于自然过程和人类决策思想，通过确定物种变化、农业实践影响、化学品使用等指标，以追踪生态系统演变和农业选择为目标建立了动态模型，并使用遗传算法、模拟退火算法等对模型进行求解。

针对问题一：问题一为对当前农业生态系统的建模。我们通过构建食物链模型，分析了在茂密森林被新农业生态系统取代后的生态系统动态。使用Lotka-Volterra方程组，我们模拟了不同物种之间的相互作用。同时，考虑到除草剂和杀虫剂的使用，我们研究了化学物质对植物健康、昆虫种群、蝙蝠和鸟类种群以及整体生态系统稳定性的影响。

针对问题二：问题二为纳入物种的重新出现。随着时间的推移，边缘栖息地逐渐成熟，带回了原生物种。我们选择了两种不同的物种，将它们纳入模型以确定它们的影响。通过调整Lotka-Volterra模型参数及引入遗传算法和新的种群动态方程，我们模拟了这些物种的重新出现及其对现有农业生态系统的影响。

针对问题三：问题三探讨了农民减少除草剂使用的可能性。我们模拟了在去除除草剂后的生态系统稳定性。引入蝙蝠作为生态系统的一部分，有助于控制害虫种群并支持植物繁殖。蝙蝠通过捕食昆虫和充当授粉者，显著增强了生态系统的稳定性。同时，我们还引入了一种能够恢复生态平衡的另一物种（如捕食害虫的鸟类），结果显示，蝙蝠对生态系统的正面影响更为显著，但两者结合能够进一步提高生态系统的稳定性。

针对问题四：问题四为分析农民考虑采用有机农业方法的可能性。我们研究了不同有机农业情景，在模型中引入了模拟退火算法分析其对整个生态系统及其单独组成部分的影响。具体分析显示，有机农业能够减少化学物质对环境的负面影响，增强土壤健康，提高农产品质量，并促进生态系统的整体稳定性。

综上所述，本文围绕探讨农业生态系统中的生态平衡问题展开，涉及物种间相互关系、化学物质影响、农业周期和季节性变化等多个方面。通过综合运用Lotka-Volterra模型、第四阶Runge-Kutta方法、遗传算法、模拟退火算法等数学模型和优化算法，对农业生态系统中的生态平衡问题进行了深入探讨，从而为农业生态系统的可持续发展提供了理论依据。本文通过建立一系列的数学模型和算法，深入分析了生态系统中的复杂关系和影响因素。这些模型不仅揭示了农业生态系统的动态平衡，还为未来的农业管理和生态保护策略提供了科学支撑。

关键词： 农业生态系统，Lotka-Volterra，Runge-Kutta，遗传算法，模拟退火算法

一、 问题重述

1.1 问题背景

现代农业的发展导致了农业生态系统的显著变化，尤其是农田取代茂密森林的现象，引发了生态平衡的破坏[1]。农田与森林之间的这种转变不仅影响了不同物种的生存状况，也对土壤质量、植物健康以及整体生态系统的稳定性产生了深远的影响。

在传统农业生态系统中，物种之间存在复杂的相互关系，如作物、昆虫、蝙蝠、鸟类以及化学物质（如除草剂、杀虫剂）[3]。这些相互关系在生态系统演变过程中不断变化，随着气候变化和人类活动的增强，这些变化变得更加显著。特别是化学物质的使用，对植物健康、昆虫种群、蝙蝠和鸟类种群的影响尤为重要。

另外，季节性变化也是影响农业生态系统的重要因素[3]。不同季节对作物生长和昆虫繁殖有着不同的影响，从春季的快速生长期到冬季的休眠期，这些变化直接关系到农作物的产量和生态系统的稳定性。

随着时间的推移，边缘栖息地逐渐成熟，部分原生物种可能逐渐回归。这些回归的物种与现有农业生态系统中的物种相互作用，进一步影响农业生态系统的结构与稳定性。研究这些物种间的相互作用，以及农药去除后生态系统的变化，对于实现可持续农业至关重要。

此外，现代绿色农业方法，特别是有机农业，越来越受到关注[4]。与传统农业相比，有机农业通过减少化学物质的使用，促进了生态系统的健康和稳定[5]。这种农业实践方式不仅有助于提高作物产量，还可以有效地保护和恢复生态平衡。

综上所述，理解农业生态系统中各个因素的相互作用，以及探索如何通过优化生态系统结构和减少化学物质使用，来实现可持续的农业发展，是当前农业生态学研究的核心问题[6]。

1.2 问题提出

问题 1：为新农业生态系统构建一个基本的食物链模型，涵盖生产者和消费者，考虑农业周期和季节性变化及除草剂和杀虫剂的影响，分析这些化学物质对生态系统稳定性的影响。

问题 2：随着边缘栖息地的成熟，原生物种逐渐回归。将两种不同的原生物种纳入模型，确定它们对农业生态系统的影响。

问题 3：分析如果农民减少使用除草剂，生态系统在生产者和消费者方面的稳定性。将蝙蝠引入食物链模型，分析它们作为食虫动物和授粉者对生态系统的影响，并确定另一种能有助于恢复生态平衡的物种并比较其影响。

问题 4：分析农民采用有机农业方法的可能性，评估不同有机农业情景对生态系统及其组成部分的影响，讨论害虫控制、作物健康、植物繁殖、生物多样性、长期可持续性和成本效益等方面。

二、 问题分析

问题 1：对当前农业生态系统进行建模。我们需要构建一个食物链模型，分析在茂密森林被新农业生态系统取代后的生态系统动态。使用Lotka-Volterra方程组模拟不同物种之间的相互作用，并研究化学物质（如除草剂和杀虫剂）对植物健康、昆虫种群、蝙蝠和鸟类种群及整体生态系统稳定性的影响。

问题 2：纳入重新出现的物种。随着边缘栖息地的成熟，原生物种逐渐回归。我们需要选择两种不同的物种，将它们纳入模型，通过调整Lotka-Volterra模型参数及引入遗传算法和新的种群动态方程，模拟这些物种的重新出现及其对现有农业生态系统的影响。

问题 3：探讨减少除草剂使用的可能性。我们需要模拟在去除除草剂后的生态系统稳定性，引入蝙蝠作为生态系统的一部分，研究它们通过捕食昆虫和充当授粉者对生态系统的影响。此外，还需要引入另一种能够恢复生态平衡的物种，以比较其与蝙蝠对生态系统的影响。

问题 4：分析采用有机农业方法的可能性。我们需要研究不同有机农业情景，引入模拟退火算法分析其对整个生态系统及其单独组成部分的影响，具体探讨有机农业在减少化学物质负面影响、增强土壤健康、提高农产品质量及促进生态系统整体稳定性方面的效果。

三、 模型假设与符号说明

3.1 模型基本假设

1.生物种群动态假设

（1）物种之间相互作用的类型和强度：假设不同物种之间的相互作用可以用Lotka-Volterra方程组来描述，即捕食者-猎物关系、竞争关系或共生关系等。

（2）物种种群增长率：假设物种在没有相互作用的情况下的内禀增长率为常数。

2.环境和资源假设

（1）环境容量：假设每个物种的种群数量受环境容量的限制，即资源有限，环境容量为常数。

（2）资源均匀分布：假设资源在空间上是均匀分布的，各个物种能够均等地获取资源。

3.农业管理措施假设

（1）除草剂使用：假设除草剂对某些特定植物种（如杂草）有显著影响，但对其他物种（包括作物和天敌）没有直接影响。

（2）天敌引入：假设引入的天敌能够有效地控制特定害虫种群，并对其他物种（包括作物和原生物种）的影响最小。

（3）有机农业措施：假设有机农业措施（如减少农药和化肥的使用）能够促进生物多样性和生态系统的稳定。

4. 数值模拟假设

（1）时间步长和计算精度：假设Runge-Kutta算法的时间步长选择合理，能够确保数值模拟的精度和稳定性。

（2）初始条件：假设初始条件（如初始种群数量和分布）已知，并且能够代表实际生态系统的状态。

5. 原生物种回归假设

（1）原生物种的生态位：假设原生物种具有稳定的生态位，回归后能够重新占据生态系统中的特定位置。

（2）生态系统恢复能力：假设生态系统具有一定的恢复能力，即在去除除草剂后，原生物种能够逐步恢复并对生态系统产生积极影响。

四、问题一模型建立与求解

本节的核心是构建一个反映新农业生态系统中作物、昆虫、蝙蝠、鸟类及化学物质（除草剂、杀虫剂）影响的动态食物链模型。农业生态系统经历了从茂密森林到农田的转化，导致了生态平衡的破坏。模型需要描述不同物种之间的相互关系，分析农业周期、季节性变化、化学物质使用对植物健康、昆虫种群、蝙蝠和鸟类种群的影响。

4.1 从茂密森林到农田：农业生态系统的转化

农业生态系统从森林转化为农田的过程涉及多个关键因素：

（1）生物多样性丧失：森林中的物种多样性下降，取而代之的是农业作物的单一性。

（2）土壤质量变化：森林土壤富含有机质，而农业用地则依赖耕作和施肥来改善土壤，可能导致土壤退化。

（3）生态平衡改变：农业干预（如农药和化肥）打破了森林中的自然生态平衡，导致作物与害虫之间的动态变化。

（4）气候影响加剧：农业生产对气候变化和季节波动更为敏感，尤其是在作物生长阶段。

（5）人类活动增多：农业活动依赖大量的人工干预（农药、肥料等），加剧了生态系统的人工化特征。

（1）森林阶段：图1中，森林阶段的各项指标几乎接近最大值，表现出其生物多样性、土壤质量、生态平衡的高度稳定性，气候影响较小，人类活动的影响较少。

（2）转化阶段：随着森林向农田的转化，生物多样性下降，土壤质量稍有下降，生态平衡的稳定性变差。农业活动的影响逐渐增加，气候变化对作物生长产生了更大波动。

（3）农田阶段：在农田阶段，生物多样性和土壤质量显著下降，生态平衡受到农药、化肥等人为干预的影响，气候变化对作物生长的影响变得尤为显著。人类活动的影响达到了最高点。

4.2 数据说明

为构建模型并分析生态系统动态变化，我们搜集使用以下数据代表真实情景：

（1）作物生长数据：假设作物生长初期的增长速率为 r =0.1 ，承载能力 K =1000株/公顷。受季节性因素影响，每年生长周期可分为春季、夏季、秋季三个阶段，分别占全年总时间的0.3、0.4 和0.3。作物生长速度随时间变化，且除草剂的使用对作物的影响与施用量成正比。

（2）昆虫数据：昆虫种群以蚜虫为代表，假设初期种群为20000，只受到植物数量和杀虫剂的影响，增长率为α= 0.01，死亡率为β= 0.1，并且昆虫种群的繁殖受到除草剂和杀虫剂的抑制。

（3）蝙蝠与鸟类数据：蝙蝠和鸟类作为次级消费者，初期种群设为100 只，捕食昆虫的效率为δ = 0.005，死亡率为μ = 0.05，受到昆虫数量和环境压力的影响。

4.3 数据预处理

在实际应用中，数据预处理通常包括数据清洗、缺失值填补、数据标准化等步骤。

（1）清洗数据：如果从实际数据中提取，需去除异常值，检测缺失数据并填补（例如通过均值填补或插值法）。

（2）标准化：由于不同数据单位差异较大（如植物生长率与昆虫种群数量的差异），因此在建模前需要进行标准化处理。例如，使用Z-Score 标准化：

（3）季节性变化建模：根据季节性因素对数据进行周期性调整，每年春季、夏季、秋季施用的农药浓度和作物生长周期有所不同。

4.4 Lotka-Volterra 模型求解

在 Lotka-Volterra 模型的基础上，我们假设：

• 作物（P）是初级生产者，通过光合作用吸收能量生长。

• 昆虫（I）是食草性消费者，它们依赖作物为食。

• 昆虫种群的增长与作物的数量密切相关，且昆虫数量的变化会反过来影响作物

的生长。

• 使用除草剂和杀虫剂会影响作物和昆虫的生长速率，可能通过减少昆虫种群数

量来间接影响作物。

• 生态系统中的生物种群会随时间变化，并且存在季节性波动。

4.4.1 Lotka-Volterra 模型简介

Lotka-Volterra 方程描述了两种物种（如作物和昆虫）之间的相互作用，主要用

于生态学中捕食-被捕食或竞争关系的建模。在这个问题中，我们可以将作物视为“生

产者”物种，昆虫视为“消费者”物种。

1.Lotka-Volterra 方程组

（1）作物生长方程（生产者）：

2.引入季节性变化与农药影响

在生态系统中，季节性变化和农药使用会影响作物的生长和昆虫的繁殖。为此，我们对模型做一些调整：

（1）季节性变化：

考虑到季节性变化对作物生长和昆虫繁殖率的影响，我们可以通过引入一个正弦函数来模拟季节性波动：

4.5 目标函数

目标函数通常用于优化决策，以达到一定的生态或经济目标。在本问题中，目标是优化农业生态系统的稳定性与可持续性，目标函数可以通过以下方式构建。

（1）目标函数1：优化生态系统的稳定性我们希望作物和昆虫种群在长期内趋于平衡，以达到生态系统的稳定性。假设目标是最大化作物和昆虫数量的长期均衡状态，可以定义目标函数为：

4.6 约束条件

在建模过程中，我们需要考虑一些物理和生态约束条件。以下是问题中可能涉及的几个约束条件：

在每个时间步长上，通过重复上述过程来得到 P(t) 和 I(t) 的时间变化。

4.8 可视化结果

我们可以得到作物和昆虫数量随时间变化的图形。通常，作物和昆虫的数量会呈现周期性的波动，这反映了它们之间的相互依赖关系。根据农药的使用量和时间步长的选择，图像中波动的幅度和周期可能会有所变化。通过可视化，我们可以评估模型在不同条件下的生态响应。例如，如果农药的使用量过高，昆虫种群可能会快速减少，从而影响作物的生长，而如果农药的使用量过低，昆虫可能会迅速反弹，导致作物损害加剧。

具体绘制作物生长与昆虫数量的时间变化曲线可视化如图2。

图表展示了作物数量和昆虫数量随时间（月度）的变化情况。我们用绿色曲线表示作物数量的变化，用蓝色曲线表示昆虫数量的变化，时间轴横坐标为月份（1到12），纵坐标表示数量（作物数量和昆虫数量的单位假设为数量单位）。作物生长的变化受季节性因素的影响，特别是温度、降水量和日照等因素对植物生长的影响。作物生长呈现以下特点：

（1）春季（1到3月）：作物生长加速，数量迅速增加。随着春季气温回升，作物的光合作用和养分吸收能力增强，导致其快速生长。

（2）夏季（4到6月）：作物数量继续增加，但增速有所放缓。此时，作物进入了生长高峰期，但随着气候变化（如高温和水分需求增加），作物的生长速度会有所减慢。

（3）秋季（7到9月）：作物数量开始下降。进入秋季后，作物逐渐进入生长的衰退期，逐步转为收获阶段，生长减缓或停滞。

（4）冬季（10到12月）：作物数量大幅减少，进入休眠期。随着寒冷季节的到来，作物生长几乎停止，直到来年春季再次复苏。

附录

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义生态因素和不同阶段的评分
factors = ['生物多样性', '土壤质量', '生态平衡', '气候影响', '人类活动']
forest_values = [9, 8, 9, 6, 2]  # 森林阶段（1-10评分）
transformation_values = [7, 6, 6, 7, 5]  # 转化阶段
farm_values = [3, 4, 2, 8, 9]  # 农田阶段

# 设置雷达图的角度
angles = np.linspace(0, 2 * np.pi, len(factors), endpoint=False).tolist()

# 创建雷达图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), subplot_kw=dict(polar=True))

# 绘制数据
ax.plot(angles, forest_values, linewidth=2, linestyle='solid', label='森林阶段')
ax.fill(angles, forest_values, alpha=0.25)

ax.plot(angles, transformation_values, linewidth=2, linestyle='solid', label='转化阶段')
ax.fill(angles, transformation_values, alpha=0.25)

ax.plot(angles, farm_values, linewidth=2, linestyle='solid', label='农田阶段')
ax.fill(angles, farm_values, alpha=0.25)

# 添加标签
ax.set_yticklabels([])
ax.set_xticks(angles)
ax.set_xticklabels(factors)

# 设置图形标题
plt.title("农业生态系统转化过程的生态因素变化", size=16, color='black', pad=20)

# 显示图例
plt.legend(loc='upper right', bbox_to_anchor=(1.1, 1.1))

# 展示图形
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
r = 0.1  # 作物的自然增长率
K = 100  # 环境承载能力
alpha = 0.02  # 昆虫对作物的消耗率
beta = 0.01  # 昆虫的繁殖率
delta = 0.1  # 昆虫的自然死亡率

# 初始条件
P0 = 40  # 初始作物数量
I0 = 9   # 初始昆虫数量
t0 = 0   # 初始时间
T = 200  # 模拟时间
h = 0.1  # 时间步长

# 时间数组
t_values = np.arange(t0, T, h)

# 创建作物和昆虫数量的数组
P_values = np.zeros(len(t_values))
I_values = np.zeros(len(t_values))

P_values[0] = P0
I_values[0] = I0

# Lotka-Volterra方程
def f1(P, I):
    return r * P * (1 - P / K) - alpha * P * I

def f2(P, I):
    return beta * P * I - delta * I

# Runge-Kutta方法
for n in range(1, len(t_values)):
    Pn = P_values[n-1]
    In = I_values[n-1]
    
    kP1 = h * f1(Pn, In)
    kI1 = h * f2(Pn, In)
    
    kP2 = h * f1(Pn + kP1 / 2, In + kI1 / 2)
    kI2 = h * f2(Pn + kP1 / 2, In + kI1 / 2)
    
    kP3 = h * f1(Pn + kP2 / 2, In + kI2 / 2)
    kI3 = h * f2(Pn + kP2 / 2, In + kI2 / 2)
    kP4 = h * f1(Pn + kP3, In + kI3)
    kI4 = h * f2(Pn + kP3, In + kI3)
    
    P_values[n] = Pn + (kP1 + 2*kP2 + 2*kP3 + kP4) / 6
    I_values[n] = In + (kI1 + 2*kI2 + 2*kI3 + kI4) / 6

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t_values, P_values, label="作物数量 (P)", color="green")
plt.plot(t_values, I_values, label="昆虫数量 (I)", color="red")
plt.xlabel("时间 (t)")
plt.ylabel("种群数量")
plt.title("Lotka-Volterra模型的作物与昆虫种群动态")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟数据
months = range(1, 13)
crop_population = [50, 80, 120, 160, 190, 220, 240, 230, 190, 140, 100, 60]
insect_population = [1000, 1300, 1700, 2000, 2100, 2500, 2700, 2600, 2400, 2000, 1700, 1400]

# 绘制作物数量与昆虫数量变化曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 作物数量曲线
plt.plot(months, crop_population, label="作物数量", color='g', marker='o')

# 昆虫数量曲线
plt.plot(months, insect_population, label="昆虫数量", color='b', mark-er='s')

# 添加标签和标题
plt.xlabel('月份')
plt.ylabel('数量')
plt.title('作物与昆虫数量的时间变化')
plt.xticks(months)
plt.legend()

# 显示图形
plt.grid(True)
plt.show()
...

略。