数论问题73
命题1，求方程
1！+2！+…+(x+1)！=y^(z+1)的自然数解。
解，设f(x)=1！+2！+…+(x+1)！
则f(1)=3，f(2)=1+2+6=9，
f(3)=f(2)+24=33。当x>3时，
f(x)=f(3)+5！+…+(x+1)！被5除必余3。
又因为
时任意k∈Z，
(5K)^2被5除余0，
(5k±1)^2被5除余1，
(5k±2)^2被5除余4，所以，
f(x)不是整数的平方。
因此，当z=1时，任意自然数x≠2与y都不满足f(x)=y^(z+1)。
下面再证明，当x≥2时，f(x)=y^(z+1)也不能满足。
可直接验证当x=1，2，3，4，5，7时，f(x)都被3整除，但不能被27整除，因此不能表成y^(z+1)，z>1。
当x>7时，
f(x)=f(7)+9！十…十(x十1)！被27除余f(7)，
当x=6时，f(6)=5913=81*73。
它们都不能表成y^(z+1)，于是方程有唯一的自然数解:x=2，y=3，z=1。(李扩继)