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Python算法详解：贪心算法

article 2025/1/30 16:29:53

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种通过选择当前最优解以期望达到全局最优解的算法思想。它在每一步选择时只考虑当前状态下的局部最优，而不关心全局问题的复杂性。这种算法简单高效，适用于某些特定问题，尤其是存在贪心选择性质和最优子结构的问题。本文将从贪心算法的基础思想出发，结合Python代码，详细解析其应用与实现。

贪心算法的核心思想

案例 1：活动选择问题

解题步骤：

Python 实现：

代码说明：

案例 2：哈夫曼编码

解题步骤：

Python 实现：

代码说明：

案例 3：最小零钱问题

解题步骤：

Python 实现：

代码说明：

贪心算法的核心思想

贪心算法的基本逻辑可以总结为：

贪心选择性质： 每一步选择当前的最优解，能够逐步形成问题的整体最优解。
最优子结构： 子问题的最优解可以递归地构成原问题的最优解。
不可回退： 贪心算法一旦作出选择，就不能回头修改之前的选择。

适用场景： 贪心算法通常适用于以下类型的问题：

优化类问题（如最小化成本、最大化收益）。
可以通过局部最优解递推到全局最优解的问题。

典型案例包括活动选择问题、最小生成树、哈夫曼编码等。

案例 1：活动选择问题

问题描述： 给定一组活动，每个活动有一个开始时间和结束时间。需要选择尽可能多的活动，且任意两个活动不能重叠。

解题步骤：

贪心选择： 按活动的结束时间从早到晚排序。
选择活动： 每次选择当前结束时间最早的活动，且该活动与前一个活动不冲突。

Python 实现：

# 活动选择问题的实现
def activity_selection(activities):
    # 按结束时间排序
    activities.sort(key=lambda x: x[1])

    selected = []
    last_end_time = 0

    for start, end in activities:
        if start >= last_end_time:
            selected.append((start, end))
            last_end_time = end

    return selected

# 测试数据
activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 8), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 13), (12, 14)]
selected_activities = activity_selection(activities)
print("Selected activities:", selected_activities)

代码说明：

排序：
- 按活动的结束时间排序，确保每次选择的活动与后续活动有最大可能的兼容性。
选择活动：
- 遍历活动列表，选择开始时间大于等于上一个活动结束时间的活动。
时间复杂度：
- 排序的时间复杂度为 ( O(nlogn) )，选择活动的复杂度为 ( O(n) )。

案例 2：哈夫曼编码

问题描述： 哈夫曼编码是一种数据压缩算法，用于构建最优前缀编码，使得高频字符使用较短的编码。

解题步骤：

贪心选择： 每次从当前权值最小的两个节点合并，形成新的节点。
重复步骤： 直到所有节点被合并为一棵哈夫曼树。

Python 实现：

import heapq

# 哈夫曼编码实现
def huffman_coding(frequencies):
    heap = [[weight, [symbol, ""]] for symbol, weight in frequencies.items()]
    heapq.heapify(heap)

    while len(heap) > 1:
        low1 = heapq.heappop(heap)
        low2 = heapq.heappop(heap)
        for pair in low1[1:]:
            pair[1] = '0' + pair[1]
        for pair in low2[1:]:
            pair[1] = '1' + pair[1]
        heapq.heappush(heap, [low1[0] + low2[0]] + low1[1:] + low2[1:])

    return sorted(heapq.heappop(heap)[1:], key=lambda p: (len(p[-1]), p))

# 测试数据
frequencies = {'A': 45, 'B': 13, 'C': 12, 'D': 16, 'E': 9, 'F': 5}
encoding = huffman_coding(frequencies)
print("Huffman Encoding:", encoding)

代码说明：

优先队列：
- 使用 Python 的 heapq 构建最小堆，方便每次快速找到权值最小的两个节点。
合并节点：
- 每次弹出两个最小节点，合并后重新压入堆中。
生成编码：
- 在树中通过向左加 0，向右加 1 的方式生成编码。
时间复杂度：
- 建堆和合并操作的时间复杂度为 ( O(nlogn) )。

案例 3：最小零钱问题

问题描述： 给定一组硬币面额和一个总金额，求最少需要多少硬币凑出该金额。

解题步骤：

贪心选择： 每次选择面额最大的硬币。
验证： 减去当前硬币面额后，继续选择直到总金额为 0。

Python 实现：

# 最小零钱问题的实现
def coin_change(coins, amount):
    coins.sort(reverse=True)  # 按面额从大到小排序
    count = 0

    for coin in coins:
        while amount >= coin:
            amount -= coin
            count += 1

    return count if amount == 0 else -1

# 测试数据
coins = [1, 2, 5, 10]
amount = 27
result = coin_change(coins, amount)
print("Minimum coins needed:", result)