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数据结构（精讲）----树（应用篇）

article 2025/1/30 18:06:47

特性：

什么是树：

树(Tree)是(n>=0)个节点的有限集合T，它满足两个条件：

(1) 有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点。

(2) 其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树（Subtree）。

树的特性：

层次关系，一对多，每个节点最多有一个前驱，但是可以有多个后继(根节点无前驱，叶节点无后继)。

关于树的节点：和链表类似，树存储结构中也将存储的各个元素称为 "结点"。

关于树的一些术语：

(1) 度数：一个节点的子树的个数（一个节点有几个孩子为该节点度数）

(2) 树度数：树中节点的最大度数

(3) 叶节点或终端节点: 度数为零的节点

(4) 分支节点：度数不为零的节点（A B C D E H）

(5) 内部节点：除根节点以外的分支节点（去掉根和叶子）

(6) 节点层次: 根节点的层次为1，根节点子树的根为第2层，以此类推

(7) 树的深度或高度: 树中所有节点层次的最大值

二叉树：

最多只有俩孩子的树，并且分为左孩子和右孩子。

什么是二叉树：

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，它或者是空集（n＝0），或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树与普通有序树不同，二叉树严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右。

二叉树的性质（**）

(1) 二叉树第k（k>=1）层上的节点最多为2的k-1次幂 // 2^(k-1)

(2) 深度为k（k>=1）的二叉树最多有2的k次幂-1个节点。//满二叉树的时候

做多的节点数 2^k-1

(3) 在任意一棵二叉树中，树叶的数目比度数为2的节点的数目多一。

设度数为0的节点数为n0，度数为1的节点数为n1以及度数为2的节点数为n2，则：

总节点数为各类节点之和:n=n0+n1+n2

总节点数为所有子节点数加一：n=n0*0+n1*1+n2*2+1

下面式子减上面式子得：0=-n0+n2+1==>n0 = n2 + 1

满二叉树和完全二叉树

满二叉树: 深度为k（k>=1）时节点数为2^k - 1(2的k次幂-1)

完全二叉树: 只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。(先挂树的左边向右, 从上向下挂)

二叉树的存储结构：

二叉树的顺序结构：

顺序存储结构：完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i：

● 当i>1（不是根节点）时，有父节点，其父节点编号为i/2;

● 当2*i<=n时，有左孩子，其编号为2*i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;

● 当2*i+1<=n时，有右孩子，其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子；

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1 个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。

利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，

二叉树的遍历（*）

前序：根 ----> 左 -----> 右

中序: 左 ----> 根 -----> 右

后序: 左 ----> 右 -----> 根

例如：

前序:A B C D E F G H K

中序：B D C A E H G K F

后序：D C B H K G F E A

练习：

已知遍历结果如下，试画出对应的二叉树。

前序: A B C E H F I J D G K

中序：A H E C I F J B D K G

提示：用前序确定根节点，然后用中序找到根节点然后再找左右子。

练习：

(2) 深度为8的二叉树，其最多有( 255) 个节点，第8层最多有(128 )个节点

(3) 数据结构中，沿着某条路线，一次对树中每个节点做一次且仅做一次访问，对二叉树的节点从1开始进行连续编号，要求每个节点的编号大于其左、右孩子的编号，同一节点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采用(C )次序的遍历实现编号(网易)

A 先序 B 中序 C 后序 D 从根开始层次遍历

(4)一颗二叉树的前序： A B D E C F, 中序：B D A E F C 问树的深度是 ( B) (网易)

A 3 B 4 C 5 D 6

二叉树的链式存储

用链表实现，基于完全二叉树规律来构建树，按照完全二叉树的编号方法，从上到下，从左到右。一共n个节点。

第i个节点：

左子节点编号：2*i（2*i<=n）

右子节点编号：2*i+1(2*i+1<=n)

可以根据左右节点编号来判断是否对二叉树构建完成

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct node
{
    int data;            //数据域存数据
    struct node *lchild; //左子
    struct node *rchild; //右子
} node_t, *node_p;

//创建二叉树,用递归函数创建
node_p CreateBitree(int n, int i) //i 根节点的编号，n：节点数
{
    //创建根节点
    node_p r = (node_p)malloc(sizeof(node_t));
    if (NULL == r)
    {
        perror("r malloc err");
        return NULL;
    }
    //初始化根节点
    r->data = i;
    if (2 * i <= n)
        r->lchild = CreateBitree(n, 2 * i);
    else
        r->lchild = NULL;

    if (2 * i + 1 <= n)
        r->rchild = CreateBitree(n, 2 * i + 1);
    else
        r->rchild = NULL;

    return r;
}

//前序
void PreOrder(node_p r)
{
    if (NULL == r)
        return;             //直接结束函数无返回值
    printf("%d ", r->data); //根

    if (r->lchild != NULL)
        PreOrder(r->lchild); //左
    if (r->rchild != NULL)
        PreOrder(r->rchild); //右
}

//中序
void InOrder(node_p r)
{
    if (NULL == r)
        return; //直接结束函数无返回值

    if (r->lchild != NULL)
        InOrder(r->lchild); //左

    printf("%d ", r->data); //根

    if (r->rchild != NULL)
        InOrder(r->rchild); //右
}

//后序
void PostOrder(node_p r)
{

    if (NULL == r)
        return; //直接结束函数无返回值

    if (r->lchild != NULL)
        PostOrder(r->lchild); //左

    if (r->rchild != NULL)
        PostOrder(r->rchild); //右

    printf("%d ", r->data); //根
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    node_p root = CreateBitree(5, 1);

    PreOrder(root);
    printf("\n");

    InOrder(root);
    printf("\n");

    PostOrder(root);
    printf("\n");
    
    return 0;
}