数论问题74
命题3，证明，如果p为素数，则
C(p，2p)-2被p^2整除。其中，
C(m,n) = n! / (m! * (n-m)!)。
证明:容易验证，当p=2时，C(2，4)-2=4被2^2整除。因此，设p>2。
首先，C(p，2p)=(2p)！/(p！)^2
=[2p(2p-1)！]/[p(p-1)！p！]
=2C(p-1，2p-1)
其次，对k=1，2，…，(p-1)/2，有
(2p-k)(p+k)=2p^2十k(p-K)
被p^2除余k(p-K)。
所以，(2p-1)(2p-2)…(p+1)x[p+p-1]！/p！
=[(2p-1)(p+1)][(2p-2)(p+2)]…[(2p-(p-1)(p十(p-1)]
=mp^2+[1(p-1)][2(p-2)]…[(p-1)]
被p^2除余[1(p-1)][2(p-2)]…[(p-1)]
与(p-1)！模p^2同余。
因此存在m∈Z，使得
C(p-1，2p-1)=(2p-1)(2p-2)…(p+1)/(p-1)！
=[mp^2+(p-1)！]/(p-1)！
=mp^2/(p-1)！+1。
即mp^2=C(p-1，2p-1)-1是整数，且(p^2，(p-1)！)=1(即p^2与(p-1)！互质)
所以，m=r(p-1)！，r∈Z。因此
C(p-1，2p-1)=rp^2十1，于是
C(p，2p)=2C(p-1，2p-1)+2
=2rp^2+2
所以C(p，2p)-2被p^2整除。(李扩继)