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密码学的数学基础1-整数素数和 RSA加密

article 2025/1/31 4:41:28

数学公式推导是密码学的基础, 故开一个新的课题 – 密码学的数学基础系列

素数 / 质数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）

素数在公钥密码学中的作用？

用于密钥生成，选取一定长度（512 bit）的素数p和q，计算 $N = p * q$

代码片段 - 判断一个数是不是质数(素数)

公钥密码

RSA (基于大整数质数分解的困难问题)

RSA本身就是建立在分解两个大素数乘积的困难性上。两个大素数，相乘非常容易，也非常快，要分解这个乘积却是极为困难。

RSA算法的安全性是由因式分解的困难程度而定的。如果能够找出因式分解那么破解RSA将很容易。
RSA的建议。两个大质数p和q, $p * q = N$
p和q的相差比较大。防止对N开平方试探。
p-1和q-1有较大的因子。

椭圆曲线(Elliptic Curve Cryptography, ECC) (基于椭圆曲线上的离散对数问题)

利用的是在椭圆曲线上 乘法运算的逆运算非常困难的特性

比特币使用的secp256k1椭圆曲线方程是 $x^2 = y^3+7$
ed25519的椭圆曲线方程: $y^2 = x^3+486662x^2+x,modulop=2^{255}-19$

Pailier(基于复合剩余类的困难问题)

是一种用于公钥加密的概率非对称算法，基于复合剩余类的困难问题（Composite Degree Residuosity Classes），构造在模数取为 $n^2$ 的剩余类{0,1,2,…, $n^2-1$ }上(二次剩余)。满足加法同态，即密文相乘等于明文相加： $D(E(m_1)·E(m_2))=m_1+m_2$

支持加法同态, 乘法其实也是变相的加法:
$D(E(m_1)^{E(m_2)})=m_1*m_2$

FISCO BCOS采用的是paillier加密算法，支持加法同态。paillier的公私钥兼容主流的RSA加密算法，接入门槛低。同时paillier作为一种轻量级的同态加密算法，计算开销小易被业务系统接受。因此经过功能性和可用性的权衡，最终选定了paillier算法。

术语

最大公约数gcd:辗转相除法，又称欧几里得算法
最小公倍数lcm
二次剩余：X^2在数论中，特别在同余理论里，一个整数X对另一个整数p的二次剩余，是指x的平方除以p得到的余数

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