数论问题77一一3x+1问题

3X + 1问题，也被称为考拉兹猜想、角谷猜想等，是数学领域一个著名的未解决问题，以下是关于它的介绍：

问题表述

对于任意一个正整数X，如果X是奇数，则将其变为3X + 1；如果X是偶数，则将其变为X/2。不断重复这个过程，最终是否无论初始值X是多少，都会经过有限次变换后最终得到1。

例如，取X = 5，它是奇数，进行3X + 1操作得到3×5 + 1=16；16是偶数，进行X/2操作得到16÷2 = 8，接着8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

数学形式化表示

f(x)=x/2时，若 x为偶数；f(x)=3x + 1, 若 x为奇数。

然后对f(x)的结果不断重复应用f，看是否最终会得到1。

 研究进展

 大量数值验证：数学家们使用计算机对大量的正整数进行了验证，截至目前，已经验证到非常大的数字，都没有发现反例。

  特殊情况研究：对一些特殊形式的数，如2^n型的数，很容易证明其最终会落入“1-4-2-1”循环。但对于一般的正整数，尚未找到通用的证明方法。

 尽管许多数学家进行了大量研究，但目前3X + 1问题仍然没有被完全证明或证伪，它依然是数学领域中一个极具挑战性的问题。

这是一个真正的会下金蛋的母鸡，肉很肥，而人们对它却无可奈何！对它入手验证极其容易，却完成对它规律的论证却极为困难！它会耗费研究者一生的时间，除其他收获外对它一无所获。我最后把它归结为数的整除问题。具体介绍如下。

①把3X+1问题推广到更一般的情况。

命题1，设一个正整数X，素数q(q≥3)，若x能被小于q的素数所整除就整除它；若X不含有小于q的因子数，就用q乘它后再加1，变为qX+1。这样反变运算(称为qx+1变换)，猜想最后结果为1。

当q=3时，命题1为3x+1猜想。

②命题2，若在3x+1变换下，任何一个正整数X总能化为小于它的一个整数，那么，3x+1猜想成立。

3x+1问题等价于

③命题3，设Rn=[nlog2^3]+1，Pn=3^(n-1)+3^(n-2)2^(r1)+…+3x2^(rt)+2^(t+1)。

其中，t=n-2，i≤ri<[ilog2^3]+1，符号[a]表取小数a的整数部分。log2^3≈1.585049是以2为底3的对数。那么，

(2^Rn-3^n)不整除Pn。

当(2^Rn-3^n)整除Pn时，3x+1猜想不成立。

命题3实质是将正整数X，在3x+1变换下第一次化为了小于X的正整数y，等式为:

(3^n)X+Pn=(2^Rn)y

如X=19，7x3+1=22，→22÷2=11，→11x3+1=34，→34÷2=17，→17x3+1=52，→52÷2^2=13，→13x3+1=40，→40÷2^3=5，(→5x3+1=16，16÷2^4=1)

R4=2^7，P4=3^3+3^2x2+3x2^2+2^4

7在3x+1变换下化为了小于7的5，有等式

(3^4)x7+P4=(2^7)x5，这时，

(2^7-3^4)不整除P4，

(2^7-3^4)=47，P4=73。(李扩继)