PID算法的数学实现和参数确定方法
目录
概述
1 算法描述
1.1 PID算法模型
1.2 PID离散化的图形描述
1.3 PID算法的特点
2 离散化的PID算法
2.1 位置式PID算法
2.2 增量式PID算法
2.3 位置式PID与增量式PID比较
3 控制器参数整定
3.1 PID参数确定方法
3.1.1 凑试法
3.1.2 临界比例法
3.1.3 经验法
3.2 采样周期
3.3 经验分享
3.4 一个Demo
概述
PID算法是一种常用的反馈控制算法，全称为Proportional-Integral-Derivative。它根据测量值与设定值的差距，经过比例、积分和微分的处理，得到控制器的输出。本文主要介绍该算法的实现原理，离散PID算法实现方法以及参数确定方法等内容。
1 算法描述
1.1 PID算法模型
其用数学公式描述如下：
1）定义误差：
2）模拟算法的数学描述：
3）离散PID算法的数学描述：
1.2 PID离散化的图形描述
1）PID积分项的图像描述
数学解释内容：
2） PID微分项的图像描述
数学解释内容：
1.3 PID算法的特点
1）PID是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写
2）PID是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual），能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）
3）PID是一种基于误差（Error）调控的算法，其中规定：误差=目标值-实际值，PID的任务是使误差始终为0
4）PID对被控对象模型要求低，无需建模，即使被控对象内部运作规律不明确，PID也能进行调控
2 离散化的PID算法
2.1 位置式PID算法
由于计算机控制是一种采样控制， 它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制 那样连续输出控制量量， 进行连续控制。 由于这一特点模拟式PID算法公式中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。
离散化处理的方法为：以T 作为采样周期， 作为采样序号，则离散采 样时间 对应着连续时间 ， 用矩形法数值积分近似代替积分， 用一阶后向差分近似代替微分， 可作如下近似变换：
公式-1：
2.2 增量式PID算法
所谓增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量∆uk 。 当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。
将k= k-1带入到公式-1中，得到公式-2：
使用公式-1减去公式-2得到公式-3：
2.3 位置式PID与增量式PID比较
1）位置式PID由连续形式PID直接离散得到，每次计算得到的是全量的输出值，可以直接给被控对象 ；增量式PID由位置式PID推导得到，每次计算得到的是输出值的增量，如果直接给被控对象，则需要被控对象内部有积分功能
2）增量式PID也可在控制器内进行积分，然后输出积分后的结果，此时增量式PID与位置式PID整体功能没有区别 ；位置式PID和增量式PID计算时产生的中间变量不同，如果对这些变量加以调节，可以实现不同的特性。
3 控制器参数整定
控制器参数整定： 指决定调节器的比例系数 Kp 、 积分时间Ti 、 微分时间Td 和采样周期Ts 的具体数值。
整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配， 以改善系统的动态 和静态指标，取得最佳的控制效果。 整定调节器参数的方法很多， 归纳起来可分为两大类， 即理论计算整定法和工程整定法。
理 计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等；
工程整定法有凑试法、 临界比例法、经验法、 衰减曲 线法和响应曲线法等。
工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进 行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握。
3.1 PID参数确定方法
3.1.1 凑试法
按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。 置调节器积分时间Ti =∞， 微分时间Td =0， 在比例系数 按经验设置的初值条件下， 将系统 投入运行，由小到大整定比例系数 。求得满意的 1/4 衰减度过渡过程曲线。
Kp Kp 引入积分作用（此时应将上述比例系数 Kp 设置为 5/6 Kp ）。将Ti 由大到小进行整定。 若需引入微分作用时，则将Td 按经验值或按Td =（1/3～1/4） Ti 设置，并由小到大加入。
3.1.2 临界比例法
在闭环控制系统里， 将调节器置于纯比例作用下， 从小到大逐渐改变调节器的比例系数， 得到 等幅振荡的过渡过程。 此时的比例系数称为临界比例系数 ， 相邻两个波峰间的时间间隔， 称为临 界振荡周期Tu 。
Ku 临界比例度法步骤：
1、将调节器的积分时间 置于最大（ Ti =∞），微分时间置零（ Td =0），比例系数 适当， 平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。 Ti Kp
2、 将比例系数 Kp 逐渐增大， 得到等幅振荡过程， 记下临界比例系数 Ku 和临界振荡周期Tu 值。
3、根据 Ku 和Tu 值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即 Kp 、 Ti 和Td 的值。 按“先 P 再 I 最后 D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。
若还不够满意，可再作进一 步调整。 临界比例度法整定注意事项： 有的过程控制系统， 临界比例系数很大， 使系统接近两式控制， 调节阀不是全关就是全开， 对 工业生产不利。 有的过程控制系统， 当调节器比例系数 调到最大刻度值时， 系统仍不产生等幅振荡， 对此， 就把最大刻度的比例度作为临界比例度 进行调节器参数整定。
3.1.3 经验法
用凑试法确定 PID 参数需要经过多次反复的实验， 为了减少凑试次数， 提高工作效率， 可以借 鉴他人的经验， 并根据一定的要求， 事先作少量的实验， 以得到若干基准参数， 然后按照经验公式， 用这些基准参数导出 PID 控制参数，这就是经验法。 临界比例法就是一种经验法。 这种方法首先将控制器选为纯比例控制器， 并形成闭环， 改变比 例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数 Ku 、临界振荡周期为Tu ，根据 Z－N 提供的经验公式，就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数，如下表所示。
这种临界比例法使针对模拟 PID 控制器， 对于数字 PID 控制器， 只要采样周期取的较小， 原则 上也同样使用。在电动机的控制中，可以先采用临界比例法，然后在采用临界比例法求得结果的基 础上，用凑试法进一步完善。 上表的控制参数， 实际上是按衰减度为 1/4 时得到的。 通常认为 1/4 的衰减度能兼顾到稳定 性和快速性。如果要求更大的衰减，则必须用凑试法对参数作进一步的调整。
3.2 采样周期
香农（Shannon） 采样定律 ：为不失真地复现信号的变化， 采样频率至少应大于或等于连续 信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受 到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。
采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流 量、压力） 波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、 成 份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。
采样周期的选取应与PID参数的整定进行综合考虑， 采样周期应远小于过程的扰动信号的周期， 在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算 速度允许的条件下，采样周期短， 则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时， 一般选取采样周期 为纯滞后时间的 1/4～1/8。
3.3 经验分享
人们通过对 PID 控制理论的认识和长期人工操作经验的总结， 可知PID 参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。
1、 在偏差比较大时， 为使尽快消除偏差， 提高响应速度， 同时为了避免系统响应出现超调， Kp 取大值， 取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏， 值要减小， 取小值； 在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定， 值继续 减小， 值不变或稍取大。
2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值 时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远 未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时， 偏差变 化率与偏差异号时， Kp 值取零或负值，以加快控制的动态过程。
3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率， 越大， 取值越小， 取值越大，反 之亦然。同时，要结合偏差大小来考虑。
4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短 调节时间 ，允许加大 ，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以， 在 比较大时， 取零，实际为 PI 控制；在 比较小时， 取一正值，实行 PID 控制。
3.4 一个Demo
一个自校正 PID 控制器参数的配置案例：
对于一个特定的被控对象， 在纯比例控制的作用下改变比例系数可以求出产生临界振荡的振荡
周期Tu 和临界比例系数 Ku 。
根据 Z－N 条件，有：
将这些参数带入到增量PID的公式中，其中增量PID的表达式如下：
带入参数之后：
