高等代数笔记—域与一元多项式

域与环

数域$F$：至少包含两个元素且对加减乘除运算封闭的复数集合$F$，其中作除运算时除数不为0。
封闭：集合$F$中的两个元素作某一运算的结果仍属于集合$F$，则称$F$对该运算封闭。

$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$都是数域。
$\mathbb{Q}$是最小的数域，即所有的数域都包含有理数域。

数域满足的运算律：1、加法结合律、加法交换律、加法单位元、加法逆元；2、乘法结合律、乘法交换律、乘法单位元、乘法逆元；3、加乘分配律。

域$F$：至少包含两个元素且定义了加法与乘法运算的集合$F$，且满足数域所满足的运算律。

数环$R$：对加减乘运算封闭的非空复数集合$R$。
数环满足的运算律：1、加法结合律、加法交换律、加法单位元、加法逆元；2、乘法结合律、乘法交换律；3、加乘分配律。

环$R$：定义了加法与乘法运算的非空集合$R$，且满足运算律：1、加法结合律、加法交换律、加法单位元、加法逆元；2、乘法结合律；3、加乘分配律。
交换环：满足乘法交换律的环$R$。
有单位元的环：满足乘法单位元的环$R$。

一元多项式

数域$F$上的一元多项式是指系数全属于$F$的一元多项式：
$f(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$
若$a_n\ne 0$，则$a_n{x}^n$为首项，$a_n$系数，$n$为多项式次数是一个非负整数。

多项式乘积$f(x)\cdot g(x)$的首项系数是$a_n{b}_m{x}^{n+m}$，
其中，$g(x)=b_m{x}^m+...+b_{1}x+b_0$。

所有系数在数域$F$中的一元多项式的全体，称为数域$F$上的一元多项式环，记为$F[x]$。$F$称为$F[x]$的系数域。
$F[x]$对多项式的加减乘运算封闭，除法并不是普遍可以做的。

数域$F$上有理分式$\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne 0$的全体是一个域，称为有理分式域。

定理：$F[x]$中的任意两个多项式$f(x),g(x)$都有一个最大公因式$d(x)$，且$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$，其中，$v(x),u(x),d(x),f(x),g(x)\in F[x]$

辗转相除法：求解$F[x]$中$f(x),g(x)$最大公因式的算法。

因式分解及唯一性定理：$F[x]$上次数$\ge 1$的多项式$f(x)$都可以唯一分解成$F[x]$上一些不可约多项式的乘积。

多项式标准分解式：
$f(x)=c{p}_1^{r_1}(x)...p_s^{r_s}(x)$
其中，$c$是$f(x)$的首项系数，$p_i(x)$是首项系数为1的不可约多项式，$r_i$为正整数。

余数定理：用$x-\alpha$去除$f(x)$，所得的余式是一个常数$f(\alpha )$

定理：$F[x]$中n次多项式的根不可能多于n个，重根按重数计算。
定理：$f(x),g(x)$的次数都不超过$n$，如果$f({\alpha }_i)=g({\alpha }_i),i=1,...,n+1$，那么$f(x)=g(x)$

代数基本定理：每个次数$\ge 1$的复系数多项式在复数域中有一根。（由Gauss于1797年证明）

复系数多项式因式分解定理：每个次数$\ge 1$的复习数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。
复系数多项式的标准分解式：
$f(x)=a_n(x-{\alpha }_1{)}^{r_1}(x-{\alpha }_2{)}^{r_2}...(x-{\alpha }_s{)}^{r_s}$
该式也说明：n次复系数多项式恰有n个复根，重根按重数计算。

实系数多项式因式分解定理：每个次数$\ge 1$的实习数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。

符号$\partial (f(x))$表示多项式的次数。
符号$g(x)|f(x)$表示$g(x)$整除$f(x)$，即$f(x)=g(x)h(x)$，$f(x),g(x),h(x)\in F[x]$。
符号$(f(x),g(x))$表示首项系数为1的最大公因式。

参考

[1] 王萼芳 石生明. 高等代数(第4版). 高等教育出版社, 2013.
[2] 李慧陵, 周胜林, 刘伟俊. 抽象代数简明教程. 清华大学出版社, 2014.
[3] 定理、推论、引理. https://www.shuxuele.com/algebra/theorems-lemmas.html