25/2/8 ＜机器人基础＞ 轨迹控制基本知识点，传动系统
轨迹控制基本知识点及例题
机器人“轨迹控制”是机器人学中的重要内容，主要涉及如何规划和控制机器人末端执行器或关节的运动轨迹。
1. 轨迹规划基础
知识点
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轨迹定义：轨迹是机器人在运动过程中位置、速度、加速度随时间的变化。
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轨迹规划的目标：生成平滑、连续、无碰撞的运动路径。
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关节空间 vs 任务空间：
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关节空间：直接规划关节角度或位移。
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任务空间：规划末端执行器的位置和姿态。
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例题
问题：一个二自由度机械臂，关节角度分别为 θ1 和 θ2。要求在 2 秒内从初始位置 (θ1=0∘,θ2=0∘)运动到目标位置 (θ1=30∘,θ2=45∘)，规划一条直线轨迹。
2. 多项式轨迹规划
知识点
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三次多项式：常用 θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3。
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边界条件：给定起始和终止的位置、速度。
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优点：平滑、连续。
例题
问题：一个关节需要在 3 秒内从 θ=0∘ 运动到 θ=90∘，起始和终止速度均为 0。设计一个三次多项式轨迹。
3. 样条轨迹规划
知识点
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样条曲线：分段多项式，保证高阶连续性。
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应用场景：复杂路径规划，需要更高平滑性。
例题
问题：一个机器人需要在 4 秒内经过 3 个点：(0,0)、(2,3)、(4,1)。设计一条样条轨迹。
解答：
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使用三次样条插值，确保位置、速度、加速度连续。
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通过求解方程组得到样条系数。
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最终轨迹为分段三次多项式。
4. 速度与加速度规划
知识点
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梯形速度曲线：加速、匀速、减速阶段。
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S 形速度曲线：加速度连续变化，更平滑。
例题
问题：一个机器人需要在 5 秒内移动 10 米，最大速度为 3 m/s，最大加速度为 2 m/s²。设计梯形速度曲线。
5. 逆运动学与轨迹跟踪
知识点
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逆运动学：从任务空间到关节空间的映射。
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轨迹跟踪：控制机器人沿规划轨迹运动。
例题
问题：一个二自由度机械臂，连杆长度均为 1 m。末端执行器需要沿直线从 (1,0) 移动到 (0,1)。求关节角度轨迹。
6. 控制算法
知识点
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PID 控制：比例-积分-微分控制。
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前馈控制：基于模型预测控制。
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反馈控制：实时调整误差。
例题
问题：一个机器人关节的动力学模型为 τ=Iθ¨+bθ˙˙，其中 I=1 kg⋅m2，b=0.5 N⋅s/m。设计一个 PID 控制器。
在路径规划中，PID控制器可以发挥重要作用，尤其是在路径跟踪阶段。PID（比例-积分-微分）控制算法是一种经典且广泛应用的控制方法，常用于路径跟踪。通过调整机器人的控制指令，PID控制器能够减小机器人当前位置与目标位置之间的误差，从而实现精确的路径跟踪。
1. 比例（P）控制
比例控制是PID控制器的基础部分，它根据当前的误差值（即设定值与实际输出值之间的差）来调整控制输出。比例增益 Kp 越大，控制器对误差的反应越敏感，但过大的 Kp 可能导致系统过冲和振荡。
2. 积分（I）控制
积分控制用于消除稳态误差，它通过累积误差随时间的变化来调整控制输出。积分增益 Ki 决定了累积误差对控制输出的影响程度。积分作用可以提高系统的稳态精度，但过大的积分增益可能导致系统响应变慢，甚至引起振荡。
3. 微分（D）控制
微分控制根据误差的变化率来调整控制输出，有助于预测误差的未来趋势，从而提前进行调整。微分增益 Kd 越大，控制器对误差变化的敏感度越高，有助于减小超调和提高系统的响应速度。然而，过大的微分增益可能导致系统对噪声过于敏感，从而引入额外的误差。
PID控制器的数学表达式
PID控制器的输出 u(t) 可以表示为：
其中：
e(t) 是当前的误差，即设定值与实际输出值之间的差。
Kp、Ki 和 Kd 分别是比例、积分和微分增益。
传动系统例题解答
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传动比：
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从电机轴到负载轴的传动比 n 定义为电机齿轮数 zm 与负载齿轮数 zL 的比值，即 n=zm/zL。
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等效惯性矩：
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折合到电机轴上的总的等效惯性矩 Jeff 是电机轴的惯性矩 Jm 与负载轴惯性矩 JL 经过传动比平方放大后的和，即 Jeff=Jm+n2JL。
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等效粘性摩擦系数：
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折合到电机轴上的等效粘性摩擦系数 feff 是电机轴的粘性摩擦系数 fm 与负载轴粘性摩擦系数 fL 经过传动比平方放大后的和，即 feff=fm+n2fL。
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力矩平衡方程：
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系统的力矩平衡方程描述了电机轴上的总力矩 τ(t) 与等效惯性矩 Jeff 和等效粘性摩擦系数 feff 之间的关系，即 τ(t)=Jeffθ¨m+feffθ˙m，其中 θ¨m 是电机轴的角加速度，θ˙m 是电机轴的角速度。
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