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神经网络|(八)概率论基础知识-二项分布及python仿真

article 2025/2/12 0:31:19

【1】引言

前序已经学习了古典概型、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，它们作为基础，解释了事件发生及其概率的对应关系，相关文章链接为：

神经网络|(四)概率论基础知识-古典概型-CSDN博客

神经网络|(五)概率论基础知识-条件概率-CSDN博客

神经网络|(六)概率论基础知识-全概率公式_部分概率和总概率的关系-CSDN博客

神经网络|(七)概率论基础知识-贝叶斯公式-CSDN博客

在此基础上，我们更进一步，学习二项分布。

【2】概念分析

【2.1】随机变量

时间的发生可以用符号来记录，例如事件A，事件B等等。每个时间具体发生的情况又可以用数量来表达，例如事件A发生时记录为1，事件B发生时有5只小猫在玩耍3只小猫在睡觉等，总而言之千般万物各有对应的表征。

进一步，各个事件发生时，真正改变的那个因素才是我们关心的，这个因素就是变量。

随机变量就是随机试验中，事件发生时会改变的因素。

随机试验的特点是：试验可以在相同的条件下重复；每次试验的结果不止一个，且能明确所有可能的结果；但实际上不能提前预知哪个结果会出现。

所以，随机变量就是：可在相同条件下重复的试验中，虽然知道所有可能结果，但无法确定具体哪种结果可能出现时，具体出现的那个结果的表征，随机变量代表了具体的试验结果。

随机变量有离散和连续两种形式，此处我们先研究离散形式的随机变量。

【2.2】离散型随机变量及其分布

虽然定义了离散型随机变量这个名字，但还是要强调：

随机变量是随机试验的结果表征，因为只有随机试验完成，才知道具体的结果，所以这个结果的取值随着试验次数的增加不断变化，又因为试验都是在相同的条件下重复进行，所以每次出现的结果彼此独立、互不影响。

离散型的随机变量，就是指这些相互独立的随机变量的取值是跳跃的，在数学上的呈现是离散的点，而非练成一条线。

如果记X为随机变量，以x记录具体的随机变量取值，就可以简写随机试验的概率：

P{X=x}=p

在全概率公式的分析中已知：各个分概率对应的事件，是彼此互斥但总体互补的关系，它们互不隶属，但总体上能凑成一个完整的试验。所以各个分概率加起来，总和应该是1。

所以随机试验的概率，详细写可以为：

$P\left \{ X=x_{k} \right \}=p_{_{k}}(k=1,2,...)$

具体的解释为：随机变量X取值为 $x_{k}$ 时的概率为 $p_{k}$ 。

同时也一定会满足：

$\begin{matrix} P\left \{ X=x_{k} \right \}=p_{_{k}}\geqslant 0 \\ \sum_{k=0}^{k=\infty } p_{_{k}}=1 \end{matrix}$

【2.3】二项分布-伯努利分布

如果一个随机试验只有两种结果：A或者非 $\bar{A}$ ，这种试验可以称为伯努利试验。

伯努利试验的概率，可以记作：P(A)=p(0<p<1)和P( $\bar{A}$ )=1-P。

伯努利试验重复n次，成为n重伯努利试验。如果想计算这n次试验中，A发生k次的概率，就可以分析：

a.用X记录A发生；

b.用X=k表征A发生k次。

所以有：

$P\left \{ X=k \right \}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

刚好，上式就是二项式 $[p+(1-p)]^{n}$ 的第n项，所以n重伯努利试验结果的分布规律，也称为二项分布。

本质上，二项分布涉及三个量：代表事件的X，记录事件的x，以及时间对应的概率p。

当n=1时，二项分布也称为(0-1)分布。

有时候为了让公式更好看和便于书写，可以记录q=1-p。

【3】二项分布python仿真

使用python语言，调用numpy模块中的numpy.random.binomial()函数，可以实现对多重伯努利试验概率分布即二项分布的数学仿真。

numpy.random.binomial()函数的官网链接为：

https://numpy.org/doc/stable/reference/random/generated/numpy.random.binomial.html

这个函数是按照伯努利试验概率分布的形式生成随机数，官网对此的说明为：

图1 numpy.random.binomial()函数生成随机数工作原理

numpy.random.binomial()函数的参数解释为：

random.binomial(n, p, size)

n：伯努利试验的次数

p：伯努利试验的成功概率

size：把上述n次伯努利试验看成一个完整的大型伯努利试验，size代表对这个大型伯努利试验重复的次数，实际上就是打包重复n重伯努利试验

基于此函数的特点，先引入必要模块和定义所需参数：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块

# 二项分布参数
n = 10  # 试验次数
p = 0.5  # 成功的概率
size = 1000  # 生成随机数的数量

然后生成伯努利随机数：

# 生成符合二项分布的随机数
data_binomial = np.random.binomial(n, p, size) #随机数分布符合二项分布的形式

之后就是对随机数的分布情况进行绘图：

# 绘制直方图
fig,axs=plt.subplots(1,2) #定义一行两列的图像绘制
axs[0].hist(data_binomial, bins=n+1, density=False, alpha=0.6, color='g') #按数量绘制生成的数字分布图
axs[1].hist(data_binomial, bins=n+1, density=True, alpha=0.6, color='y') #按概率回执生成的数字分布图
fig.suptitle('Binomial Distribution Simulation',y=0.95) #设置图像名称
axs[0].set_xlabel('Number of Successes') #设置X轴标签
axs[0].set_ylabel('Probability') #设置Y轴标签
axs[1].set_xlabel('Number of Successes') #设置X轴标签
plt.savefig(‘binomial.png’) #保存图像
plt.show() #显示图像

在这里调用了hist()函数进行数据的概率分布画图，如果不是很熟悉，可以参考链接回忆：

python画图|hist()函数画直方图初探_python hist()-CSDN博客

python画图|hist()函数画直方图进阶_ax.hist()函数-CSDN博客

python画图|hist()函数深层体验_python hist函数-CSDN博客

python画图|hist()函数高阶探索_python 画图.hist(bars=100)-CSDN博客

puthon画图|hist()函数深度探索-CSDN博客

代码使用了10次伯努利试验，单次成功率为0.5，然后对这10次c重伯努利试验打包dabao重复1000次，获得的试验成功次数和概率为：

图2 伯努利仿真

图2的显示效果非常类似于正态分布，其中仿真结果等于5的次数出现了大概250次，在所有渠道的数据中的占比大约为0.28。

此时的完整代码为：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块

# 二项分布参数
n = 10  # 试验次数
p = 0.5  # 成功的概率
size = 1000  # 生成随机数的数量

# 生成符合二项分布的随机数
data_binomial = np.random.binomial(n, p, size) #随机数分布符合二项分布的形式

# 绘制直方图
fig,axs=plt.subplots(1,2) #定义一行两列的图像绘制
axs[0].hist(data_binomial, bins=n+1, density=False, alpha=0.6, color='g') #按数量绘制生成的数字分布图
axs[1].hist(data_binomial, bins=n+1, density=True, alpha=0.6, color='y') #按概率回执生成的数字分布图
fig.suptitle('Binomial Distribution Simulation',y=0.95) #设置图像名称
axs[0].set_xlabel('Number of Successes') #设置X轴标签
axs[0].set_ylabel('Probability') #设置Y轴标签
axs[1].set_xlabel('Number of Successes') #设置X轴标签
plt.savefig('binomial.png') #保存图像
plt.show() #显示图像